本书以力学分析中的对称性和守恒律为中心，从基本概念出发，结合实际应用，系统地、深入浅出地介绍了对称性和守恒律的主要内容。本书首先由变分原理和Euler-Lagrange方程引出对称性和守恒律中常用的微分算子，作为后续分析的预备知识。后续内容主要分为三部分：第一部分详细介绍了微分方程（组）中Lie对称、Noether守恒律和Ibragimov守恒律的基本知识；第二部分是第一部分的推广，研究了扰动微分方程（组）的近似Lie对称性、近似Noether守恒律和近似Ibragimov守恒律，此外还简要介绍了势对称和近似势对称；第三部分通过大量应用实例，介绍了对称性和守恒律在弹性力学、流体力学、一般力学和数学物理方程等领域中的应用。 本书读者对象为高年级本科生、研究生、高等学校教师及数学、力学工作者，也可作为对称性和守恒律研究人员的入门书籍或参考书。

第1章变分原理、Euler-Lagrange方程与微分算子
　　本章由变分原理和泛函的概念引入，将泛函驻立值问题转化为微分方程问题，导出Euler-Lagrange方程，从而引出对称性和守恒律中常用的微分算子，作为后续对称性和守恒律分析的预备知识。
　　1.1变分原理与泛函
　　变分原理是力学分析中重要的数学工具之一，能量法、有限元法、加权残值法等力学方法都是以变分原理为数学基础的。变分原理以变分形式表示物理定律，即在满足一定约束条件的所有可能的物体运动状态中，真实的运动状态使某物理量（如势能泛函）取极值或驻立值[1-5]。变分问题可以等价地转换为微分方程问题，即物理问题可以有变分原理和微分方程两种等价的表示方法[2]。
　　变分法的早期思想源于Johann Bernoulli在1696年以公开信的方式提出的*速降线命题，并于1697年得以解决。关于变分法的一般理论，是Euler于1774年、Lagrange于1762年共同奠基的，称为Euler-Lagrange变分原理。1872年Betti提出了功的互等定理。1876年意大利学者Castigliano提出了*小功原理。德国学者Hellinger于1914年发表了有关不完全广义变分原理的论文，后来美国学者Reissner发表了与Hellinger相类似的工作，此工作被称为Hellinger-Reissner变分原理。我国学者钱令希于1950年发表《余能理论》论文[8]。胡海昌于1954年发表了有关广义变分原理的论文，日本学者鹫津久一郎（Washizu）于1955年发表了与胡海昌相类似的工作，此工作被称为胡–鹫变分原理。1956年Biot建立了热弹性力学变分原理。此后，钱伟长提出了用Lagrange乘子构造广义变分原理的方法。
　　在力学分析中，变分原理之所以非常重要，至少有三方面的因素：物理学中存在Lagrange极小值原理；许多物理问题的域内平衡微分方程和自然边界条件可以直接从变分原理导出；从变分原理出发，可以用简单的方式推导有限元等数值计算方法，也可以用变分原理直接计算许多问题的数值解。
　　变分原理是求解泛函驻立值的原理，泛函可以理解为函数的函数。函数是变量与变量之间的关系，泛函则是变量与函数之间的关系。在应用变分原理时，求泛函的一阶变分和二阶变分是*基本的两个变分运算。
　　1.2Euler-Lagrange方程
　　力学涉及的泛函极值问题中，许多泛函都能用积分表达。从这类泛函极值问题出发，可以导出平衡方程（Euler-Lagrange方程）、边界条件、几何方程及本构方程等。本节介绍如何将泛函驻立值问题转化为微分方程问题。
　　1.2.1一阶泛函的驻立值问题
　　1.2.1.1单自变量–单因变量
　　首先考虑单自变量–单因变量情形。
　　一阶泛函的驻立值问题如下：
　　在自变量x的区间内，确定因变量u（x），使其满足边界条件
　　（1.1）
　　并使泛函
　　（1.2）
　　取极值。
　　根据变分运算法则，对式（1.2）两边求变分[2]
　　（1.3）
　　式（1.3）右边转化为
　　（1.4）
　　式（1.4）右边第二项根据变分运算性质，有
　　（1.5）
　　因此式（1.4）进一步写为
　　（1.6）
　　（1.7）
　　式（1.7）右边第二项根据边界条件等于零，表示对x的全微分，根据复合函数求导的链式法则，任意函数对x的全微分的具体表达式为
　　（1.8）
　　由δu任意性知式（1.7）右边第一项被积函数恒等于零，即
　　（1.9）
　　式（1.9）称为Euler-Lagrange方程，函数称为方程的Lagrange函数。
　　1.2.1.2多自变量–多因变量
　　下面将单自变量–单因变量情形推广至多自变量–多因变量情形。
　　此时一阶泛函的驻立值问题为：
　　在自变量，的集合内，确定因变量，使其满足边界条件
　　（1.10）
　　其中表示V的边界，并使泛函
　　（1.11）
　　取极值。式（1.11）中表示u的一阶偏导的全体。
　　为便于表示，引入如下记法：第i个自变量记为xi，第j个因变量记为，第j个因变量对第i个自变量的偏导记为；乘积式子中使用求和约定，例如
　　同样，对式（1.11）求变分
　　（1.12）
　　（1.13）
　　根据变分性质，因此式（1.13）化为
　　（1.14）
　　将式（1.14）代入式（1.12），得到
　　（1.15）
　　对式（1.15）右边第二项分部积分，得到
　　（1.16）
　　由边界条件知边界为零，表示对的全微分，根据复合函数求导的链式法则，任意函数对xi的全微分的具体表达式为
　　（1.17）
　　由任意性知式（1.16）右边第一项被积函数为零，即
　　（1.18）
　　式（1.18）为Euler-Lagrange方程组，注意第二项需对i求和。为该方程组的Lagrange函数。
　　1.2.2高阶泛函的驻立值问题
　　考虑多自变量–多因变量情形下s阶泛函的驻立值问题：
　　在自变量，的集合内，确定因变量，使其满足边界条件
　　（1.19）
　　其中，表示V的边界，并使泛函
　　（1.20）
　　取极值。式（1.19）中u（i）表示u的i阶偏导的全体。
　　对式（1.20）求变分
　　（1.21）
　　其中
　　（1.22）
　　根据变分性质，因此式（1.22）化为
　　（1.23）
　　将式（1.23）代入式（1.21），得
　　（1.24）
　　若对分部积分，并利用边界条件（1.19），有
　　（1.25）
　　其中d/dxi表示对xi的全微分，根据复合函数求导的链式法则，任意函数，对的全微分的具体表达式为
　　（1.26）
　　依次在式（1.25）中取，并代入式（1.24），得到
　　（1.27）
　　由任意性知被积函数为零，即
　　（1.28）
　　式（1.28）为Euler-Lagrange方程组，注意第二项之后各项均需对相同指标求和。为该方程组的Lagrange函数。
　　1.3微分算子
　　微分算子是对函数的微分运算的抽象表述。本节介绍常用的两个微分算子——全微分算子和Euler-Lagrange算子。
　　1.3.1全微分算子
　　考虑式（1.28）中对xi的全微分，由于式（1.26）中每一项均为关于函数G的微分运算，将G提出，得
　　（1.29）
　　对G的微分运算抽象出来，简单记为Di，称为全微分算子[14]。
　　定义1.1对变量xi的全微分算子为
　　（1.30）

目录　
丛书序　
前言　
第1章　变分原理、Euler-Lagrange方程与微分算子　1　
1.1　变分原理与泛函　1　
1.2　Euler-Lagrange方程　2　
1.2.1　一阶泛函的驻立值问题　2　
1.2.2　高阶泛函的驻立值问题　4　
1.3　微分算子　6　
1.3.1　全微分算子　6　
1.3.2　Euler-Lagrange算子　7　
第2章　常微分方程的Lie　对称分析　10　
2.1　单参数Lie变换群及其延拓　10　
2.1.1　单参数Lie变换群　10　
2.1.2　无穷小生成元　14　
2.1.3　正则坐标　16　
2.1.4　对称性　17　
2.1.5　无穷小生成元的延拓　18　
2.2　Lie代数　24　
2.2.1　Lie代数与Lie括号　24　
2.2.2　Lie代数的性质　25　
2.2.3　可解Lie代数　28　
2.3　正则变量方法求解微分方程　29　
2.3.1　正则变量方法　29　
2.3.2　求解微分方程步骤　30　
2.4　微分方程的对称性　34　
2.4.1　微分方程的对称性定理　34　
2.4.2　一阶微分方程的决定方程　35　
2.4.3　二阶微分方程的决定方程　37　
2.5　Lie-B.cklund算子　41
2.6　Lie-B.cklund代数　45　
2.7　Lie-B.cklund对称性.50　
2.7.1　扩展标架　50　
2.7.2　Lie-B.cklund对称性表达式　51　
2.8　多参数Lie变换群及其延拓　56　
2.8.1　多参数Lie变换群及其无穷小生成元　56　
2.8.2　双参数Lie变换群无穷小生成元的延拓　57　
2.9　基于符号计算系统的Lie对称分析　60　
2.9.1　符号计算系统　60　
2.9.2　常用符号计算软件　61　
第3章　偏微分方程组的Lie对称分析　63　
3.1　单参数Lie变换群及其延拓　63　
3.1.1　单参数Lie变换群　63　
3.1.2　无穷小生成元　66　
3.1.3　无穷小生成元的延拓　68　
3.2　方程组的对称性　77　
3.3　微分方程组的对称性　80　
3.4　Lie-B.cklund算子与代数　83　
3.4.1　Lie-B.cklund算子　83　
3.4.2　Lie-B.cklund代数　86　
3.5　Lie-B.cklund对称性　87　
3.6　多参数Lie变换群及其延拓　94　
3.6.1　多参数Lie变换群及其无穷小生成元　94　
3.6.2　双参数Lie变换群无穷小生成元的延拓　95　
第4章　Noether守恒律　99　
4.1　具有单变量的物理系统的Noether守恒律　100　
4.1.1　单变量情形下的Euler-Lagrange方程　100　
4.1.2　单变量情形下的Noether守恒律及其证明　100　
4.2　具有多变量的物理系统的Noether守恒律　114　
4.2.1　多变量情形下的Euler-Lagrange方程　114　
4.2.2　多变量情形下的Noether守恒律及其证明　115　
4.2.3　关于部分/全表面边界条件的讨论　130　
4.3　双参数变换群条件下的Noether守恒律　132　
4.3.1　双参数单变量Noether定理　132　
4.3.2　双参数多变量Noether定理　135
第5章　Ibragimov守恒律140　
5.1　伴随算子与伴随方程（组）　140　
5.1.1　伴随算子　140　
5.1.2　伴随方程——线性微分方程　142　
5.1.3　伴随方程组——非线性微分方程组　148　
5.2　伴随方程（组）的对称性　150　
5.2.1　微分方程情形　150　
5.2.2　微分方程组情形　155　
5.3　Ibragimov守恒律表达式156　
5.4　双参数变换群条件下的Ibragimov守恒律　159　
第6章　近似Lie对称性　164　
6.1　近似Lie代数　164　
6.1.1　近似Lie代数的定义　164　
6.1.2　近似对称的代数性质　165　
6.1.3　近似不变量　167　
6.2　近似算子与算子近似阶次确定　168　
6.2.1　近似Lie算子与近似Lie-B.cklund算子　168　
6.2.2　算子近似阶次确定　169　
6.3　微分方程（组）近似Lie对称的性质　174　
6.4　方程组的近似Lie对称性　176　
6.5　微分方程组的近似Lie对称性　179　
6.5.1　微分方程组近似Lie对称性证明　179　
6.5.2　近似Lie算子的延拓　183　
6.6　近似Lie-B.cklund算子与对称性　185　
6.6.1　近似Lie-B.cklund算子的延拓　186　
6.6.2　近似Lie-B.cklund对称性　186　
第7章　近似Noether守恒律　194　
7.1　近似Noether算子与算子近似阶数确定　194　
7.1.1　近似Noether算子　194　
7.1.2　算子近似阶次确定　195　
7.2　近似Noether守恒律及其求解方法　199　
7.2.1　部分Lagrange函数　199　
7.2.2　近似Noether守恒律表达式　200　
7.2.3　求解方法总结　201　
第8章　近似Ibragimov守恒律　202
8.1　伴随方程（组）的对称性　202　
8.1.1　伴随方程组　202　
8.1.2　微分方程情形　203　
8.1.3　微分方程组情形　206　
8.2　近似Ibragimov守恒律表达式　209　
第9章　势对称与近似势对称　212　
9.1　势对称含义　212　
9.2　微分方程的势对称　212　
9.2.1　偏微分方程的势对称　213　
9.2.2　常微分方程的势对称　218　
9.2.3　原方程和辅助系统的Lie对称变换　220　
9.2.4　守恒形式　220　
9.3　微分方程的近似势对称　221　
第10章　弹性力学中的应用　224　
10.1　杆的平衡方程的守恒律　224　
10.2　梁的平衡方程的守恒律　226　
10.3　平面问题的位移法方程的对称性和守恒律　229　
10.3.1　Lie对称性　230　
10.3.2　Noether守恒律　234　
10.4　三维问题的位移法方程的对称性　237　
10.5　疲劳裂纹扩展方程的对称性和守恒律　246　
10.5.1　Lie对称性　247　
10.5.2　Lie-B.cklund对称性　248　
10.5.3　Noether守恒律　250　
10.5.4　Ibragimov守恒律　250　
10.6　功能梯度材料的路径无关积分与裂纹扩展力　251　
10.6.1　均质材料平面问题的守恒律　252　
10.6.2　功能梯度材料的路径无关积分　254　
10.6.3　裂纹扩展力　256　
10.7　物理平面上解析函数的守恒积分及其应用　257　
10.7.1　解析函数的守恒积分　257　
10.7.2　关于守恒积分的讨论　262　
10.7.3　平面弹性体裂纹的守恒积分　263　
10.8　V型平面缺口问题中的守恒积分及其应用　265　
10.8.1　基于平面弹性力学复势理论的Lagrange函数　266
10.8.2　基于Noether定理的守恒律　269　
10.8.3　在V型缺口问题中的应用　271　
10.9　纵向剪切问题中V型缺口的守恒积分及其应用　276　
10.9.1　Lie对称分析　277　
10.9.2　守恒积分　281　
10.9.3　在尖锐V型缺口问题中的应用　283　
第11章　流体力学中的应用　292　
11.1　KdV方程的变分对称性　292　
11.2　KdV方程的高阶对称性　294　
11.2.1　伴随方程与Lagrange函数　294　
11.2.2　守恒律　295　
11.3　扰动KdV方程的高阶近似对称性　301　
11.4　mKdV方程的Ibragimov守恒律　305　
11.4.1　Ibragimov守恒律　305　
11.4.2　微分Lagrange算子方法　.308　
11.5　Maxwell分布的Ibragimov守恒律　310　
11.6　Navier-Stokes系统的Ibragimov　守恒律　312　
第12章　一般力学中的应用　316　
12.1　三维情况质点系统的守恒定律　316　
12.1.1　时间平移不变性——能量守恒　321　
12.1.2　空间平移不变性——动量守恒　321　
12.1.3　空间旋转不变性——角动量守恒　322　
12.2　自由落体运动的守恒律　323　
12.3　一维阻尼振子的守恒律　325　
12.4　一维运动方程的Ibragimov守恒律　325　
12.5　两质点系统扰动方程的近似对称性和守恒律　327　
12.5.1　近似Lie对称性　328　
12.5.2　近似Noether对称性　331　
12.5.3　近似Ibragimov守恒律　333　
12.6　含扰动结构动力响应方程的近似对称性和守恒律　334　
12.6.1　近似Lie对称性　335　
12.6.2　近似Noether守恒律　343　
12.7　非线性振动方程的对称性和守恒律　348　
12.7.1　一般形式非线性振动方程的对称性和守恒律　348　
12.7.2　Duffing振动方程的对称性和守恒律　356
12.7.3　Duffing振动方程的分叉现象　362　
12.7.4　Duffing振动方程的守恒律和分叉现象的关系　364　
12.8　颤振方程的对称性和守恒律　364　
12.8.1　线性气动力和力矩　365　
12.8.2　非线性气动力和力矩　374　
第13章　数学物理方程中的应用　380　
13.1　热传导方程的Ibragimov守恒律　380　
13.1.1　伴随方程与Lagrange函数　380　
13.1.2　守恒律　381　
13.2　非线性热传导方程的Ibragimov守恒律　385　
13.2.1　伴随方程与Lagrange函数　385　
13.2.2　守恒律　390　
13.3　非线性热传导方程的势对称　393　
13.4　Burger方程的势对称　394　
13.5　非均匀介质中波动方程的势对称　395　
13.6　非均匀介质中扰动波动方程的近似势对称　398　
13.7　带有扰动对流项的非线性扩散方程的近似势对称　401　
13.8　Duffing方程的Lie对称性　404　
13.8.1　确定性外力　405　
13.8.2　均值为0的随机