第1章 绪论
1.1 结构动力学
结构动力学是力学的一个重要组成部分，主要关注结构对各类动荷载的实时响应，如动态应力、应变、位移、运动等。通过结构动力学分析，可以确定结构在动荷载作用下的变形、运动特性及承载能力等。结构动力学与静力学相比，其*大的区别在于动力学要考虑结构惯性力及环境对动态结构所产生的阻尼力。结构承受周期荷载、冲击荷载、随机荷载等动力荷载作用时，结构的平衡方程中必须考虑惯性力的作用，有时还要考虑阻尼力的作用，且平衡方程是瞬时的，荷载、内力、位移等均是时间的函数。结构动力学也不同于刚体动力学，刚体理论不考虑结构变形，只需分析结构惯性力和环境阻尼，而结构动力学还需要同时考虑结构因变形而产生的弹性力。
结构分析是指用工程力学方法对结构进行计算与分析，以检验结构是否满足规范规定的强度、刚度、稳定性等。结构分析方法与科学技术发展水平有着密切的关系，特别是随着科学计算技术的发展而不断地更新。在计算机技术尚未成熟之前，人们多以手算为主，将精力集中在如何构造一些巧妙的分析求解方法，既能解决问题，又不过于复杂，从而衍生了很多适用于不同情况的、有特色的求解技巧和方法。这些方法反映了结构分析中丰富的学术思想，但也反映了受到计算手段的限制，结构分析缺乏统一的、通用的分析计算方法。计算机数值仿真技术逐步成熟之后，计算手段的限制得到了解放，矩阵代数的方法有了用武之地，人们的注意力开始转向功能强大、分析精度更高、与实际计算更为贴切的计算方法。
随着21世纪的到来，中国经济建设进入了一个快速发展的阶段，工程结构趋向“高、柔、大、复”方向发展，如超高层大楼、高耸电视塔、大跨度桥梁和大跨度空间结构体育馆等各类新型复杂结构越来越多地出现。近年来，中国已建成或在建的高度超过300m和跨度超过100m的建筑越来越多，各种形式的空间结构向着超高和超大跨度结构发展，如上海环球金融中心、广州新电视塔、苏通大桥、杭州湾跨海大桥、国家“鸟巢”体育场等，这些大型建筑结构工程大多都属于标志性工程，投资巨大，社会影响深远。因此，该类建筑需要开展关键核心技术攻关、先进技术创新，如地震倒塌分析、上部结构与地基的动力耦合作用、结构非线性分析、温度应力对结构的影响、坡面地质灾害对结构的影响等。同时，随着材料科学的进展，产生了一类轻质高强材料，用这种材料建造的建筑结构有一个显著特点，即结构体系变得很柔软。这类结构的强度抵抗外来荷载的安全与刚度问题，受到工程界广泛关注。因此，可以基于显式计算方法解决复杂结构工程，尤其是超高层结构和超大跨度结构在受到地震、冲击、爆破等灾害性外力作用下的受控响应问题。这对复杂结构工程的理论分析计算和设计建造都具有重要的理论与现实意义。对复杂结构的分析与计算，应用计算机就能快速高效地获得计算结果，从而进入计算机辅助结构设计、结构优化设计与结构控制等科学技术领域，从而推动结构力学、固体力学等基本理论的发展。
1.2 计算机辅助工程
计算机辅助工程(computer aided engineering，CAE)是指工程设计中的计算机辅助工程，指用计算机辅助求解分析复杂工程和产品的结构力学性能，以及优化结构性能等，把工程的各个环节有机地组织起来，其关键就是将有关的信息集成，使其产生并存在于工程的整个生命周期。而CAE软件可进行静态结构分析和动态分析，可研究线性、非线性问题，也可分析结构(固体)、流体等。
从广义上说，计算机辅助工程包括很多，从字面上讲，它可以包括工程和制造业信息化的所有方面，但是传统的CAE主要指用计算机对工程和产品进行性能与安全可靠性分析，对其未来的工作状态和运行行为进行模拟，尽早发现设计当中存在的缺陷，并验证工程的可用性和可靠性。
CAE软件可以分为两类：针对特定类型的工程或产品所开发的用于产品性能分析、预测和优化的软件，称为专用CAE软件；可以对多种类型的工程和产品的物理、力学性能进行分析、模拟及预测、评价和优化，以实现产品技术创新的软件，称为通用CAE软件。CAE软件的主体则是有限元分析(finite element analysis，FEA)软件。
有限元方法的基本思想是将结构离散化，用有限个容易分析的单元来表示复杂的对象，单元之间通过有限个节点相互连接，然后根据变形协调条件综合求解。由于单元的数目是有限的，节点的数目也是有限的，所以称为有限元法。这种方法灵活性很大，只要改变单元的数目，就可以使解的精度改变，得到与真实情况无限接近的解。
基于有限元方法的CAE系统，其核心思想是结构的离散化。根据经验，CAE各阶段所用的时间为：40%～45%用于模型的建立和数据输入，50%～55%用于分析结果的判读和评定，而真正的分析计算时间只占5%左右。
采用计算机辅助设计(computeraided design，CAD)技术来建立CAE的几何模型和物理模型，完成分析数据的输入，通常称此过程为CAE的前处理。同样，CAE的结果也需要用CAD技术生成形象的图形输出，如生成位移图、应力、温度、压力分布的等值线图，表示应力、温度、压力分布的彩色明暗图，称这一过程为CAE的后处理。
1.3 显式动力学发展历程
在求解动力学问题时，将方程在空间上采用有限元法或其他方法进行离散后，变为常微分方程组F=M(u)+C(u)+K(u)。采用中心差分法解决动力学问题称为显式算法。对于显式分析，当前时刻的位移只与前一时刻的加速度和位移有关，这就意味着当前时刻的位移求解无须迭代过程，不存在收敛问题。当使用集中质量矩阵时，不需要求解线性方程组。
1976年，Hallquist在劳伦斯利弗莫尔国家实验室工作时，开始基于显式时间积分研发求解器，以解决非线性动力学问题。1988年，Hallquist创建了Livermore Software Technology公司，LS-DYNA开始商业化进程。从理论和算法方面，LS-DYNA是目前所有显式求解程序的先驱和理论基础。
目前，LS-DYNA已经发展成国际上*著名的显式动力分析程序，能够模拟各种复杂几何非线性(大位移、大转动和大应变)、材料非线性和接触非线性问题，特别适合于分析各类二维、三维高速非线性的复杂力学过程，如爆炸与冲击、结构碰撞、金属加工成形等问题。近年来Abaqus/Explicit、Autodyn、Workbench/Explicit 究dynamics、MSCDytran等软件相继开发了显式计算模块，可开展显式动力分析。该类通用有限元程序分析是以显式为主、隐式为辅的通用非线性动力分析程序，特别适合求解各种二维、三维非线性结构的高速碰撞、爆炸和金属成形等非线性动力冲击问题，同时可以求解传热、流体及流固耦合问题。该类程序通常以拉格朗日(Lagrange)算法为主，兼有ALE和欧拉(Euler)算法；以结构分析为主，兼有热分析、流体-结构耦合功能；广泛应用于汽车工业、航空航天、制造业、建筑业、国防、电子领域、石油工业等。
第2章 理论基础
2.1 显式分析方法
在结构工程动力学分析中一般常采用基于显式中心差分法进行时间积分的分析方法，该方法可通过质量矩阵的对角化，使多个相互独立的方程得到求解，计算过程无须迭代，具有计算速度快、稳定性较好等优点。
显式是指用于求解动量和能量方程中时间导数的数值方法。图2.1为显式分析时间积分的图形描述，其中，t时刻节点的位移值均是已知的，t+Δt时刻节点n2的位移值可由t时刻节点n1、n2、n3的位移值得出，由此可根据t+Δt时刻所有节点与t时刻节点的关系，建立一个显式代数方程组，依次求解各方程，即可得到t+Δt时刻每个节点的位移。
2.2 中心差分法基本原理
中心差分法是一种显式积分法，其基本思路是用有限差分代替位移对时间求导，将运动方程中的速度向量和加速度向量用位移的某种组合来表示，然后将常微分方程组的求解问题转化为代数方程组的求解问题，并假设在每个小的时间间隔内满足运动方程，则可求得每个时间间隔的递推公式，进而求得整个时程的反应。
在中心差分法中，速度可由对位移一阶求导表示，加速度可由对位移的二阶求导表示：
(2.1)
式中，为时间步长。
在结构动力学分析中，系统的运动方程可表示为
(2.2)
式中，为质量矩阵；为阻尼矩阵；为刚度矩阵；为节点加速度列阵；为节点速度列阵；为位移列阵；为外力向量列阵。
将式(2.2)代入式(2.1)，整理后可得
(2.3)
式中，与分别为有效质量矩阵与有效荷载向量。
式(2.3)是求解各个离散时间点的解的递推公式，在求解时刻瞬时的位移向量时，只要根据时刻以前的状态变量计算出与，则可由式(2.3)直接求出，这种数值积分方法又称逐步积分法。同时需要说明的是，在该算法中存在一个起步问题，其中的关键则是的计算，即当时，要通过式(2.3)计算出，除了由初始条件已知的外，还需要知道的值，所以必须采用一种专门的起步计算方法。起步计算方法如下。
给定初始条件、后，根据时刻的运动方程：
(2.4)
可求得加速度项，即
(2.5)
又根据式(2.1)中加速度和速度的表达式可知：
(2.6)
将、代入式(2.6)即可计算得出。
2.3 显式分析计算
当采用显式中心差分法进行计算时，式(2.2)可改写为
(2.7)
式中，为集中质量矩阵；为时刻的外荷载矢量；为时刻的内力矢量，它由下面几项构成：
(2.8)
式中，为单元的等效节点内力；为单元应变矩阵；为节点应力；为对单元的积分；为沙漏阻力；为接触力。
若已知时间节点，则时间节点的速度和位移便可由下面公式求得：
(2.9)
(2.10)
其中
(2.11)
和分别为节点的速度矢量和位移矢量。
由此，便可通过初始时刻的几何构型，得出时刻系统新的几何构型：
(2.12)
2.4 显式中心差分法稳定性分析
显式中心差分法是有条件稳定的。首先，在直接积分方法中，实质是用差分代替微分，且对位移和加速度的变化采用引申的线性关系(外插)，这就限制了的取值不能过大，否则结果可能失真过大，从而不能正确表现系统的真实响应；其次，在数值稳定性问题上，由于在每一步数值计算中，都不可避免地存在舍入误差，而这些舍入误差又不可避免地代入下一个时间步长算式中，若算法不具备数值稳定性，则可能导致结果发散，不能正常表现真实响应，甚至会导致无法求解。因此，为了使算法更加稳定，必须要限制时间步长的大小。
在一个简单的线性自由弹簧系统中，运动方程可表示为
(2.13)
设为特征向量矩阵，其与质量矩阵和刚度矩阵之间存在如下关系：
(2.14)
(2.15)
式中，为单位矩阵；为角频率。
通过特征向量矩阵，可将运动方程转化为
(2.16)
即得时刻系统运动方程为
(2.17)
根据中心差分法中式(2.1)，代入得
(2.18)
设，代入式(2.16)，差分方程转化为多项式方程：
(2.19)
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