1.3.3 在数理逻辑基础上创立的“非标准分析”<br> 极限论与实数论的创立以及微积分和数学分析严密化，是19世纪数学的重大成果之一。但是，建立在实数论与极限论基础上的微积分学：其一，将所研究的变量和函数定义局限在实数系的基础上；其二，否定或遗弃了莱布尼茨的实无穷观及其无穷小算法；其三，极限论（潜无穷观）是建立微积分理论体系的一种途径或技术，虽然它对建立微积分学的理论体系而言是正确而成功的，但是这并不意味着微积分发展的终结和对无穷小进行直接认识与研究的停止。<br> 首先，1873年，康托尔在研究实数系的深层次结构中，创立了“集合论”并明确宣称他采取“实无穷观”的立场。然后，在应用古典集合论的思想方法引进了非实数的超限基数与超限序数的新概念，在提出“康托尔定理”之中，发现了“超限数悖论”。<br> 其次，在康托尔发现“超限数悖论”之后，其他人也从集合论中引出了一系列悖论，尤其是著名哲学家与数学家罗素（Rus-sell，1872-1970）提出了著名的“罗素悖论”才引起整个学术界与数学界的震惊，并引发了数学史上的第三次危机。其结果，一是引发了学术界的有关数学基础的大辩论，形成了数学基础的逻辑主义、直觉主义和形式主义的三大学派。二是在数学分析集合论悖论的成因和排除集合论悖论的途径中，策梅洛（E.F.F.Zermelo，1871-1953）于1908年提出了第一个集合论的公理系统[后经弗郎克尔（AA.Fraenkel，1891-1965）改进，再加上选择公理，便是今日著名的ZFC系统]，并创立了“公理集合论”这一属于“数理逻辑学”的新分支，从而消除了集合论悖论。
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