第1章 动力系统的基本概念 本章简要介绍动力系统的某些基本概念 1.1 流和离散动力系统 “动力系统”这个名词，由Poincar′e研究多体问题――质点组动力学问题而产生.后来被发扬光大，沿用下来，在数学上具有确定的含义.。考虑定义在Euclid空间Rn上的微分方程组 dx=f（x），（1.1.1） dt其初始条件为x（0）=x0.设f∈C1（Rn，Rn），x0∈Rn，则（1.1.1）的初值问题解x=φ（t，x0）局部存在唯一.再对f增加解整体存在唯一的条件，即对于一切的t∈R，x0∈Rn，设解x=φ（t，x0）整体存在唯一.由微分方程的一般理论可知，函数φ（t，x0）具有以下的性质：（1）确定性：对于一切s，t∈R，x∈Rn，有 φ（0，x）=x；φ（s+t，x）=φ（s，φ（t，x））。（2）连续性：φ（t，x）关于变元t，x在R×Rn连续。满足这两个性质的映射φ：RRn构成以t为参数的从Rn到Rn的单参×Rn→数连续变换群.我们称φ为Rn中定义的动力系统或流。对于给定的x∈Rn，集合 Orbφ（x）={φ（t，x）|t∈R}。Rn称为流φ过点x的轨道。Rn称为状态空间或相空间，每个点x∈Rn称为一个状态。如果抛开微分方程，设X是一个拓扑空间（Cr微分流形），一般地，考虑连续映射（Cr映射）φ：R×X→X，并设φ满足确定性条件：1.φ（s+t，x）=φ（s，φ（t，x）），对于一切s，t∈R，x∈X成立； 2.φ（0，x）=x，对于一切x∈X成立.此时，称φ为定义在X上的一个拓扑动力系统（Cr动力系统），或者称X上的C0（Cr）流。（1）φs+t=φsφt，对于一切s，t∈R，x∈X成立； （2）φ0=id。由于对于任何固定的t∈R，φt有逆映射φ.t，因此，φt是一个同胚（Cr微分同胚）。在拓扑空间X上定义的上述流φ同样关于t构成单参数的变换群，参数的取值范围是实数加群R+。如果对流进行离散采样，研究它每隔一段时间间隔T的状态，我们得到一个两边有无穷多项的序列，φ.2T，φ.T，φ0=id，φT，φ2T，。这个序列由同胚f=φT所生成，即 φkT=φTφTφT=fff=fk，（1.1.2） φ.kT=φ.Tφ.Tφ.T=f.1f.1f.1=f.k。（1.1.3） φT称为流φ的时刻T映射，又称Poincar′e映射.特别，φ1称为流φ的时刻1映射，流φt的时刻T映射可看作流ψT=φTt的时刻1映射。因此，只需考虑T=1情形。一般地，任给一个同胚（Cr微分同胚）f，f不一定是某个流的时刻1映射，同样能够生成一个双边序列，f.2，f.1，f0，f1，f2，，（1.1.4） 其中，f0=id，fk=f，fk.1=f，f.???，f；f.k=（f.1）k，显然f满足关系：（1）fk+l=fk，fl，对于一切k，l∈Z成立； （2）f0=id。与流的情形类比，人们称这种由同胚（Cr微分同胚）生成的双边序列为离散动力系统.离散动力系统也是一个单参数变换群，其参数取值范围是整数加群（Z，+）。由于存在没有全局截面的流，因此，一般而言，不能说每个流通过取Poincar′e映射必对应一个微分同胚，但是，流经过采样离散化而得到一个低一维的离散动力系统.流的时刻1映射总是一个同胚。反之，采用“扭扩”（suspension）微分同胚f（见图1.1.1），可构造f作为某个流的Poincar′e映射。这里不再赘述。正因为流和离散动力系统有这样紧密的关系，才激励着离散动力系统理论的大发展.我们研究流所得到的结论，往往可用于微分同胚情形。反之，在一定的条件下，由微分同胚所获得的信息，可用于研究比微分同胚高一维的流。人们往往首先在微分同胚的研究中分方程研究的动力系统方法。图1.1.1离散动力系统的扭扩 上面的讨论都是由同胚（Cr微分同胚）生成的系统，如果我们更一般地考虑连续映射（Cr映射）的迭代：f0=id，f1，f2，，fk，，k∈Z+，所得到的系统称为拓扑半动力系统（Cr微分半动力系统）。1.2基本定义和性质 设X是拓扑空间（Cr流形），f：X→X是一个同胚（Cr微分同胚）。定义1.2.1集合Orbf（x）={fk（x）|k∈Z}，Orbf+（x）={fk（x）|k∈Z+}，Orbf。（x）={fk（x）k∈Z.}分别称为离散动力系统f过点x的轨道、正半轨道和负半轨道。显然，Orbf（x）=Orbf+（x）∪Orbf.（x）如不产生混淆，可简记Orbf（x）为Orb（x）。定义1.2.2若存在正整数n.1，使得fn（x）=x成立，称x为f的周期点；使得fn（x）=x成立的最小自然数n，称为x的周期。特别，周期为1的点，称为f的不动点。用记号Per（f）和Fix（f）分别表示f的周期点集合和不动点集合。显然，Fix（f）。Per（f）。定义1.2.3设x∈X，若存在正整数m>0，使得fm（x）是f的周期点，则称x为f的准周期点（或称终于周期点）。f的终于周期点集合记为EPer（f）。f的周期点必是准周期点，反之不真。并且∞Per（f）.EPer（f）=f.m（Per（f））.m=0 f的回复点集合记为Rec（f）。显然，Per（f）。Rec（f）。定义1.2.5集合 ω（x）=.{fk（x）|k.n} n∈N与α（x）=.{f.k（x）|kn} n∈N分别称为Orbf（x）的ω极限点集和α极限点集.其中，N表示正整数集合。由这个定义可见，ω（x）和α（x）都是闭集。如果X是紧致的度量空间，则对于一切x∈X，ω（x）和α（x）都是非空的。定义1.2.6设x∈X，若存在x的邻域U（x）。X，使得对于一切k∈Z.{0}，fk（U（x））∩U（x）=.，其中.表示空集，则称x为f的游荡点.不是游荡点的点称为非游荡点（non-wanderingpoint）。换言之，对x的任意邻域U（x），总存在整数k=0，使得fk（U（x））∩U（x）=..，则称x为f的非游荡点。f的非游荡点全体所构成的集合称为f的非游荡集，记为Ω（f）。由该定义可知，f的游荡点集是开集，f的非游荡集Ω（f）是闭集。定义1.2.7设集合Λ。X，且F（Λ）=Λ（对于半动力系统F（Λ）。Λ），称Λ为f的不变集.又若Λ是f的非空闭不变集，并且不存在真包含于它之中的非空闭不变子集，则称Λ为f的极小集。定理1.2.1设f：XX是一个连续映射，则 （i）Ω（f）是闭集；→ （ii）ω（x）。Ω（f），从而Ω（f）非空；x∈X （iii）全体周期点集Per（f）。Ω（f）； （iv）f（Ω（f））。Ω（f），又若f为同胚，则Ω（f）为不变集，即f（Ω（f））=Ω（f）。证（i）根据定义1.2.6，X。Ω（f）为开集，故Ω（f）为闭集。（ii）设x∈X，y∈ω（x），兹证y∈Ω（f）.用V表示点y的邻域，兹求满足f.n（V）∩V=.的n.1，从而存在n.1和某个z∈V，满足fn（z）∈V.事实上，因为y.∈ω（x），故存在自然数列{ni}，满足fni（x）y，选择ni0 （iii）若fn（x）=x，n>0，U是x的邻域，则有x∈f.n（U）∩U，从而x∈Ω（f）。（iv）设x∈Ω（f），V为f（x）的邻域，则f.1（V）是x的邻域。从而存在某个n>0，使得f.（n+1）（V）∩f.1（V）=..。因此，f.n（V）∩V=..，故f（x）∈Ω（f），即f（Ω（f））。Ω（f）.如果f是同胚，必有Ω（f）=Ω（f.1）。因此，由f.1（Ω（f））。Ω（f）知，f（Ω（f））=Ω（f），即Ω（f）是不变集。定义1.2.8（i）连续映射f：X→X称为单边拓扑传递的（topologically transitive），倘若存在某些x∈X，其半轨道{fn（x）n.0}在X中稠； （ii）同胚映射f：XX称为拓扑传递的，|倘若存在某些x∈X，其轨道Orbf（x）={fn（x）n∈Z}在→X中稠。如果同胚映射|f：XX是单边拓扑传递的，称f是拓扑混合的.存在例子说明，拓扑传递的同胚映射→f不是拓扑混合的。反之，f拓扑混合必拓扑传递，且Ω（f）=X。定理1.2.2设f：XX是紧致度量空间的同胚映射，则以下的说法等价：（i）f是拓扑传递的；→ （ii）设E是X的闭子集，是f的不变集，则或者E=X，或者E无处稠密（换言之，对于任何满足f（U）=V的开子集U。X，或者U=.，或者U为稠集）； （iii）对任何非空开集U，V，存在n∈Z，使得fn（U）∩V=..；
展开
