第1章 布尔网络及系统的分析基础
1.1 引言
基因调控网络是由细胞中参与基因调控过程的DNA、RNA、蛋白质及代谢中间物质所形成的具有相互作用的网络[1]。随着人类基因组计划的提出，生命科学已经进入系统生物学时代。人们不再单独考虑基因、细胞或蛋白质个体，而是从基因组结构和功能的层面来研究生物系统的运行机理，即从整体关注这些有机物质的动态行为和关系。因此，基因调控网络备受关注。用于建模基因调控网络的方法有很多，如布尔网络[2-4]、定性网络[5]、贝叶斯网络[6]、微分方程[7]、分段线性微分方程[8]及基于生化过程随机性的主方程[9]。因为生物系统的调控作用是由多重激活因子和抑制因子通过逻辑与、或、非等算子及其嵌套组合进行运算完成的，所以布尔网络无疑是用于描述生物系统*为理想的一种模型。布尔网络*早由Kauffman（考夫曼）提出，是一种基于理想化、自然机制的数学模型[3]。网络中的每个基因只能处于“0”或“1”状态，基因的表达水平由逻辑函数和多个与之相关的基因表达水平决定。虽然布尔网络的结构简单，但是它具有复杂的动力特性。研究表明，许多实际的生物问题都可以在这种看似简单的二值模型下得到解决[10]。因此，布尔模型一经提出，便很快获得人们的关注并成功应用于诸多领域，如生物系统、电路设计和检测、博弈论、社会研究等。
对于布尔网络，首先要考虑的是其结构，即确定布尔网络的极限环、过渡周期及相应的吸引域。为此，许多学者提出了一些有用的求解吸引子的方法[11-13]。但总的来说，逻辑系统是很难研究的，主要原因是缺乏一个有效的数学工具。2000年初，程代展研究员带领其团队将他们*新发现的矩阵半张量积引入布尔网络，从而把布尔网络（布尔控制网络）等价地转化为一个离散时间线性（双线性）动态矩阵方程的形式。因此，许多关于传统离散时间动态系统的分析和综合方法可以应用于布尔网络的研究[14-17]。到目前为止，利用半张量积（semi-tensor product）方法研究布尔网络已经取得了非常有意义的进步，在很多方面获得了实质性的进展，如布尔网络的稳定性和稳定化[18-23]、能控性和能观测性[24-29]、耦合布尔网络的同步化判断和设计[30-41]、解耦控制及其设计[42-44]、*优控制[45-48]、布尔网络的分解[49，50]等。
此外，耦合系统的同步化问题也一直是各领域的研究热点[51-53]，因为在大自然中，系统的同步现象随处可见，如萤火虫的同步发光、知了齐鸣、鸟儿群飞，又如心肌细胞和大脑神经网络的同步、钟摆同步、剧场中观众自发鼓掌同步等。布尔网络的同步化研究旨在分析具有耦合关系的布尔网络之间的同步能力，给出同步化判据，并进一步提供同步化设计方法。
目前，关于布尔网络的同步化及其应用方面已有较丰富的理论成果，如耦合细胞自动机的同步化、具有随机耦合关系的Kauffman网络的同步化、随机布尔网络同步化等。文献[31]～文献[41]基于*新的数学工具——矩阵半张量积方法研究了确定性布尔网络的同步化问题，并给出了一些同步化判据和设计方法，使得问题的研究深度和广度都有所提高。然而，这些问题还有待进一步挖掘，相关成果仍需要进一步完善。例如，由于文献[31]和文献[32]提供的结果都具有超指数复杂度，所以在处理高维数的布尔网络同步化问题时显得力不从心。因此，在采用矩阵半张量积方法研究布尔网络同步化问题的同时，考虑如何尽可能地减少计算复杂度自然就成了一个有现实意义的课题。另外，针对带外部输入的主-从布尔网络的同步化这一主题，现有文献虽然给出了一些同步化判据，但仍然未能提供判断有效状态反馈器是否存在的有关条件，这里的有效控制器意指能保证耦合系统达到同步。此外，即使在某一情况下可以确定存在有效控制器，可文献中也没有给出有效控制器的设计方法。因此，根据以上分析，作者相信对布尔网络同步化的进一步研究既有理论价值又有实际意义。
1.2 预备知识
1.2.1 布尔网络
为方便起见，首先给出一些符号说明：
维的全1列向量；
维的全0列向量；
维单位矩阵的第列；
维单位矩阵所有列向量构成的集合；
逻辑矩阵；
实数集；
所有ｎ维实向量构成的集合；
所有ｍ行ｎ列逻辑矩阵构成的集合；
矩阵Ｌ的第ｉ行；
矩阵Ｌ的第ｉ列；
对于所有的ｉ和ｊ，不等式都成立，其中，和是具有相同维数的矩阵，和分别为矩阵和第行第列的元素。
下面介绍有关布尔网络的基础知识。布尔网络是由一组节点和一组有向连线构成的有向图。每个节点（基因状态）只能取值于。1表示基因状态“显示”，0表示“不显示”。其动态过程由一组逻辑动态方程表示。式（1.1）是人类荷尔蒙的生物模型。显然，该模型是一个布尔网络。
图1.1是对荷尔蒙进行抽象的模型示意图，相应的数学模型为
（1.1）
这是一个具有3个节点的布尔网络，表示节点在时刻的状态。模型式（1.1）是一个逻辑动态系统，涉及的逻辑算子有“逻辑或”（ｖ）和“逻辑与”。在实际应用中，常用的逻辑算子除了“逻辑或”（ｖ）和“逻辑与”，还有二元逻辑算子“蕴含”和“等价”和一元逻辑算子“逻辑非”。这些算子的真值表见表1.1。
通常，一个布尔网络是由多个节点构成的连接网络。每个节点都可以根据相应的逻辑规则取值于。下面是包含布尔网络的一般形式[54]：
（1.2）
其中，为状态变量；为元逻辑函数。
如果除了布尔网络的内部节点，还有输入节点和输出节点，那么该网络称为带输出的布尔控制网络。下面是带输出的布尔控制网络的一般形式[24，55]：
（1.3）
其中，为控制输入；为网络输出。
本书采用的数学工具主要是程代展团队*近提出的矩阵半张量积。为了知识结构的完整性，下面给出半张量积的概念及其基本性质。想了解更多关于矩阵半张量积的读者可参看文献[56]。
【定义1.1】[56]
矩阵和的半张量积定义为
其中，为和的*小公倍数；为Kronecker（克罗内克尔）积。
下面给出一些例子。
【例1.1】
（1）设矩阵
则利用定义1.1计算可得
（1.4）
（2）设且
则
当时，上述矩阵半张量积实际上就是传统的矩阵乘积。它保持了传统矩阵乘积的基本性质。因此，半张量积是传统矩阵乘积的一种推广。基于此，本书在不产生混淆的情况下通常省略算符。
【引理1.1】
半张量积的基本性质。
（1）给定矩阵和，则
（2）给定一个列向量和一个矩阵，则
（3）给定一个行向量和一个矩阵，则
（4）给定一个的逻辑矩阵
则对于任意的，有。特别是当时，记，则。
（5）给定两个列向量，则
其中
（1.5）
当时，通常简记为。
为了利用半张量积将上述模型式（1.2）和模型式（1.3）转化为矩阵形式，现将1和0分别与和等价，记作1～和0～。于是，等价于，映射可以写成。在逻辑变量的向量形式下，通常记。因此，状态向量等价于。
下面给出一个重要引理。该引理揭示了逻辑函数的代数形式。
【引理1.2】[57]
对于任意一个元逻辑函数，存在唯一一个矩阵，使得在逻辑变量的向量形式下，有
（1.6）
其中，为逻辑函数的结构矩阵。
下面通过一些例子说明逻辑函数的结构矩阵。
【例1.2】
（1）考虑基本逻辑算子“非”“或”“与”“蕴含”“等价”，它们的结构矩阵分别记为和。容易验证，这些结构矩阵为
（1.7）
（2）给定一个三元逻辑函数
（1.8）
利用引理1.1、引理1.2和式（1.7），计算式（1.8）的矩阵形式如下：
（1.9）
其中，逻辑函数式（1.8）的结构矩阵为
下面进一步给出模型式（1.2）的结构矩阵。为了结论的一般性，考虑逻辑映射
（1.10）
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