本书以五幕数学剧的形式直观地讲述微分几何和形式，在前四幕中，作者把“微分几何”回归为“几何”，使用200多幅手绘示意图，运用牛顿的几何方法对经典结果进行几何解释，在第五幕中，作者向本科生介绍形式，以直观和几何的方式处理高级主题。 本书作者挑战性地重新思考了微分几何和形式这个重要数学领域的教学方式，学习本书只需要基本的微积分和几何学知识即可，高等院校数学专业学生及数学研究者均可阅读。

第一幕 空间的本质
第1章 欧几里得几何与非欧几何
1.1 欧几里得几何与双曲几何
1.2 球面几何
1.3 球面三角形的角盈
1.4 曲面的内蕴几何与外在几何
1.5 通过“直性”来构作测地线
1.6 空间的本质
第2章 高斯曲率
2.1 引言
2.2 圆的周长和面积
2.3 局部高斯-博内定理
第3章 序幕和第一幕的习题
第二幕 度量
第4章 曲面映射：度量
4.1 引言
4.2 球面的投影地图
4.3 一般曲面上的度量
4.4 度量曲率公式
4.5 共形地图
4.6 讲一点儿可视化的复分析
4.7 球面的共形球极地图
4.8 球极平面投影公式
4.9 球极平面投影的保圆性
第5章 伪球面和双曲平面
5.1 贝尔特拉米的洞察
5.2 曳物线和伪球面
5.3 伪球面的共形地图
5.4 贝尔特拉米-庞加莱半平面
5.5 利用光学来求测地线
5.6 平行角
5.7 贝尔特拉米-庞加莱圆盘
第6章 等距变换和复数
6.1 引言
6.2 默比乌斯变换
6.3 主要结果
6.4 爱因斯坦的时空几何学
6.5 三维双曲几何
第7章 第二幕的习题
第三幕 曲率
第8章 平面曲线的曲率
8.1 引言
8.2 曲率圆
8.3 牛顿的曲率公式
8.4 作为转向率的曲率
8.5 例子：牛顿的曳物线
第9章 三维空间中的曲线
第10章 曲面的主曲率
10.1 欧拉的曲率公式
10.2 欧拉的曲率公式的证明
10.3 旋转曲面
第11章 测地线和测地曲率
11.1 测地曲率和法曲率
11.2 默尼耶定理
11.3 测地线是“直的”
11.4 测地曲率的内蕴量度
11.5 量度测地曲率的一个简单的外在方法
……
第四幕 平行移动
第五幕 形式
人名索引
术语索引
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