本书的第一部分介绍了Chip-firing的基本原理。第一章以对Chip-firing的简单介绍开始，包括基本动力学的一个扩展的例子。第二章展示了Chip-firing动力学的细节，比如阿贝尔性质、稳定性与临界性。第三章与组合学有很大的联系，其结果是不同的长期稳定构形的数量等于图的生成树的数量。此外，我们提出了美利奴(Merino)定理，该定理改进了这个计算，并且由于它与面数的联系从而引起了人们对Chip-firing组合学的极大兴趣。 第四章和第五章继续介绍Chip-firing的早期观点。第四章处理了沙堆群——一个自然与碎片配置相关联的有限阿贝尔群。第五章讨论了模式的形成，包括沙堆群的单位元。正是在这里，人们发现了Chip-firing模型迷人的分形行为。 本书的第二部分展示了更通用的Chip-firing的一般框架。对Chip-firing是一种由图拉普拉斯(Laplace)算子控制的离散扩散形式的观察构成了第六章的基础内容。将图拉普拉斯算子适当地推广到其他算子中会产生新的系统，但它们都具有类似的良好属性。在这种情况下，Chip-firing可以被视为一种能量最小化系统。 第七章介绍了高维的Chip-firing。高维模型不是图顶点上的碎片，而是由拓扑复形单元上的流组成的。更高维的Chip-firing带来了胞腔理论生成的树和组合拉普拉斯算子。 第八章介绍了一个由代数几何驱动的方向。将图形解释为代数曲线的组合类比，碎片构形可以被认为是曲线上的除数。第八章还包括了从算术几何角度出发的Chip-firing以及与二变量zeta函数的连接。 最后，第九章考虑了组合交换代数角度的Chip-firing。Chip-firing的动作在被称为倾覆理想的二项式理想中被编码。这里还介绍了单项式初始理想，即图的树理想。我们将看到树理想的标准单项式与Chip-firing系统的长期稳定构形是双射的。

Preface
Ⅰ Fundamentals
1 Introduction
1.1 A brief introduction
1.2 Origins and History
1.2.1 The abelian sandpile model
1.2.2 A combinatorial game
1.2.3 Abstract rewriting systems
2 Chip-firing on Finite Graphs
2.1 The chip-firing process
2.1.1 The graph Laplacian
2.1.2 Cluster-fires
2.2 Confluence
2.3 Stabilization
2.4 Toppling time
2.5 Stabilization with a sink
2.6 Long-term stable configurations
2.6.1 Criticality
2.6.2 Firing equivalence
2.6.3 Superstability
2.6.4 Energy minimization
2.6.5 Duality
2.6.6 Structure
2.6.7 Burning
2.7 The sandpile Markov chain
2.7.1 Avalanche operators
2.8 Exercises
3 Spanning Trees
3.1 Spanning trees
3.2 Statistics on trees
3.2.1 Level
3.2.2 Activity
3.2.3 The Tutte polynomial
3.3 Merino's theorem
3.3.1 The O-conjecture
3.4 Cori Le Bcrgne bijection
3.5 Acyclic orientations
3.5.1 Hyperplane arrangements
3.6 Parking functions
3.7 Dominoes
3.8 Avalanche polynomials
3.8.1 Avalanche polynomials of trees
3.9 Exercises
4 Sandpile Groups
4.1 Toppling dynamics
4.2 Group of chip-firing equivalence
4.3 Identity
4.4 Combinatorial invariance
4.5 Sandpile groups and invariant factors
4.5.1 Explicit forms of the sandpile group
4.5.2 Sandpile groups of random graphs
4.6 Discriminant groups
4.7 Sandpile tcrsors
4.7.1 Rotor-routing
4.7.2 Bernardi process
4.7.3 Cycle-cocycle reversal
4.8 Exercises
5 Pattern Formation
5.1 Compelling visualizations
5.2 Infinite graphs
5.3 The one-dimensional grid
5.4 Labeled chip-firing
5.5 Two and more dimensional grids
5.5.1 Odometer
5.5.2 Support
5.5.3 Backgrounds
5.5.3.1 Higher dimensions
5.5.4 Scaling limits
5.6 Other lattices
5.7 Tile identity element
5.8 Exercises
Ⅱ Extensions
6 Avalanche Finite Systems
6.1 M-matrices
6.2 Chip-firing on M-matrices
6.3 Stability
6.3.1 Superstability
6.3.2 Criticality
6.3.3 Energy minimization
6.3.4 Uniqueness
6.4 Burning
6.5 Directed graphs
6.5.1 Digraphs
6.5.2 Stabilization
6.5.3 Toppling time
6.5.4 Oriented spanning trees
6.6 Cartan matrices as M-matrices
6.7 M-pairings
6.8 Exercises
7 Higher Dimensions
7.1 Illustrative examples
7.2 Cell complexes
7.3 Combinatorial Laplacians
7.4 Chip-firing in higher dimensions
7.5 The sandpile group
7.6 Higher-dimensional trees
7.6.1 Enumeration of trees
7.7 Sandpile groups
7.7.1 Precise forms of sandpile groups
7.8 Cuts and flows
7.9 Stability
7.9.1 M-pairings
7.10 Exercises
8 Divisors
8.1 Divisors on curves
8.2 The Picard group and Abel-Jacobi theory
8.3 Riemann-Roch Theorems
8.3.1 The rank function
8.3.2 Proof
8.4 Torelli's theorem
8.5 The Picg(G) torus
8.6 Metric graphs and tropical geometry
8.7 Arithmetic geometry
8.8 Riemann-Roch for lattices
8.9 Two-variable zeta-functions
8.10 Enumerating arithmetical structures
8.11 Exercises
9 Ideals
9.1 Toppling ideals
9.2 Tree ideals
9.3 Resolutions
9.3.1 Cellular resolutions
9.3.2 Betti numbers
9.4 Critical ideals
9.5 Riemann Roch for monomial ideals
9.6 Exercises
List of Figures
Bibliography
Index
编辑手记