第1章绪论
1.1断裂问题研究方法
固体材料和结构的破坏问题一直是力学研究中的**难题。目前，针对无缺陷材料的失效问题研究已经比较深入。然而，材料以及结构中的裂纹等各种缺陷使得材料和结构在低于强度值时就已经发生破坏，这些现象采用传统的强度观点很难做出解释。因此，针对材料以及结构断裂问题的研究是一个重要的课题。
材料以及结构在失效过程中不可避免地会产生裂纹等不连续特征，而**的连续介质力学将模型定义为连续体，需要对位置求导数，在求解不连续问题时会遇到奇异性问题[4_61。断裂力学将含裂纹模型定义为新的连续体，将裂纹作为边界加入到模型当中然而断裂力学理论只能处理较为规则、简单的模型，针对工程中的复杂问题，还需要采用有限元法等数值算法进行求解。有限元法在划分单元时将裂纹考虑为边界，使裂纹与单元的边重合，如果裂纹发生扩展，则需对新的连续体进行网格划分，这一过程不但费时费力，位移和应力等信息在新旧网格之间的传递还会带来额外的误差。内聚力模型在单元的边界设置内聚力单元，通过内聚力单元的破坏表征裂纹的扩展，裂纹只能沿着单元边界进行扩展，裂纹扩展路径与网格相关，此外，过多地插入内聚力单元会改变模型的刚度。扩展有限元法允许裂纹穿过单元内部，裂纹可以在单元中沿任意方向进行扩展，然而该方法在处理裂纹形核、融合、分叉、多裂纹相互作用以及三维裂纹扩展问题时仍显乏力。
无网格法按坐标点构造插值函数，无须生成网格，在处理不连续问题时可能需要对裂纹进行特殊处理，且需要对大型矩阵进行求逆运算，计算效率较低[17'18]0相场法利用*小势能原理得到模型损伤场，可方便表征裂纹，然而，需要细致的网格划分获得相场梯度项，此外，相场法引入了一个额外的自由度，增加了模型规模分子动力学利用原子之间的相互作用模拟裂纹的形核和扩展，由于计算资源的限制，分子动力学只适合微观尺度的模型。连续介质的非局部理论在宏观尺度考虑物质的非局部作用，分为积分型模型和梯度型模型。然而，大多数非局部理论仍需对位置求导数，不利于处理不连续问题。近场动力学通过求解空间积分方程表征物质点之间的相互作用，不需要对位置求导数，可方便表征裂纹等不连续问题。
1.2近场动力学理论
近场动力学理论于2000年由Silling博士提出，该理论基于非局部思想，通过积分方程建立物质点之间的相互作用，抛弃了连续性假设，无须对位置求导数，可以方便表征不连续问题，裂纹在模型中可以自由形核、扩展、分叉和融合。由于其在表征破坏问题方面的优异表现，自诞生以来经历了蓬勃的发展。目前，已发展出键型理论、常规态理论、非常规态理论以及其他近场动力学理论。其应用范围也拓展至材料以及结构的脆性断裂、弹塑性断裂、复合材料、岩石材料、冲击破坏、热力耦合问题，等等。
1.2.1键型理论
早期的近场动力学理论被称为键型理论，其运动方程为
（1-1）
式中，P代表材料的质量密度；
别为物质点对物质点的力密度矢量和物质点对物质点的力密度矢量；和分别为物质点的坐标和位移矢量；代表物质点的体力密度矢量；代表物质点的作用范围如图1-1所示，物质点与物质点的作用等大反向，且不受其他物质点的影响，它们之间的力密度矢量表示为[7]
（1-2）
（1-3）
式中，表示本构力函数
式（1-1）可以改写为
（1-4）
假设各向同性材料的本构力函数与伸长率符合线性关系，则本构力函数可以改写为
（1-5）
式中，c和s分别代表微模量系数和伸长率；表不物质点的现时位置，
（1-6）
伸长率s写为
（1-7）
微模量系数c可以取常数，也可以取和距离相关的量。当c取常数时可以写为。
（1-8）
式中，和分别表示杨氏模量和物质点的作用半径；和分别表示厚度和横截面积。
式（1-5）表明，键型理论只存在一个*立的材料参数，而微模量系数不能同时表征杨氏模量E和泊松比。因此，键型理论的泊松比只能取固定值。此外，键型理论不能区分体积变形和形状变形，不包含非局部应力和非局部应变。键型理论还可以用来表征材料的弹塑性变形以及失效过程。文献和文献分别给出了键型理论的理想塑性模型和线性强化模型，并模拟了材料的弹塑性失效过程。
1.2.2常规态理论
为了克服键型理论的不足，Silling博士在2007年提出了常规态理论。常规态理论在键型理论的基础上增加了体积变形的概念，从而打破了模型泊松比的限
制，可以区分体积变形和形状变形，可以表征体积不可压缩性。然而，常规态理论仍然不包含非局部应力和非局部应变。如图1-2所示，物质点之间的力密度矢量方向相反，大小可以不相等。物质点j作用于物质点i的力密度矢量以及物质点作用于物质点的力密度矢量分别写为
（1-9）
（1-10）
式中的参数木和A2分别写为
（1-12）
式中，表示物质的体积应变；代表影响函数，表示物质点i与物质点j之间作用的强弱，
（1-13）
物质点i的体积应变9i写为
（1-14）
式中，表示物质点的坐标。
对于一维、二维平面应力和三维问题，参数a、6和d分别写为
（1-15）
式中，和分别表示体积模量和剪切模量。
由于常规态理论不包含非局部应力与非局部应变的概念，在处理弹塑性本构关系时需要在模型中找到与塑性相关的量相对应的表达式，流程较为烦琐。然而，常规态理论可以区分体积变形和形状变形，可以描述材料的不可压缩性。相比于键型理论，该理论更适合表征材料弹塑性变形。文献[5]和文献[63]分别提出了常规态理论的理想塑性模型和非线性强化模型。
1.2.3非常规态理论
与键型理论、常规态理论不同，非常规态理论采用近似非局部变形张量表示非局部应力与非局部应变。由于包含本构矩阵，非常规态理论的模型参数不存在限制，可以采用**连续介质力学中的本构关系来描述复杂的材料响应[68]。如图1-3所示，物质点之间的力密度矢量的方向和大小都可以不同。物质点作用于物质点的力密度矢量以及物质点作用于物质点的力密度矢量分别写为[7]
（1-16）
（1-17）
代表物质点的形状张量
（1-18）
代表物质点的**皮奥拉-基尔霍夫（Piola-Kirchhoff）应力张量
（1-19）
代表物质点的第二皮奥拉-基尔霍夫应力张量
（1-20）
式中，C和R分别表示弹性张量和物质点的变形张量。物质点的变形张量写为
（1-21）
虽然非常规态理论在很大程度上克服了键型理论和常规态理论的不足，但非常规态理论存在不稳定性问题，计算结果表现出数值振荡，特别是在边界附近区域以及变形梯度较大的区域，严重时会造成计算结果失真[71]。对于不稳定性问题产生的原因，学者们给出了各种解释，并给出了不同的解决方案。Littlewoodl72!提出采用惩罚函数来控制模型的不稳定性问题。文献[70]对比了互联弹簧、平均位移状态和惩罚函数方法对不稳定性问题的控制效果。文献[79]利用高阶变形梯度张量代替一阶变形梯度张量，从而减小了计算结果的振荡。Luo等提出应力点方法，在应力点处而非物质点处计算应力。等提出利用近场动力学微分算子改进不稳定性问题。Silliiig提出了一种稳定的非常规态模型，但是需要通过大量的数值计算来确定模型中的未知参数。Li等通过线性化的键型模型推导出一种不需要任何参数的稳定的非常规态模型。虽然这些控制方案可以有效地抑制模型的不稳定性问题，但是会降低模型的计算效率，有些甚至还会改变模型的刚度。
非常规态理论包含有本构矩阵，可以方便地表征材料的弹塑性本构关系以及黏塑性本构关系。LittlewoodW采用非常规态理论模拟了具有线性强化弹塑性本构的材料在高速冲击中的断裂过程。Tupek等将非常规态理论应用于金属延性损伤情况的模拟。Lai等将非常规态理论用于表征德鲁克-布拉格（Drucker-Prager）弹塑性本构关系，并用来模拟边坡稳定性问题。
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