矩阵半张量积是近二十年发展起来的一种新的矩阵理论，经典矩阵理论的最大弱点是其维数局限，这极大限制了矩阵方法的应用。矩阵半张量积是经典矩阵理论的发展，它克服了经典矩阵理论对维数的限制，因此，被称为跨维数的矩阵理论。《矩阵半张量积讲义》的目的是对矩阵半张量积理论与应用做一个基础而全面的介绍。计划出版五卷。卷一：矩阵半张量的基本理论与算法；卷二：逻辑动态系统的分析与控制；卷三：有限博弈的矩阵半张量积方法；卷四：有限与泛维动态系统；卷五：工程及其他系统，本书的目的是对这个快速发展的学科分支做一个阶段性的小结，以期对其进一步发展及应用提供一个规范化的基础。 本书是《矩阵半张量积讲义》的第四卷。内容包括两个部分：①一般有限集合上的动态系统的建模与控制，主要介绍有限集（包括有限环与有限格）上的动态系统。②跨维数欧氏空间的拓扑结构、等价性与商空间、跨维数动态系统及跨维半群系统的建模与控制。矩阵半张量积为这两类系统的研究提供了有效的工具，本书所需要的预备知识仅为工科大学本科的数学知识，包括线性代数、微积分、常微分方程、初等概率论，相关的线性系统理论及点集拓扑、抽象代数、微分几何等的初步概念在卷一附录中已给出。不感兴趣的读者亦可略过相关部分，这些不会影响对本书基本内容的理解。 本书可供离散数学、自动控制、计算机、系统生物学、博弈论及相关专业的高年级本科生、研究生、青年教师及科研人员使用。

第1章有限集上的动态系统
　　有限集上的动态系统也称有限网络.它*初来自Kauffman提出的布尔网络，后来发展到k值、混合值，以及随机值的逻辑网络和逻辑控制网络.网络化的有限博弈的策略演化也可建模为以纯策略为变量的有限值或以混合策略为变量的随机值逻辑系统形式.这些模型我们在第二卷和第三卷均已详细讨论过.本章的目的，是以矩阵半张量积为工具，为这一类系统提供一个统一的框架.并探讨一些一般性的结构特点.文献间及丨83]都试图从一般有限集角度探讨有限值上的动态系统.本章从有限值动态系统出发，将各类有限值动态系统看作统一的有限值动态系统不同的分解系统，或曰不同的分量表达形式.从而将对布尔网络等建立起来的分析与控制设计方法推广到一般有限值动态系统.本章还介绍了用于检验控制网络能控性与能观测性的轨迹跟踪法.
　　1.1有限集上的映射
　　设V是一个有限集合，其元素个数为通常将其他记成VK.
　　中的元素进行编号，则有
　　一般地说，具体数字表示某种状态，它未必有数值上的意义.因此，为方便，
　　常用其他《个数表示，例如
　　是否有数值上的意义，应视具体问题而定.
　　情形1:它们没有数值上的意义.
　　例如，在石头-剪刀-布游戏中，玩家的策略集合可以用D3={1，2，3}来表示.这里，1，2，3可任意分别代表“石头”“剪刀”“布”中的一个.只是一旦指定，在讨论过程中是不能改变的.
　　情形2:它们有数量上的意义.
　　例如，在二值逻辑中，逻辑变量X有两种状态：真(X=1)，假(X=0).这时，变量值有约定俗成的意义，是不能随便互换的.
　　又如，在fc值逻辑中，逻辑变量X有k种状态，这时，也可以直接将表示成
　　此时，状态的具体数值有明确的物理意义.即使仍然使用(1.1.1)来代表这k种状态，它们的具体数值仍然有大小上的意义.
　　假如VK中的元素具有大小上的意义，会有附加的代数结构出现.例如，假定，则：Dk将被视为格.这种情形将在第4章中详细讨论.又如，有限伽罗瓦域可用表示其元素，这里p是素数.这时会有域结构，或更一般地，当p不是素数时，会有环结构出现.这种情形将在第5章中详细讨论.
　　现在假定X是一个变量，它取值于VK.我们就说.例如，在二值逻辑中，一个逻辑变量，它表示逻辑变量x有两个可能取值.又如，在两玩家玩“石头(1)-剪刀(2)-布(3)”游戏时，设X，y分别为两玩家的策略.
　　为了使用矩阵半张量积方法，通常将vK中的元素用向量表示，即用圮e表示VK中的某个元素.如果XeVK，则它的向量表示记为X=XeAc.
　　对应前面提到的两种情形：
　　(i)情形1:这时DK常用(1.1.2)表示.此时，通常定义
　　(1.1.4)
　　(ii)情形2:这时DK常用(1.1.1)(或(1.1.3))表示，此时，通常定义
　　(1.1.5)
　　这样，我们就有一个等价关系：
　　设为有限值上的映射，记作F=F(X).记，分别为X，Y的向量表示.那么，F有如下的矩阵方程表示.
　　命题1.1.1设，为有限值上的映射，记为y=F(X).则存在唯一逻辑矩阵，使得在向量形式下有
　　(1.1.6)
　　1.1有限集上的映射
　　(1.1.6)称为Y=F(X)的代数状态空间表示.
　　证明由定义可知，(1.1.6)成立，当且仅当，
　　(1.1.7)决定了唯一的结构矩阵.
　　在以下讨论中，我们*感兴趣的是有限值上的演化系统.这时F:考察.设为k的一个因数分解.构造两组分割数
　　(1.1.8)
　　(1.1.9)
　　注意，这两组分割数是根据因子组来构造的.如果为《的另一组因子分解，根据这组因子集合，也可构造出相应的分割数.
　　利用由(1.1.8)及(1.1.9)给出的这两组分割数，构造一组矩阵，称为投影矩阵，如下：
　　(1.1.10)
　　定义1.1.1设，这里，定义映射，如下：
　　称为在上的投影分量.
　　下面这个定理称为有限值向量的分解定理.
　　定理1.1.1设为K的一个给定因子分解在上的分量为，那么，
　　(1.1.12)
　　证明设.构造
　　由矩阵半张量积定义可知
　　于是，由定义可知
　　即
　　直接计算可得
　　这里
　　(1.1.13)
　　注意到，由(1.1.13)定义的映射是一对一的.故没.
　　设y=F(X)为4的一个有限值k上的映射.将有限值向量的分解定理应用到有限值映射F上，则可得F的分量表达式
　　(1.1.14)
　　这里
　　(1.1.15)
　　从F的所有分量表达式可反求出F的整体表达式，不妨把它称为有限值向量的合成定理.
　　定理1.1.2设尸：是由一组映射构成的.即，其中仄：的代数状态空间表达式为
　　(1.1.16)
　　则
　　(1.1.17)
　　这里，
　　上式中*是矩阵的积.
　　1.1有限集上的映射
　　证明设.则
　　因此
　　利用(1.1.17)可知
　　于是可得
　　即
　　下面给出一个简单的数值例子.
　　例1.1.1设
　　则
　　它可被分解为
　　(1.1.18)
　　记Fi的结构矩阵为，则可得
　　1.2有限值动态系统
　　定义1.2.1设X(t)eVK为一个动态变量，也称X(t)为状态变量.
　　(i)如果X(t)的取值依赖于之前的状态，即
　　(1.2.1)
　　则称其为一个有限动态系统，(1.2.1)称为动态演化方程.
　　(ii)如果X(t)的取值只依赖于上一时刻的状态，即
　　(1.2.2)
　　则称其为一个马尔可夫型的有限动态系统.它是我们研究的主要对象.为方便计，也将它简称为有限动态系统.
　　(iii)如果X(t)的取值只依赖于前时刻的状态，即
　　(1.2.3)
　　则称其为一个带有时延T的有限动态系统.
　　在以下的讨论中，如果没有特别说明，有限动态系统均指马尔可夫型的有限动态系统.
　　考察有限动态系统的动态方程(1.2.2)，利用有限值向量的分解定理，可以得到分量式动态方程.
　　命题1.2.1(i)设有限动态系统(1.2.2)的向量表示形式为
　　(1.2.4)
　　1.这里，(1.2.4)称为系统(1.2.2)的代数状态空间表示(algebraic state space representation).

目录　
第1章　有限集上的动态系统　1　
1.1　有限集上的映射　1　
1.2　有限值动态系统　6　
1.3　有限值动态系统的拓扑结构　9　
1.4　有限值控制系统　12　
1.5　有限值网络的能控性与能观性　13　
1.5.1　能控性　13　
1.5.2　能观性　15　
1.6　坐标变换与标准型　17　
1.7　随机型有限值系统　20　
第2章　状态空间及其对偶空间　25　
2.1　状态空间及其子空间　25　
2.2　对偶空间　28　
2.3　布尔网络的分割子空间　33　
2.3.1　分割函数与不变子空间　33　
2.3.2　不变子空间的并　36　
2.3.3　布尔网络的聚类动态系统　39　
2.4　布尔控制网络的不变子空间　43　
2.5　布尔控制网络的*小实现　44　
2.6　社会观点网络的*小实现　49　
第3章　对偶网络与隐秩序　55　
3.1　有限值网络的状态空间与对偶空间　55　
3.2　对偶网络　59　
3.3　对偶k值网络　61　
3.3.1　对偶网络演化方程　61　
3.3.2　对偶吸引子　64　
3.3.3　不变子空间　65　
3.4　吸引子与对偶吸引子　66　
3.5　X上的布尔代数结构　70
3.6　隐秩序与控制网络的实现　74　
3.6.1　隐秩序的结构　75　
3.6.2　k值控制网络的实现　77　
第4章　格与有限格上的网络　81　
4.1　格论初步　81　
4.2　P0代数　85　
4.3　P1格　91　
4.4　Post代数　93　
4.5　有限格上的逻辑网络　98　
4.5.1　Post函数　98　
4.5.2　k值网络的格结构　100　
4.5.3　混合值网络的格结构　102　
4.6　定义在格上的多值网络　103　
4.7　多值生物网络的异步实现　105　
第5章　有限环上的网络　109　
5.1　环与子环　109　
5.2　有限环运算的矩阵表示　112　
5.3　有限环上的网络的性质　115　
5.4　理想上的子网络　121　
5.5　乘积环上的网络　128　
5.5.1　乘积环　128　
5.5.2　乘积网络　133　
5.6　分解　136　
5.7　乘积环上的控制网络141　
5.8　线性网络　145　
5.9　网络的有限环表示　149　
第6章　完美超复数　154　
6.1　从超复数到完美超复数　154　
6.1.1　超复数的代数结构　154　
6.1.2　完美超复数元素的逆　157　
6.1.3　超复数代数的同构　158　
6.2　低维完美超复数　159　
6.2.1　二维超复数　159　
6.2.2　三维超复数　161
6.2.3　四维超复数　163　
6.2.4　高维超复数　165　
6.3　完美超复数矩阵　166　
第7章　泛维数状态空间　170　
7.1　混合维数伪向量空间　170　
7.2　等价向量　171　
7.3　泛维向量空间的距离　178　
7.4　右等价　180　
7.5　泛维数向量空间上的拓扑　182　
7.6　跨维空间投影　183　
7.7　线性系统的*小方差逼近　186　
7.8　线性变维数系统的近似系统　188　
第8章　泛维欧氏空间与泛维欧氏流形　193　
8.1　从等价向量到商向量空间　193　
8.2　泛维欧氏空间的拓扑　196　
8.3　泛维欧氏空间上的纤维丛结构　198　
8.4　从邻域丛到连续函数　200　
8.5　从泛维欧氏空间到泛维欧氏流形　203　
第9章　泛维欧氏空间上的微分几何　207　
9.1　泛维欧氏空间上的向量场　207　
9.2　泛维欧氏空间上的余向量场　212　
9.3　泛维欧氏空间上的分布与余分布　215　
9.3.1　泛维欧氏空间上的分布　215　
9.3.2　泛维欧氏空间上的余分布　217　
9.4　泛维欧氏空间上的张量场　218　
9.5　泛维黎曼流形与泛维辛流形　220　
第10章　泛维欧氏空间上的控制系统　223　
10.1　非线性控制系统　223　
10.2　矩阵与线性向量场　225　
10.2.1　矩阵半张量积与矩阵格结构　225　
10.2.2　线性向量场　227　
10.3　线性控制系统　229　
第11章　泛维矩阵空间　233　
11.1　泛维矩阵空间的等价性与格结构　233
11.2　等价类的性质　237　
11.3　矩阵集及其等价类上的半群结构　241　
11.3.1　矩阵半群　241　
11.3.2　矩阵集合上的向量空间结构　244　
11.3.3　矩阵子集族的群结构　246　
11.4　矩阵空间的商空间　247　
11.4.1　矩阵商空间的么半群结构　247　
11.4.2　矩阵商空间上的加法　250　
11.4.3　商空间上的向量空间结构　251　
第12章　矩阵商空间的拓扑结构　254　
12.1　矩阵集上的拓扑　254　
12.1.1　矩阵商空间上的乘积拓扑　254　
12.1.2　矩阵空间的丛结构　258　
12.1.3　矩阵商空间的坐标系统　261　
12.2　矩阵及其等价类上的距离　265　
12.2.1　内积　265　
12.2.2　商矩阵空间上的距离与距离拓扑　269　
12.2.3　矩阵商空间的子空间　272　
第13章　泛维线性半群系统　275　
13.1　半群动态系统　275　
13.2　广义矩阵半张量积　277　
13.2.1　基于乘子的矩阵半张量积　277　
13.2.2　不同类型的矩阵半张量积　282　
13.3　矩阵的泛等价性　285　
13.3.1　基于矩阵乘子的等价性　285　
13.3.2　等价矩阵的商空间　287　
13.3.3　矩阵的商空间拓扑　288　
13.3.4　向量空间的等价性　289　
13.4　矩阵半群上的系统　294　
13.4.1　线性动态系统　294　
13.4.2　商空间上的线性半群系统　297　
第14章　半群系统的动力学分析　299　
14.1　泛维欧氏空间上的线性半群系统　299　
14.1.1　矩阵的算子模　303
14.1.2　商空间上的线性半群系统　305　
14.2　不变子空间　307　
14.2.1　固定维不变子空间　307　
14.2.2　跨维数不变子空间　313　
14.2.3　高阶线性映射　316　
14.2.4　商向量空间上的不变子空间　319　
14.3　泛维数线性系统　321　
14.3.1　离散时间泛维系统　321　
14.3.2　时不变线性系统　323　
14.3.3　离散时间线性系统的轨线　326　
14.3.4　连续时间线性系统的轨线　327　
14.4　形式多项式　331　
14.4.1　矩阵的直和　331　
14.4.2　形式多项式空间的距离拓扑　335　
14.4.3　商空间的形式多项式　337　
14.4.4　基于多项式的代数结构　340　
第15章　线性控制半群系统　342　
15.1　线性控制半群系统的模型与分析　342　
15.1.1　离散时间线性控制系统　342　
15.1.2　连续时间线性控制系统　345　
15.2　商空间上的半群线性系统　349　
15.2.1　商向量空间、商矩阵空间及其半群系统　349　
15.2.2　商形式多项式　351　
15.2.3　商空间上的线性系统　352　
15.2.4　商空间上的稳态实现　354　
15.3　有穷维投影实现　359　
15.3.1　离散时间系统的投影实现　359　
15.3.2　离散时间控制系统的投影实现　361　
15.3.3　连续时间系统　361　
第16章　泛维李代数与李群　363　
16.1　商矩阵空间上的李代数　363　
16.1.1　丛结构下的李代数　363　
16.1.2　李子代数丛　365　
16.1.3　李代数丛的性质　368
16.2　矩阵商空间上的李群　373　
16.2.1　线性李群丛　373　
16.2.2　李群丛及其李代数丛　374　
16.2.3　李子群丛　375　
16.2.4　对称群　377　
16.2.5　形式商多项式的李代数　378　
参考文献　379　
索引　386