数的性质的一个悖论——一个明显的矛盾。
所以你从来就知道我的搜寻将是徒劳。
就你的目标来说是徒劳，但从旁的意义来说又不是徒劳。我并不想让你做无谓的游戏。很多人都坚信，无论多么难于寻找，一定存在着平方准确等于2的分数，你不是第一个这样想的人。此外，我还希望你能亲身经历探索和研究，体验自己独立发现的乐趣。
我必须集中精神想一想。我不否认单位正方形的对角线有一个长度。事实上，这个长度显然大于1个单位，而且据我们所知，小于1.5个单位。你又告诉我，这条对角线的长度不能表示为一个单位加上一个单位的分数倍。
完全正确。虽然对商业界来说，有理数完全够用了，但有理数却不能承担精确度量单位正方形对角线长度的任务。一个有理数，无论它多么接近于这个长度，却始终存在着误差，这个误差可能非常小，但永远不会消失。古人这样描述这种情形：正方形的对角线与正方形的一条边不可公度。
因此，如果我们坚持认为所有的数就是我们所熟悉的数，也就是有理数的话，我们就不得不说，没有一个数能表示这条对角线的长度，或者说没有一个数的平方是2。是的。但我们为什么把自己限制在这种观点之中呢？这看来很自然。
也许是这样，不过，这种想法看来自然，是因为大多数人的经验仅限于处理有理数。但正如你所说，如果我们坚持认为有理数是唯一类型的数，我们就得准备生活在这样一个世界里，在这里，有些长度不可度量，而有些数没有平方根。
因此我们必须接受其他类型的数的存在。
对数学家而言，为了证明精确地等于单位正方形对角线长度的分数不存在，就必须扩充数的构成的概念。
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