算术基本定理讨论的是一个整数分解成若干素数的乘积问题。另一方面,人们自然会提出研究一个整数分解为若干素数之和的问题。其实,两个半世纪以前,德国数学家哥德巴赫就关于这个问题提出过一个未证明的论断--哥德巴赫猜想。
哥德巴赫,德国数学家。出生于普鲁士哥尼斯堡(现为俄罗斯加里宁格勒)。早年攻读法学,毕业于哥尼斯堡大学法学系。后来游历欧洲结识了莱布尼茨、伯努利家族等一代数学名流,对数学研究产生兴趣。曾任中学教师。1725年移居俄国,同年被选为彼得堡科学院院士。1725年至1740年,担任彼得堡科学院会议秘书。1742年起,作为德国派往俄国公使常驻莫斯科。1764年12月1日在莫斯科逝世。
1729年至1764年,哥德巴赫与欧拉有长达35年的书信往来,许多重要的关于素数的论断就是通过这种方式记录下来的。哥德巴赫在1742年6月7日给欧拉的一封信中写道:“我不相信关注那些虽没有证明但很可能正确的命题是无用的,即使以后它们被验证是错误的,也会对发现新的真理有益。”然后他说:“我也想同样冒险提出一个假设。”他的假设相当于说。
从哥德巴赫猜想的提出到19世纪结束这160年中,对猜想的研究大多是进行数值的验证,提出一些简单关系式或一些新的猜测,并没有得到任何实质的结果和有效的研究方法。1900年,在巴黎召开的第二届国际数学家大会上,德国大数学家希尔伯特在其展望20世纪数学发展前景的著名演讲中提出了23个他认为最重要的没有解决的数学问题,作为今后数学研究的主要方向,并期待在新的世纪里,数学家们能够解决这些难题。哥德巴赫猜想与另两个猜想(黎曼猜想和孪生素数猜想)一起构成了他所提出的第八个问题--素数问题。可见,哥德巴赫猜想在数学史上是多么重要。然而,在此后的30多年里,对哥德巴赫猜想的研究几乎没有什么进展。这可能是因为这个猜想不仅是数论,也是整个数学中最著名、最困难的问题之一。
英国数学家哈代一生献身数学,终生未娶,在数论和函数领域做出了巨大成就。就是这样一位世界著名数学家在1921年哥本哈根数学会上的一次演讲中也不得不承认:哥德巴赫猜想可能是没有解决的数学问题中最困难的。德国数学家朗道的看法更是悲观。他在1912年英国剑桥国际数学家大会上说,不论是不超过3个,还是不超过30个,要证明存在这样的正整数C,使每个不小于2的整数都可以表示为不超过C个素数之和,也是当代数学家力所不能及的。
然而,困难并没有磨灭数学家的兴趣和意志,也没有能阻挡他们不断攀登的步伐。在1920年至1930年间,哈代和李特尔伍德系统地创造了“圆法”,用于解决解析数论中的难题。1937年,苏联数学家维诺格拉多夫在圆法的基础上,利用他本人创造的三角和方法,证明了:每个充分大的奇数都是三个奇素数之和。也就是说,除去有限个奇数外,关于奇数的哥德巴赫猜想(B)成立。这是哥德巴赫猜想的第一次实质性突破。至此,猜想(B)基本上被证明了。人们不禁要问,所谓“充分大”是多大?苏联数学家波罗斯特金曾计算过,当奇数n>exp{e16.038)时,n就可表为三个奇素数之和。遗憾的是,这个数太大了,现在的计算机还无法逐一检验当奇数n小于这个数时,咒能否表为三个奇素数之和。
我们知道,由猜想(A)成立可以推出猜想(B)成立,所以解决哥德巴赫猜想的关键还是证明关于偶数的猜想(A)。数学家们发现,用于证明猜想(B)的重要手段--圆法,不适于证明猜想(A),而要证明猜想(A)的重要手段可能是对筛法的不断改进和创新。要想一步达到猜想(A)显然是不可能的。
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