本书是一本全面论述随机-区间混合结构可靠性分析及优化设计的专著，主要内容包括：首先，聚焦混合结构可靠性分析的计算效率难点，提出多种高效求解算法；其次，针对结构系统可靠性、可靠度敏感性、时变可靠性、考虑变量相关性的可靠性等重要问题，建立相应的可靠性分析方法；最后，将混合结构可靠性分析拓展至结构优化设计问题，并提出随机-区间混合可靠性优化方法和结构-材料一体化鲁棒性拓扑优化方法。 本书可作为高等院校机械工程、力学、土木工程、航空航天等专业的研究生及高年级本科生学习的参考用书，也可供相关领域的科研人员阅读。

第1章 传统结构可靠性分析基本理论
　　结构可靠性分析(structural reliability analysis)理论是基于工程结构设计中存在的各类参数不确定性发展起来的，旨在实现工程结构的可靠性评估与安全性设计。根据已知信息或认知水平的不同，目前结构中的不确定性主要分为随机不确定性(aleatory uncertainty)和认知不确定性(epistemic uncertainty)两类[1，2]。传统结构可靠性分析主要考虑结构中的随机不确定性，是将概率统计理论与工程结构问题相结合而发展出来的一套行之有效的可靠性分析理论与方法，目前已广泛应用于实际工程问题中。本章主要介绍传统结构可靠性分析的基本理论，为后续随机-区间混合可靠性分析方法的介绍提供必要的理论基础。本章的主要内容分为两部分：一部分给出结构可靠性基本概念，包括功能函数、极限状态面、结构可靠度、失效概率等；另一部分对结构可靠性分析的**方法，即一次二阶矩方法[3-6]进行简要介绍。更多结构可靠性分析的理论、方法和应用可参考相关著作[7-13]。
　　1.1 结构可靠性基本概念
　　1.1.1 功能函数和极限状态面
　　结构可靠性定义为结构在规定时间内和规定条件下，完成规定功能的能力[10，12]。结构可靠性分析需要度量结构是否满足某一功能要求，因此需要建立结构响应与影响该响应的各个不确定因素之间的函数关系，即结构的功能函数或极限状态函数。功能函数用以描述结构在刚度、强度、振动特性等方面的功能或性能，通常表现为位移、应力、应变等结构响应或其函数形式。若考虑结构中由个随机变量(random variable)组成的随机向量，则单失效模式问题的结构功能函数(performance function)可表示为
　　(1.1)
　　整个结构或者结构的一部分超过某一特定状态就不能满足设计规定的某一功能要求，此特定状态称为结构的极限状态。因此，结构的可靠性分析以结构是否达到极限状态为依据。对于式(1.1)中的功能函数，本书规定时结构处于可靠状态，时结构处于失效状态，时结构处于极限状态。因此，结构的极限状态方程(limit-state function)可表示为
　　(1.2)
　　在随机参数空间中，由极限状态方程构成的*面称为极限状态面，也称为失效面。极限状态面将参数域分割为失效域和可靠域：
　　(1.3)
　　(1.4)
　　极限状态面是和的分界面，可任意包含于式(1.3)或者式(1.4)所表示的区域中。当时，功能函数，其对应的极限状态面、失效域和可靠域如图1.1所示。
　　图1.1 极限状态面定义示意图
　　对于**的广义应力强度问题，通常假设结构中存在两个随机变量和，其中表示结构抗力，表示载荷效应，其极限状态方程可写为
　　(1.5)
　　时结构处于可靠状态，时结构处于失效状态，时结构处于极限状态。
　　1.1.2 结构可靠度和失效概率
　　结构可靠度(reliability)是结构可靠性的概率度量。结构需要完成的功能通过功能函数表示，功能函数是随机变量的函数，因此功能函数本身也是一个随机变量，其取值大于0(结构可靠)还是小于0(结构失效)是不确定的。对于随机参数空间中的任意一个点，该点落入可靠域的概率称为结构可靠度，用表示；该点落入失效域的概率称为结构的失效概率(probability of failure)，用表示。结构可靠与结构失效是两个互不相容事件，因此和满足如下关系：
　　(1.6)
　　理论上，上述两个指标都可以用于度量结构的可靠性，为了计算和表示的方便，在实际使用中常用失效概率来反映结构的可靠性。
　　假定功能函数的概率密度函数为，则结构可靠度可表示为
　　(1.7)
　　结构的失效概率可表示为
　　(1.8)
　　其中，表示概率。一般情况下，功能函数的概率分布都是未知的，因此无法直接通过式(1.7)或式(1.8)进行求解。但是，功能函数中随机变量的分布通常可以确定。例如，功能函数中，已知随机变量和s的联合概率密度函数为，则根据定义，结构的失效概率可通过式(1.9)进行计算：
　　(1.9)
　　假设随机变量和之间相互*立，其概率密度函数分别为和，累积分布函数分别为和，则式(1.9)可转化为
　　(1.10)
　　或者为
　　(1.11)
　　对于一般的功能函数，随机变量的联合概率密度函数设为，则结构的失效概率为
　　(1.12)
　　若各随机变量之间相互*立，表示各个随机变量的概率密度函数，则
　　(1.13)
　　1.1.3 结构可靠度指标
　　从1.1.2节可知，结构失效概率的计算通常需要求解多重积分，积分维数与变量数目相同。当随机变量较多时，多重积分的求解将会比较困难。在实际应用中，一般较少直接对多重积分进行求解，而是通过引入可靠度指标的概念来进行更为方便且高效的求解。
　　当已知功能函数的分布形式时，可通过式(1.8)直接求解结构的失效概率。而功能函数的分布取决于所有随机变量的分布以及功能函数本身的特性，不妨假定服从正态分布，其均值和标准差分别为和，则失效概率可通过式(1.14)求得
　　(1.14)
　　进行如下变换：
　　(1.15)
　　则式(1.14)可转换为
　　(1.16)
　　其中，和分别表示标准正态变量的概率密度函数和累积分布函数。
　　定义可靠度指标(reliability index)为
　　(1.17)
　　则可靠度指标与失效概率之间存在如下对应关系：
　　(1.18)
　　仍以功能函数为例，如果和均服从正态分布且相互*立，Z是和的线性函数，则也服从正态分布，且有，。根据式(1.17)，可靠度指标可表示为
　　(1.19)
　　上述分析中，可靠度指标是基于功能函数服从正态分布的假设来定义的，然而在实际问题中，功能函数很多时候并不服从正态分布。对于涉及非正态随机变量或非线性复杂功能函数的问题，结构可靠度指标难以直接求解，而是需要通过一些近似方法来求解[14]。一次二阶矩方法是目前求解结构可靠度指标及结构可靠度的一类有效方法，已被广泛应用于工程结构的可靠性分析与设计中，也是后续发展出的很多先进结构可靠性分析方法的基础。下面将对几种常用的一次二阶矩方法进行简要介绍，更多的内容可参考相关文献[3-6，8-12]。
　　1.2 一次二阶矩方法
　　实际问题中，功能函数的非线性或随机变量的非正态性给可靠性分析带来了一定的困难。通过泰勒展开将功能函数展开至一次项，并根据可靠度指标的定义进行近似求解，形成结构可靠度的一次二阶矩方法[8-12]。一次二阶矩方法包括中心点法和验算点法：中心点法不需要考虑变量的概率分布；验算点法中的基本设计验算点法[3]只能处理正态随机变量问题，当量正态化法[4]及映射变换法[5]等可处理其他类型的随机变量问题。因为篇幅有限，下面主要介绍中心点法、基本设计验算点法、当量正态化法和映射变换法，其他类型的一次二阶矩方法将不在本章进行介绍。
　　1.2.1 中心点法
　　中心点法是早期用于求解结构可靠性分析问题的一种方法，其基本思想是将非线性功能函数在中心点处进行一阶泰勒展开，以近似求解功能函数的均值和标准差，从而得到结构的可靠度指标。
　　

目录
前言
第1章 传统结构可靠性分析基本理论 1
1.1 结构可靠性基本概念 1
1.1.1 功能函数和极限状态面 1
1.1.2 结构可靠度和失效概率 3
1.1.3 结构可靠度指标 4
1.2 一次二阶矩方法 5
1.2.1 中心点法 5
1.2.2 基本设计验算点法 6
1.2.3 当量正态化法 10
1.2.4 映射变换法 11
1.3 本章小结 14
参考文献 14
第2章 随机-区间混合不确定性分类及结构可靠性分析 17
2.1 随机-区间混合不确定性问题描述 17
2.2 功能函数构建 19
2.3 不确定性建模 19
2.3.1 Ⅰ型混合模型 20
2.3.2 Ⅱ型混合模型 21
2.3.3 两类模型的适用性 23
2.4 不确定性传播分析 24
2.4.1 Ⅰ型混合不确定性传播分析 24
2.4.2 Ⅱ型混合不确定性传播分析 25
2.5 结构可靠性分析 26
2.5.1 Ⅰ型混合模型的可靠性分析 28
2.5.2 Ⅱ型混合模型的可靠性分析 30
2.6 随机-区间混合可靠性分析领域未来需要关注的问题 32
2.7 本章小结 34
参考文献 34
第3章 基于单调性分析的可靠性求解策略 44
3.1 基于FORM的随机-区间混合可靠性分析 44
3.1.1 针对**类极限状态带的混合可靠性分析 45
3.1.2 针对第二类极限状态带的混合可靠性分析 46
3.2 等概率变换的单调性分析 47
3.2.1 区间分布参数与极限状态边界面的关系 47
3.2.2 常见随机分布的单调性分析 49
3.2.3 区间分布参数对极限状态面的影响 52
3.3 基于单调性分析的混合可靠性求解算法 53
3.3.1 考虑区间平移参数的可靠性分析 54
3.3.2 考虑区间平移和旋转参数的可靠性分析 56
3.4 数值算例与工程应用 58
3.5 本章小结 64
参考文献 64
第4章 基于响应面的可靠性分析 66
4.1 基于一次多项式响应面的可靠性分析 66
4.1.1 一次多项式响应面的构建与更新 66
4.1.2 近似混合可靠性问题的求解 69
4.1.3 算法流程 70
4.1.4 数值算例与工程应用 71
4.2 基于二次多项式响应面的可靠性分析 76
4.2.1 二次多项式响应面的构建与更新 76
4.2.2 算法流程 78
4.2.3 数值算例与工程应用 78
4.3 本章小结 82
参考文献 82
第5章 统一型可靠性分析方法 84
5.1 等效模型的构建 84
5.2 统一型可靠性分析算法流程 87
5.3 数值算例与工程应用 88
5.4 本章小结 91
参考文献 91
第6章 结构系统可靠性分析 92
6.1 随机系统可靠性分析 92
6.1.1 多失效模式相关性分析 93
6.1.2 串联系统可靠性计算 95
6.1.3 并联系统可靠性计算 96
6.2 随机-区间混合系统可靠性分析 96
6.2.1 多失效模式相关性分析 96
6.2.2 串联系统可靠性计算 97
6.2.3 并联系统可靠性计算 98
6.3 数值算例与工程应用 100
6.4 本章小结 104
参考文献 105
第7章 可靠度敏感性分析 106
7.1 敏感性指标建立 106
7.1.1 第Ⅰ类敏感性指标 107
7.1.2 第Ⅱ类敏感性指标 109
7.1.3 第Ⅲ类敏感性指标 109
7.1.4 第Ⅳ类敏感性指标 110
7.1.5 第Ⅴ类敏感性指标 110
7.1.6 第Ⅵ类敏感性指标 111
7.2 数值算例与工程应用 111
7.3 本章小结 115
参考文献 115
第8章 非精确随机过程模型及时变可靠性分析 117
8.1 P-box模型简介 118
8.2 非精确随机过程模型 119
8.3 基于参数化P-box的非精确随机过程模型 121
8.4 应用于结构时变可靠性分析 123
8.5 数值算例与工程应用 127
8.6 本章小结 134
参考文献 135
第9章 考虑变量相关性的可靠性分析 138
9.1 基于相关角的可靠性分析 138
9.1.1 不确定性变量相关角的定义 138
9.1.2 基于仿射坐标变换的可靠性计算 142
9.1.3 数值算例与工程应用 145
9.2 基于样本相关系数的可靠性分析 151
9.2.1 统一样本相关系数的定义 151
9.2.2 *立变量等效模型的构建 152
9.2.3 数值算例与工程应用 153
9.3 本章小结 161
参考文献 162
第10章 基于可靠性的优化设计 164
10.1 传统RBDO问题 164
10.2 HRBDO模型构建及高效解耦算法 165
10.2.1 HRBDO模型构建 165
10.2.2 约束混合可靠性分析 166
10.2.3 基于ISV策略的优化求解 168
10.2.4 算法流程 171
10.3 数值算例与工程应用 173
10.4 本章小结 182
参考文献 182
第11章 结构-材料一体化鲁棒性拓扑优化设计 185
11.1 结构-材料一体化拓扑优化 185
11.1.1 基于数值均匀化的材料性能计算 185
11.1.2 拓扑优化模型构建 188
11.1.3 灵敏度分析与求解 189
11.2 基于HUDR的结构-材料一体化鲁棒性拓扑优化 190
11.2.1 鲁棒性拓扑优化模型构建 190
11.2.2 鲁棒性拓扑优化目标函数求解 191
11.2.3 鲁棒性拓扑优化目标函数灵敏度分析与求解 194
11.3 数值算例与工程应用 195
11.4 本章小结 203
参考文献 203