相依混合随机变量是现代概率统计中的重要概念，它具有非常直观的实际应用背景，如时间序列数据、空间数据、网格数据和高频数据等都具有相依性，且呈现渐近独立的特征。因此，近几十年来一直都吸引了众多学者的关注与研究，获得了丰硕的研究成果。本书主要介绍混合随机变量的基本理论，内容包括混合随机变量的定义与性质、随机过程的混合性质、混合随机变量的不等式、混合随机变量的中心极限定理和相依随机变量的强大数律。作为应用，书中介绍了混合高频数据的非参数估计和混合样本下回归模型的小波估计，其中混合高频数据是一个新的应用专题。另外，书中还介绍了相协随机变量和负相协随机变量这两个相依概念的相关内容大部分内容来源于学术原文，并经过提炼和升华，使其体现更先进的研究成果，且更加通俗易懂，适应更多读者。 本书适合作为高等院校统计学及相关专业的研究生或本科生教材，也非常适合统计学及相关专业的工作者作为自学参考书。

第1章 混合随机变量的定义与性质
　　*立随机变量是概率统计**理论的基本假设， 然而在实际中存在大量不*立的样本数据， *为常见的是时间序列数据. 当时间间隔较短时相邻的时间序列数据通常存在较强的依赖， 但随着时间间隔越来越长， 数据之间的依赖性就越来越弱， 呈现出渐近*立的特征. 除时间序列数据外， 空间数据、网络结构数据、高频数据等都有相依性， 并且具有渐近*立的特征. 所以渐近*立是相依数据的重要特征， 这个特征提供了研究相依随机变量的思路. 对相依随机变量我们可以假设它们是渐近*立的， 然后利用渐近*立的性质建立相应的数学理论.为了刻画渐近*立性， 人们提出了混合随机变量(mixing random variables)的概念， 这是我们本书的主题. 本章我们*先来介绍混合随机变量的概念和基本性质.
　　1.1 混合随机变量的定义
　　假设(Ω， F， P)为概率空间， A和B是两个σ-代数事件域.如果两个事件域A和B是相互*立的， 则对任意事件A∈A和B∈B都有
　　P(AB)=P(A)P(B).
　　如果两个事件域A和B不相互*立， 则存在事件A∈A和B∈B使得. 基于这种事实， 人们可以定义两个事件域之间的相依系数
　　(1.1.1)
　　并称它为事件域的α-相依系数. 显然， 当α(A， B)=0时， 可以认为事件域A和B相互*立; 当α(A， B).=0时， 事件域A和B不相互*立; 当α(A， B)的数值越大时， 事件域A和B偏离相互*立的特征越远.
　　按照这种思路， 人们可以定义如下的相依系数、ψ-相依系数、ρ-相依系数和β-相依系数:
　　(1.1.2)
　　(1.1.3)
　　(1.1.4)
　　(1.1.5)
　　在β-相依系数中， 是在事件域A中Ω的任意一个有限剖分， {B1， B2， ， BJ}是在事件域B中Ω的任意一个有限剖分.
　　由相依系数的定义， 显然有
　　α(A， B)=α(B， A)， ψ(A， B)=ψ(B， A)，
　　β(A， B)=β(B， A)， ρ(A， B)=ρ(B， A).
　　但是， .(A， B).=.(B， A).所以α-相依系数、ψ-相依系数、β-相依系数和ρ-相依系数关于事件域都具有对称性， 但相依系数关于事件域不具有对称性.另外， 相依系数的取值范围为
　　α-相依系数、相依系数、ρ-相依系数和ψ-相依系数的取值范围是显然的， 关于β-相依系数的取值范围只要注意如下简单事实即知:
　　利用事件域之间的相依系数可以定义随机变量序列的渐近*立性.
　　定义1.1.1假设是定义在概率空间(Ω， F， P)上的实值随机变量序列， 表示由生成的σ-代数域.令
　　(1.1.6)
　　(1.1.7)
　　(1.1.8)
　　(1.1.9)
　　(1.1.10)
　　如果当n→∞时， 有α(n)→0， .(n)→0， ψ(n)→0， β(n)→0， ρ(n)→0， 则分别称随机变量序列{Xi， i.1}是α-混合的(α-mixing)， 混合的， ψ-混合的， β-混合的(β-mixing)， ρ-混合的(ρ-mixing)， 并称α(n)， .(n)， ψ(n)， β(n)， ρ(n)为混合系数.
　　在定义中， n的大小反映了事件域与之间的间隔大小， α(n)→0(n→∞)意味着事件域与之间具有渐近*立性.因此， 如果随机变量序列是定义中某种混合序列， 则该序列具有渐近*立性.另外， α-混合序列也称强混合(strongmixing)序列.
　　α-混合随机变量序列由Rosenblatt(1956)*次引入， 后来Ibragimov(1959)提出-混合的定义， Kolmogorov和Rozanov(1960)提出ρ-混合的定义， Volkonskii和Rozanov(1959)提出β-混合的定义.
　　定义1.1.1也可以写成如下形式.
　　定义1.1.2假设是定义在概率空间(Ω， F， P)上的实值随机变量序列， 表示由生成的σ-代数域.令混合系数
　　(1.1.11)
　　(1.1.12)
　　(1.1.13)
　　(1.1.14)
　　(1.1.15)
　　如果当n→∞时， 有α(n)→0， .(n)→0， ψ(n)→0， β(n)→0， ρ(n)→0， 则分别称随机变量序列是α-混合的， 混合的， ψ-混合的， β-混合的， ρ-混合的.
　　下面是混合连续随机过程的定义.
　　定义1.1.3假设是连续实值随机过程， a表示由生成的σ-代数域. 令
　　(1.1.16)
　　(1.1.17)
　　(1.1.18)
　　(1.1.19)
　　(1.1.20)
　　如果当t→∞时， 有α(t)→0， .(t)→0， ψ(t)→0， β(t)→0， ρ(t)→0， 则分别称随机过程{Xt， t.0}是α-混合的， 混合的， ψ-混合的， β-混合的， ρ-混合的.
　　混合随机变量序列的定义可以推广到复数随机变量序列(随机过程)， 也可以推广到多元随机变量序列(随机过程)， 这里不再罗列这些类似的定义.
　　1.2 混合随机变量的相互关系
　　本节讨论混合系数的相互关系， 由1.1节的定义知混合系数的相互关系是完全由相依系数的相互关系确定的， 所以我们只需要讨论相依系数的相互关系.这些内容可以参阅Roussas和Ioannides(1987)和Bradley(2005)关于混合概念和基本性质的综述论文.
　　定理1.2.1
　　证明(1)*先证明2α(A， B). β(A， B). 设A∈A， B∈B. 由于， 所以我们有结论: 若这四个条件中之一成立， 则
　　另外， 容易验证
　　由此有
　　从而有
　　(2)其次证明. 设. 记
　　(1.2.1)
　　(1.2.2)
　　则
　　从而由β-相依系数的定义有
　　(3)*后证明. 由于
　　以及， 所以
　　即. 证毕.
　　定理1.2.2
　　关于这个定理的说明: Cogburn(1960)和Ibragimov(1962)证明ρ(A， B). 将这个结论改进为.
　　Denker和Keller(1983)也*立给出.
　　定理1.2.2的证明(1)*先证明
　　设A∈A， B∈B. 如果0　　上式使用. 得到. 所以
　　从而结论成立.

目录
前言
第1章混合随机变量的定义与性质1
1.1混合随机变量的定义1
1.2混合随机变量的相互关系4
1.3混合随机变量的协方差不等式7
第2章随机过程的混合性质20
2.1高斯过程的混合性质20
2.2线性过程的混合性质28
2.3扩散过程的混合性质35
第3章混合随机变量的不等式40
3.1.-混合随机变量的矩不等式40
3.2ρ-混合随机变量的矩不等式50
3.3α-混合随机变量的矩不等式63
3.4α-混合随机变量的尾部概率不等式77
3.5混合随机变量的特征函数不等式78
第4章相协随机变量和负相协随机变量82
4.1PQD和NQD随机变量82
4.2相协随机变量的定义与性质86
4.3负相协随机变量的定义与性质90
4.4正态随机变量的相协性和负相协性96
4.5负相协随机变量的不等式102
4.6相协随机变量的不等式111
第5章混合随机变量的中心极限定理121
5.1混合随机变量阵列的中心极限定理121
5.2混合随机变量序列的中心极限定理127
5.3混合平稳随机变量的中心极限定理129
5.4混合样本下核密度估计的渐近正态性138
5.5混合样本下NW核回归估计的渐近正态性143
第6章相依随机变量的强大数律153
6.1强大数律的一般方法153
6.2重对数律157
6.3Marcinkiewicz型强大数律158
6.4加权和的强大数律167
第7章混合高频数据的非参数估计171
7.1混合高频随机样本的不等式172
7.2混合高频样本核密度估计的渐近正态性178
7.3混合高频样本NW核回归估计的渐近正态性188
7.4扩散过程的非参数核估计201
7.4.1扩散过程的基本条件201
7.4.2未知函数的非参数核估计202
7.4.3扩散函数估计的渐近正态性204
7.4.4定理的证明206
第8章混合样本下回归模型小波估计221
8.1半参数回归模型的小波估计221
8.2回归模型小波估计的矩相合性.223
8.3回归模型小波估计的强相合性226
8.3.1假设条件和引理226
8.3.2主要结论的证明227
8.4回归模型小波估计的渐近正态性229
8.4.1假设条件和主要结论230
8.4.2相关引理及辅助结论232
8.4.3主要结论的证明245
参考文献249