在本《平衡态复核裂变后理论》，作者提出和发展了属于量子理论的平衡态复合核裂变后理论，这是自从核裂变被发现后八十多年以来*个可用来研究裂变过程和计算裂变后核数据的常规核反应模型理论。其中包括发展了重离子球形光学模型和重离子 Hauser-Feshbach 理论，给出了计算裂变初始态裂变碎片产额、动能分布和角分布的理论方法。又给出了从裂变碎片初始产额出发计算瞬发中子和瞬发 γ 射线数据并得到包括同质异能态的裂变碎片独立产额的理论方法，给出了从独立产额出发利用产物核衰变数据计算裂变后任意时刻 t 的裂变碎片累计产额和衰变热的计算方法。《平衡态复核裂变后理论》还提出了裂变缓发中子简化模型，对缓发中子先驱核和衰变道进行了理论预言。又给出了计算(n,f) , (n, n'f) , (n,2nf)三个裂变道对裂变后核数据总贡献的理论方法。《平衡态复核裂变后理论》首次给出包含两种质心坐标系的重离子碰撞运动学，还给出了作者所发展的对每个可调参数能分别自动调节步长的寻找最佳理论模型参数的下降法。

第1章 裂变理论的发展
　　原子核裂变是当前获得核能的主要途径。从实用角度考虑，人们*关心的是入射中子能量低于 20 MeV 的低能裂变问题，*重要的裂变核是 235U， 238U和 239Pu。这时需要考虑的裂变反应道有 (n，f)， (n，n′f)，(n，2nf)， 当入射中子能量大于 18 MeV 时，还会出现 (n，3nf) 反应道。此外还有 (n，n)， (n，n′)， (n，2n)， (n，3n)， (n，γ)， (n，p)， (n，α)， (n，d)， (n，3He)，(n，t) 反应道，其中发射带电粒子的反应道截面比较小。
　　1.1 平衡态复合核裂变前理论 (Bohr-Wheeler 公式)
　　1938 年 12 月 Hahn 和 Strassmann 用中子轰击铀 (U) 原子产生了比较轻的元素钡 (Ba)[1，2]，1939 年 2 月 Meitner 和 Frich 在他们的文章 [3] 中用 1935 年由 Weizs.cker 提出的液滴模型 [4] 把这种实验现象定性地解释为是重元素铀裂解为较轻元素的两个碎片，并称之为裂变 (fission)。1939 年 9 月，Bohr 和 Wheeler开创性地发展了用液滴模型解释裂变现象的理论 [5]，不仅给出了计算公式，还做了定量计算。他们把原子核看作一个不可压缩的均匀带电液滴，其总能量由体积能、表面能、库仑能、对称能组成。原子核基态接近球形，这时表面张力大于质子之间相互排斥的库仑力。当低能入射粒子进入靶核后便形成了处于激发态的复合核，其内部核子经过大量碰撞进行能量交换而达到统计平衡。处于激发态的复合核会发生形变，液滴的形状由球形变成椭球形，在球形核时高出基态的激发能有一部分会转化成形变能，这时原子核的总能量减去剩余激发能就是该形变状态下原子核的结合能或基态势能。当激发能促使原子核变成哑铃形状时，在某一状态下其基态势能达到了最大值，也就是形变能达到了最大值，当哑铃形状再继续拉长时，其势能便逐渐减少，直到断点，于是原子核被分裂成两个碎片。如果有多个形变参数，哪个形变参数所对应的基态势能最大值最小，便称该形变参数所对应的势能最大值为裂变势垒，所对应的形变点为鞍点。由于原子核有多种形变演化途径，因而也会有多个鞍点。
　　从**力学看，激发能超过裂变势垒才能发生裂变；从量子力学观点看，应该用属于量子力学的势垒穿透理论计算穿透势垒的概率。人们用 Wentzel-Kramers-Brillouin(WKB) 近似方法研究了势垒穿透问题，并且得到了以下计算裂变势垒穿透系数的 Bohr-Wheeler 公式 [6-9]
　　(1.1)
　　其中，E*C是总激发能，E.f 是鞍点态激发能，Bf 是鞍点裂变势垒高度数值，ωsd是裂变*率参数，ρsd (E.f ) 是鞍点态能级密度。在不属于量子理论的蒸发模型和激子模型中计算裂变截面时可以直接使用式 (1.1)。在用属于量子理论的 Hauser-Feshbach 理论计算裂变截面时需要考虑角动量和宇称。把包含角动量和宇称的能级密度理论 [10，6] 用于计算鞍点态能级密度时便有
　　(1.2)
　　(1.3)
　　(1.4)
　　自旋切割因子
　　(1.5)
　　R(J，E.f ) 满足以下归一化条件
　　(1.6)
　　其中 2J + 1 代表用磁量子数描述的量子态数。若令 x = (J + 1/2)/(√2σ)，便可以用以下方法证明上式是成立的
　　(1.7)
　　在把鞍点态能级密度推广到与角动量和宇称有关的情况下，可以把式 (1.1) 推广为
　　(1.8)
　　其中，JΠ 是总角动量和总宇称。并且有以下归一化关系式
　　(1.9)
　　我们称式 (1.8) 为推广 Bohr-Wheeler 公式。
　　在计算裂变核全套中子核数据程序中，通常包含了属于直接反应的光学模型和直接反应理论，属于平衡态复合核反应理论的蒸发模型和 Hauser-Feshbach(HF)理论，以及属于预平衡反应的激子模型。在整个理论框架中，要确保能量守恒和动量守恒，在属于量子理论的光学模型、直接反应理论和 H-F 理论中，还要确保角动量守恒和宇称守恒。对于裂变核，在属于平衡态复合核反应理论的蒸发模型和 H-F 理论以及属于预平衡反应理论的激子模型中，裂变道是与粒子发射道和辐射俘获道相竞争的反应道。在现有计算裂变核全套中子核数据的程序中，利用前边给出的计算裂变穿透系数的 Bohr-Wheeler 公式，可以计算 σn，f、σn，n′f、σn，2nf等裂变截面。在本书中我们称以 Bohr-Wheeler 公式为代表的裂变理论为平衡态复合核裂变前理论。
　　后来人们用 Hartree-Fock-Bogoliubov (HFB) 理论及相对论平均场理论研究了原子核裂变势垒，并且发现了双峰势垒，这些研究工作为平衡态复合核裂变前理论提供了微观理论基础。
　　1.2 宏观–微观势能*面和描述 Brownian 运动的Langevin 方程
　　原子核裂变是所有核子都参与的大形变复合核反应过程。一个裂变核发生裂变时大约能释放 200 MeV 的结合能。当小于 20 MeV 的低能中子融入靶核后，很容易通过与其他核子碰撞而达到统计平衡，这时引发原子核大形变而导致裂变的激发能主要来自结合能。因而可以认为，低能裂变反应属于平衡态复合核反应。当入射中子能量比较高时，入射中子不容易通过与其他核子碰撞而达到统计平衡，很可能在原子核尚未达到统计平衡之前，入射中子的部分能量就足以促使引发原子核大形变进而导致原子核发生裂变。因而可以认为，在中高能裂变反应中，应该包含非平衡态复合核裂变反应成分。到底什么情况下才需要考虑非平衡态复合核裂变的贡献是一个有待研究的问题，我们可以初步推测，当入射中子能量可以与大约 200 MeV的裂变能相比较时，可能就需要考虑非平衡态复合核裂变的贡献了。
　　裂变核吸收入射中子后所形成的激发态复合核，在裂变过程中一般仍然处在激发态，只有部分激发能转变成形变能。实验数据表明，对于低能锕系核裂变不对称裂变占主导，随着入射中子能量增加，不对称裂变成分逐渐降低，对称裂变将占主导，这是由于在低能裂变情况下，包括壳效应和对效应的核结构效应起了主导作用。
　　在 Bohr 和 Wheeler 发展了用液滴模型解释裂变过程的理论第二年 (1940 年)，Kramers 就提出了研究裂变反应的扩散模型 [11]。在裂变扩散模型中，把原子核看成连续介质，把它的形状参数看成集体运动坐标，把形状变化和内部粒子运动的相互作用看成导致集体运动的耗散和扩散。这时可以把集体运动看成 Brownian 粒子在形变空间的运动。有人对于 Brownian 粒子运动及 Langevin 方程及其应用作了详细介绍 [12，13]。
　　设为原子核的 n 个形变参数，为相应的广义速度，V (x) 为系统的形变势能，描述布朗粒子运动的 Langevin 方程为 [9]
　　(1.10)
　　(1.11)
　　(1.12)
　　(1.13)
　　其中，L 为 Lagrange 函数，M 为质量张量，πi 为广义动量，F 为耗散张量，γ 为黏滞张量，Γi 是随机力。有时可以假设系统的黏滞性比较大，即裂变核形状的演化是一种强阻尼运动，布朗粒子的速度随时可以达到统计平衡，这时在式 (1.11)中质量张量 M 的作用就明显降低了。在这种条件下，可以由 Langevin 方程导出Smoluchowski 方程。
　　为了求解裂变动力学方程，一个*重要的任务是研究形变势能 V (x)。由于一般会有多个形变参数，因而通常称 V (x) 为多维势能*面。为了计算势能*面，*先要将核的形状用若干个参数来表示，而合适的参数化方法应该能自洽地描述裂变核从接近球形的基态，然后变成哑铃形状，一直到断点的整个形变过程。例如，可以采用 5 个变形参数，它们分别是拉伸半长度、颈部半径、颈部位置、颈部*率和所谓的 “质心坐标”。
　　在裂变液滴模型中就给出了计算原子核基态能的宏观模型，后来 M.ller 等对其进行了改进 [14，15]，又有人在其中引入了表面*率项 [16，17]，这些均属于改进的液滴模型。Bardeen-Cooper-Schrieffer (BCS) 模型是把固体物理中的超导理论用于解释原子核中对效应的理论。在宏观能计算的基础上，再采用包含用 BCS 模型加入对效应的 Strutinsky 壳修正方法进行微观能的修正，这样就得到了宏观–微观模型的裂变势能*面。要求用这种势能*面计算的球形附近的基态原子核的质量能够相当好地符合实验数据。
　　有了裂变势能*面以后，便可以用裂变动力学方程探索裂变路径。裂变核从基态开始形变，然后到达鞍点，直到在断点分裂成两个碎片。在这个过程中，在势能*面上形成的轨迹称为裂变路径。裂变路径有无数条，而沿着势能*面上能量*低的 “山谷” 所行走的道路称为*佳路径。
　　由于在裂变动力学方程中加入了随机力，代表该方程所描述单粒子运动所引起的集体运动在相空间会扩散，因而在求解裂变动力学方程时要体现出无规性。例如，考虑到颈部断裂的无规性，在碎片质量分布的计算中可以采用无规颈部断裂法。
　　Randrup 等在假设黏滞性比较大的强阻尼运动的情况下发展了随机行走方法 [18-22]，把此方法用于描述低能裂变过程，给出了几十个能较好符合实验数据的裂变碎片的电荷分布和一些发射中子前的裂变碎片的质量分布的例证。瞬发中子发射前和发射后的裂变碎片的质量分布是有差别的。但是，在裂变碎片进行β-衰变前，瞬发中子发射前和发射后的裂变碎片的电荷分布是一样的。后来，又在微观势能项前乘上了与激发能有关的因子，并研究了激发能对裂变碎片质量分布的影响 [20]。又有人把这种方法推广到可以区分中子和质子的情况 [21]。
　　还有另一种方法就是直接求解 Langevin 方程， 不再做强阻尼近似，这时需要给出计算质量张量和黏滞张量的方法。在这种理论中， 由于在微观势能项中乘上了与温度有关的项， 因而也就与激发能有关了。目前用这种理论在裂变方面进行的研究也取得了不少成果 [23-28]，给出了很多符合实验数据相当好的裂变碎片质量分布，有的还对裂变碎片动能 [23，24，26-28]、瞬发中子和瞬发 γ 射线发射数据 [25]进行了研究，有的工作还尽力用微观理论取代可调参数 [26，27]。
　　可以看出，*近几年用宏观–微观势能*面和描述 Brownian 粒子运动的Langevin 方程使得在裂变方面的研究取得了比较大的进展。
　　上述裂变理论是与时间有关的非平衡态输运理论，这种理论属于**理论，考虑量子效应较少，又包含了较多的唯象参数，因而将其用于量子效应很显著的低能裂变过程稍显不足。
　　目前，也有人探索用量子分子动力学 (QMD) 模型方法研究裂变过程。
　　1.3 与时间有关的核密度泛函理论 (TDHF 和 TDHFB)
　　用从核力出发的微观裂变理论研究裂变过程也是当前正在发展的裂变理论。这种理论被称为与时间有关的核密度泛函理论 (TDDFT)， 又可以将其分成与时间有关的 Hartree-Fock (TDHF) 理论 [29-31] 和与时间有关的 Hartree-Fock-Bogoliubov (TDHFB) 理论 [32-34]。
　　由核子组成的原子核是费米子系统，质量数为 A 的原子核体系的归一化波函数 Φ 可用单粒子正交归一化波函数 φ 的 Slater 行列式表示成
　　(1.14)
　　其中，kj 是量子态标号，ri 是第 i 个核子的空

目录
前言
第1章 裂变理论的发展 1
1.1 平衡态复合核裂变前理论 (Bohr-Wheeler 公式) 1
1.2 宏观–微观势能*面和描述 Brownian 运动的 Langevin 方程 3
1.3 与时间有关的核密度泛函理论 (TDHF 和 TDHFB) 5
1.4 与时间有关的生成坐标方法和 Gaussian 重叠近似 (TDGCM+GOA) 7
1.5 平衡态复合核裂变后理论 11
第2章 重离子碰撞运动学 18
第3章 重离子球形核光学模型 31
第4章 重离子反应的 Hauser-Feshbach 理论 42
第5章 裂变碎片的初始产额、动能分布和角分布 55
5.1 初始裂变碎片瞬发中子发射前的质量分布、电荷分布和裂变碎片总动能分布 55
5.2 单个初始裂变碎片的动能分布和角分布 66
第6章 复合核 γ 退激理论 74
第7章 裂变瞬发中子、瞬发 γ 射线、裂变碎片*立产额 79
第8章 裂变碎片累计产额，衰变热和*终质量分布 91
第9章 裂变缓发中子简化模型 100
第10章 计算 (n，f)，(n，n′f)，(n，2nf) 三个裂变道总贡献的理论方法 122
第11章 裂变后核数据数值计算的主要步骤及结束语 125
参考文献 128
附录 A 裂变产物的评价核衰变数据库 132
附录 B 在数值计算中获得*佳理论模型参数的一种方法 198
附录 C 可以分别自动调节每个参数步长的改进*速下降法 200
附录 D 寻找*佳理论模型参数的改进*速下降法的 Fortran 语言程序 204