朗道-利夫希茨流是研究铁磁现象的基本方程，是一类重要的色散型方程。经过国内外数学家的多年研究，朗道-利夫希茨流的数学理论已经非常丰富。《朗道-利夫希茨流》主要介绍了朗道-利夫希茨流的*新进展，特别是解的长时间行为，包括目标流形为凯勒流形的朗道-利夫希茨流的小初值解的渐近行为，以及目标是球面的朗道-利夫希茨流的有限时刻爆破解的动力学刻画。值得指出的是，还有很多公开问题与朗道-利夫希茨流相关，我们希望感兴趣的青年学生和研究人员能通过此书了解相关的数学理论，从而去攻克此领域中更多的重要问题。

第1章二维Schr6dinger映射流
　　1.1引言
　　我们先介绍一般目标流形的Schr6dinger映射流的定义.设为Kah-ler流形，定义在欧几里得空间上的Schr6dinger映射流(Schr6dinger Map Flow，SMF)是一个映射_AA，其满足
　　其中表示在拉回丛上的诱导协变导数.设等距嵌入到中，则(1.1.1)可表述为
　　(1.1.2)
　　其中表示从到TUM的正交投影.SMF的能量定义为
　　它是一个守恒量.此外，SMF具有尺度不变性：.因此，是能量临界维数.
　　Bejenaru-Ionescu-Kenig[BIK07]针对高维完成了临界Sobolev空间的小初值全局适定性理论.在d>2的情况下，Bejenaru-Ionescu-Kenig-Tataru[BIKT11]建立了时临界Sobolev空间中小初值的全局适定性理论.一个自然的问题是，能否对具有一般目标流形的Schrdinger流建立在临界Sobolev空间中的小初值全局适定性理论.事实上，Tataru在综述报告中将其作为公开问题提出.我们这一章主要研究这个问题.
　　1.1.1主要结果
　　在陈述我们的主要结果之前，我们介绍一些工作空间的符号.对于从的光滑映射，内蕴Sobolev范数定义为
　　其中▽表示在上的诱导协变导数.
　　给定一个点兄我们定义外蕴Sobolev空间吨为
　　这个空间的度量定义为定义为
　　我们的主要结果如下.
　　定理1.1.1设，Kohler流形，且等距嵌入到中，给定点QeAf.存在一个足够小的常数，使得如果满足
　　(1.1.3)
　　则具有初值的方程(1.1.1)具有全局唯一正则解.此外，当时，解将以如下方式收敛到常数映射:
　　(1.1.4)
　　进一步地，在能量空间中，我们也有
　　(1.1.5)
　　其中，为左1空间中的函数.
　　注1.1.1上述(1.1.4)和(1.1.5)的渐近行为在SMF中是新的.对于波映射的类似结果在Tao[Tao09]的第七部分中得到.类似于(1.1.5)的结果，*近由作者在双*平面的SMF背景下获得.通过检查平凡目标可以看出，(1.1.5)是自然的，具体见的评注1.1.
　　我们还证明了类似于的一致界和适定性结果.
　　定理1.1.2设设为紧Kohler流形，且等距地篏入到中，给定点.存在一个足够小的常数(仅依赖于力)使得由定理1.1.1给出的全局解？满足以下一致界：
　　(1.1.6)
　　此外，对于任意，算子SQ具有连续扩张
　　其中，我们定义
　　注1.1.2定理1.1.1对于d>3也成立.这将在第3章中证明.高维的证明主要使用了本章中的思想和一些在热流中的额外结果.我们将在第3章进一步解释.
　　1.1.2热流规范与热流
　　对于几何色散偏微分方程，特别是对于临界问题，选择适合于非线性结构(例如零结构)的适当规范和函数空间是十分重要的.这些工具中的大多数是在波映射方程的研究中发展起来的，例如.在这项工作中，我们将使用Tao的热流规范和中发展起来的函数空间.正如[BIKT11]所观察到的，与Coulomb规范相比，热流规范在二维情况下对于消除不良频率相互作用是至关重要的.为了方便陈述，我们简要回顾热流规范的定义.
　　*先，让我们回顾与移动标架相关的量和一些相关的恒等式，详细内容参见[NSVZ06]和.我们约定希腊字母上下标将在中取值.罗马字母上下标根据上下文取值于或.
　　设M是一个维的紧KShler流形.在，利用复结构，可取正交标架
　　(1-1-7)
　　设，是，在标架下的分量：
　　(1.1.8)
　　我们总是用来表示下标中的.定义值函数被其中
　　相反，给定函数，我们通过以下方式将其与丛的截面体相关联：
　　(1.1.9)
　　其中表示小的分量.在向量丛上诱导的协变导数定义为
　　其中引入的联络系数矩阵定义为
　　我们形式上写作.在分上的Riemami*率张量记作.回顾恒等式
　　(1.1.10)
　　(1.1.11)
　　形式地，我们写作.根据上述符号，(1.1.1)可以写为
　　(1.1.12)
　　[Smil2]证明了对于能量小于基态的初值，对应的热流在时，将收敛到.
　　Tao的热流规范定义如下.
　　定义1.1.1设
　　(1.1.13)
　　且
　　(1.1.14)

目录
“非线性发展方程动力系统丛书”序
序言
前言
第1章 二维Schr.dinger映射流 1
1.1 引言 1
1.1.1 主要结果 2
1.1.2 热流规范与热流 3
1.1.3 函数空间 6
1.1.4 证明的主要想法 8
1.1.5 主要思想 17
1.2 预备知识 19
1.2.1 线性估计 19
1.2.2 频率包络 20
1.3 热流的迭代 21
1.3.1 外蕴映射的估计 21
1.3.2 迭代前 22
1.3.3 *次迭代 24
1.3.4 粗略的动态分离 30
1.3.5 内蕴量与外蕴量的局部频率估计 31
1.3.6 动态热流标架的额外衰减估计 36
1.4 SMF解沿热方向的演化 40
1.4.1 微分场的抛物估计 40
1.4.2 命题1.4.1的证明I 41
1.4.3 微分场在热方向上的演化 53
1.4.4 命题1.4.1的证明II 62
1.5 沿Schr.dinger映射流方向的演化 64
1.5.1 控制非线性项 67
1.5.2 *的一致界 71
1.6 迭代方案 73
1.7 定理1.1.1和定理1.1.2的证明 82
1.7.1 全局正则性 82
1.7.2 SMF解的Sobolev范数上界 83
1.7.3 适定性 84
1.7.4 渐近行为 86
1.7.5 (1.1.5)的证明 89
1.8 附录 91
1.8.1 附录A:双线性估计 91
1.8.2 附录B:剩余命题的证明 94
第2章 高维Schrodinger映射流 97
2.1 主要结果概述 97
2.1.1 热流标架 99
2.1.2 函数空间 102
2.1.3 定理2.1.1证明的路线图 103
2.1.4 约化为热流的衰减估计 106
2.2 函数空间的预备知识109
2.3 热流的衰减估计 111
2.3.1 热流的全局演化 111
2.3.2 热流的非临界理论 118
2.4 命题2.1.1的证明 126
2.4.1 Bootstrap设定 126
2.4.2 证明命题 2.1.1 139
2.5 热流在Fk空间模块中的衰减估计 139
2.5.1 追踪*模块 139
2.5.2 关于 t 变量的微分场 146
2.6 对于d≥3定理2.1.1的证明 149
2.6.1 迭代前 149
2.6.2 **次迭代 160
2.6.3 j次迭代和定理2.1.2的证明 163
2.6.4 Sobolev界、适定性及渐近行为 165
2.7 附录A:引理2.2.3的证明 166
2.8 附录B:双线性估计 168
第3章 朗道-利夫希茨流的爆破解构造 170
3.1 主要结果概述 170
3.1.1 问题介绍 170
3.1.2 前沿进展 171
3.1.3 主要结果 172
3.2 预备知识 174
3.2.1 符号说明 174
3.2.2 基态和Frenet基 174
3.2.3 向量型方程 176
3.2.4 线性算子 178
3.3 逼近解构造 180
3.3.1 局部化逼近解 193
3.4 Bootstrap方法 196
3.4.1 正交条件和bootstrap策略 196
3.4.2 辐射项的方程 200
3.4.3 调制方程 201
3.5 能量估计 205
3.5.1 能量恒等式 205
3.5.2 Morawetz修正 208
3.5.3 主定理的证明 233
3.6 奇性形成的描述 239
3.7 附录A:强制性和插值估计.242
3.8 附录B:引理3.5.4的证明 246
参考文献 250
“非线性发展方程动力系统丛书”已出版书目253