第1章 地层组分分析程序
测井得到的是岩石表现出来的物理性质（如电学性质、声学性质、核物理性质等），而不是直接测得的岩石物性（如孔隙度、渗透率、饱和度）。因此，由测井值反演地层参数是测井解释的基本任务，这也是*优化测井解释程序与地层组分分析程序的用途。
20世纪80年代出现的*优化测井解释程序，如斯伦贝谢（Schlumberger）公司的GLOBAL，江汉石油学院的DMO，都是以*优化原理为基础的复杂岩性分析程序，它们通过求解以下目标函数的*优解，求取符合地质情况的*大概率解。（1-1）式中：Δ为*优化解释的目标函数；m为响应方程个数；p为约束个数；fi()x为第i条*线的理论测井值；σi为第i条*线的测井值误差；τi为第i条*线的响应值误差；Tj为第j个约束的约束误差；Gj()
x为第j个约束不符合约束的程度值；x为数组，*优化求解的未知数，x=（孔隙度，含水饱和度，冲洗带含水饱和度，泥质含量，矿物骨架1含量，矿物骨架2含量， ）。
该目标函数非常复杂，局部极值点多，寻优计算量大，并且所求极值点不一定是目标函数的全局极小点，这使得*优化测井解释程序在实际应用中受到一定限制。为克服*优化测井解释程序的不足，提出地层组分分析程序。
本章将分别给出地层组分分析程序反演地层参数的物理模型、数学模型、求解算法、响应方程及常见测井解释参数的求取方法。
1.1 物理模型
含油气的储集层可以看成是由具有不同性质的组分组成的，这些组分包括：不动油、可动油、可动水、天然气、泥质及岩石的各种矿物骨架。测井分析的主要任务就是求取这些组分在地层中的相对含量。人们习惯使用的“含油（气）饱和度”和“孔隙度”等参数都可以由以上组分含量导出。组成地层的组分有很多种，因此用现有的有限测井信息正确反演出地层的全部组分是不现实的。一般情况下，组分的个数必须小于或等于响应方程的个数加1，为满足这一要求，通常采用的方法为：①把地层中物理性质相近的组分看成是同种组分，例如，可把绿泥石、伊利石和其他黏土矿物合称为泥质；②把地层中一些含量很小的组分合并到与之性质相近的组分之中，例如，砂岩中含有少量长石时，可将长石合并到石英中，认为该砂岩就是纯石英砂岩。
对岩性不十分复杂的储集层来说，可以运用以上简化处理方法。简化后的物理模型见表1-1。
表1-1 地层组分分析程序物理模型
根据这一地层模型，可得到以下地层参数的表达式。
孔隙度：
φ= xor + xom + xfw + xgas （1-2）
地层含水饱和度：
Sw = xfw xor + xom + xfw + xgas （1-3）
冲洗带含水饱和度：
S = xom + xfw + xgas xo xor + xom + xfw + xgas （1-4）
泥质含量：
Vsh = xsh （1-5）式中：xor 为不动油相对体积；xom 为可动油相对体积；xfw 为自由水相对体积；xgas 为天然气相对体积；xsh 为泥质相对体积。
这样建立的物理模型，使得数学模型相对简单，易于求解。
1.2 数学模型
1.2.1 待解决的反演问题
根据地层组分分析程序物理模型，可写出各种测井仪器的响应方程。例如，密度测井的响应方程为
ρb =ρor xor +ρom xom +ρfw xfw +ρgas xgas +ρsh xsh +ρma1 xma1 +ρma2 xma2 ++ρmakxmak （1-6）式中：ρb 为密度测井值；ρor， ρom， ρfw ， ρ， ρsh ， ρma1 ， ρma2 ，， ρmak 分别为地层中不动油、可动油、自由水、天然气、泥质、岩石矿物gas骨架（1～k 种）的体积密度值。
为简便起见，将式（1-6）写成
n ρx =ρ( j =1，2，， n) （1-7）
式中：n 为组成地层的组分个数；xj 为第j 种组分的相对含量。
同理，可写出其他测井仪器的响应方程，用通式表示为
∑nAijxj = Bi (i =1，2，， m) （1-8）式中：A 为测井值；m 为测井仪器的个数；B 为地层对测井仪器的响应值。
解以上由m个方程组成的方程组，就可以求得xj，这就是待解决的反演问题。
1.2.2 带约束的超定线性方程组建立
当mn，此时方程组为超定线性方程组，它具有一个*优解。*优解x*可能出现x*j<0或x*j>1的现象，这种结果在地质上是不存在或无意义的。为了使求解的结果合乎地质意义，并符合地层实际情况，需要在式（1-8）中加入相关约束条件，即（1-9）
写成更一般的形式：（1-10）
式（1-10 ）为一带约束的超定线性方程组。其中，c、xmax j 均为常数，在地层组分分析程序中c=1，xmax j 为第j 种组分的*大相对体积。
1.2.3 目标函数
由线性*小二乘原理，解式（1-10 ）这一带约束线性方程组的问题，可转换成以下求极值问题：（1-11）
由于不同测井值的量纲不同，且它们的测量值差别也很大，在实际计算中需要将式（1-11）目标函数中系数A及B进行标准化处理，使各种测井响应的A和B都成为无量纲的数，并在同一数量级上，使各种测井响应对*终结果具有相同的贡献。标准化处理是将方程的两边同时除以一个系数P，该系数除具有标准化作用外，还具有权系数的作用，对质量差的测井*线应赋予低的权系数，质量好的测井*线应被赋予高的权系数。
当n≤m时，线性方程组（1-9）的*小二乘解是唯一的，因为在实际问题中矩阵A满秩，并且式（1-10）的解空间为凸空间，所以这种带约束的线性方程组（1-10）的解是唯一的，极值问题[式（1-11）]只有一个极小点。式（1-11）构成了地层组分分析程序的数学模型，f()为目标函数。
1.3 求解算法及部分应用
1.3.1 算法
假定式（1-10）已进行标准化处理，下面讨论极值问题[式（1-11）]的求解方法。任取R中的一个点x(0)，在x(0)处f()的线性逼近函数为fL()=f(x(0))[f(x(0))]((0)x+.x.x)（1-12）其中，.f(x(0))= f(.xx1)，.f.(xx2)，，.f.(xxn) 。
显然，求线性规划问题minLx的*优解，等价于求线性规划问题min[.f(x(0))]Txf()(0)(0)(0)(0)的*优解。令(0)为式（1-11）的*优解，.f.(xxk)=min f.(xx1)，.f.(xx2)，，.f.(xxn) ，xFL (0)由线性规划的性质可知，xFL必为R的一个顶点，因此可得.0(jk
(0)xFLj= x(j=≠k))(j=1，2，，n)（1-13）
下面分两种情况讨论：
当[.f(x)](xFL.x)=0时，xFL就是线性规划问题的解，迭代停止；
当[.f(x)](xFL.x)≠0时，则问题变为极值问题：minf[x(0)+λ(x(0).x(0))]（1-14）的*优解λ0，这时必有0λ01。
令x=x+λ0(xFL.x)，把x作为x，继续用上述方法线性逼近目标函数f()，并重复以上步骤直到满足精度为止，就可求得带约束超定线性方程组（1-10）的解。图1-1为地层组分分析程序中求解数学模型[式（1-11）]的计算机流程图。
图1-1 地层组分分析程序中求解数学模型的计算机流程图
在式（1-11）中，很容易写出f()的一阶导数，因此寻优计算工作量小，并且目标x函数f()不存在多个局部极小点，所以对迭代初始值的要求不严，不管迭代初始值怎样x选择，在有限步内，总可收敛到同一极小点。
1.3.2 部分应用
由地球化学测井（geochemical logging technology，GLT ）提供的岩石的化学成分（氧化物含量）反演矿物含量是岩石学家必须解决的问题。
假定岩石中有n种矿物，每种矿物包含m种氧化物成分，则（1-15）式中：aij为矿物j中第i种氧化物的质量分数；xj为岩石中第j种矿物的质量分数；yi为岩石中第i种氧化物的质量分数。地球化学测井中，yi已知，aij可在实验室测得。对矿物含量，有地质约束：（1-16）且（1-17）
因此，求矿物含量xj的问题，可转化为解如下约束方程组问题：（1-18）
该约束方程组完全可由1.3.1 小节所给算法求解。
直接应用表1-2～表1-3（Harvey et al.，1992）中的数据进行实际计算，并将结果与其他三种算法的结果作对比。表1-2为矿物的化学成分，表1-3为人造岩石的X射线荧光分析结果，表1-4为三种算法计算结果的比较，其中：TA表示人造岩石的实际矿物成分；GA表示Fang等（1996）给出的遗传算法；LS表示Harvey等（1992）的*小二乘法；CQ表示本节算法。
表1-2 矿物的化学成分（单位：%）
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