本书基于非线性随机动力学理论方法，研究了典型多稳态随机系统的动力学特性，揭示了由多稳态和噪声诱导产生的新颖非线性现象。全书共7章：第1章详细介绍了随机共振经典理论及典型噪声的数值模拟方法等基础知识；从第2章开始，系统研究了不同随机激励下周期势系统和三稳态系统的噪声诱导共振、时滞三稳态系统的随机动力学特性等，并将理论结果应用于微弱故障信号的提取和随机振动能量采集系统的参数优化设计。本书内容主要来自于作者长期从事非线性随机动力系统的研究成果，体系完整，有助于深入认识噪声、非线性和时滞等对随机系统动力学的影响。本书可供高等学校力学、应用数学、机械等专业的高年级大学生和研究生，以及从事非线性动力学、随机动力系统等研究的教师和科技工作者阅读。

第 1 章 引论
　　在现实世界中， 随机和非线性普遍存在于自然科学和社会科学的各个领域中，如物理、化学、生物、经济、气象、机械、航空航天、海洋、土木工程及地震等.要反映客观实际， 在建模过程中就必须考虑随机力对非线性动力系统的影响， 借助概率与统计特性描述其不确定性或随机性， 揭示系统的基本特征、共同性质和运动规律. 因此， 非线性随机动力学是非线性科学的一个重要分支， 也是动力学与控制学科的前沿科学问题之一.
　　随机动力学的研究源于 20 世纪初爱因斯坦 (Einstein) 等对布朗运动的开创性研究. 在 1827 年， 英国植物学家罗伯特 布朗 (Robert Brown) 观察到了悬浮在水中的花粉粒子总是在做激烈的、不规则的运动， 但当时对布朗运动的物理机制并没有给出解释. 直到 1905 年， 爱因斯坦 [1] 对这一问题进行了深入研究， 发现布朗运动是由于花粉粒子受到周围液体分子的不规则碰撞产生的， 且这些碰撞的发生是瞬时的和随机的， 进而确立了爱因斯坦关系 (或涨落耗散定理). 1906 年，斯莫路乔夫斯基 (Smoluchowski)[2] 也独立发现了布朗运动的变化规律， 并给出相同的解释. 随后， 朗之万 (Langevin)[3] 在随机力的假设下提出了一种新的方法， 建立起著名的朗之万方程， 成为随机微分方程的第一个实例， 即一个具有随机项的微分方程， 因此它的解在某种意义下是一个随机函数. 然而， 一直到了 40 年后，伊藤 (It.) 形成了系统的随机微分方程的概念， 之后朗之万方程方法才得到了严格的数学基础支撑 [4]. 在此基础上， 福克 (Fokker) 和普朗克 (Planck) 先后推导出了关于布朗粒子的概率密度演化方程， 并且后向 Kolmogorov 方程为此提供了严格的理论基础， 即产生了经典的 Fokker-Planck 方程 [5]. 对于随机振动的探讨始于 20 世纪 50 年代， 主要是由航空工程发展的需要引起， 即航空与宇航工程中提出的三个问题：大气湍流引起的飞机抖振、喷气噪声引起的飞行器表面结构的声疲劳、火箭推进的运载工具中有效负载的可靠性， 这些问题中的振源激励均带有随机性. 这就为机械振动开辟了一个新的研究领域——随机振动， 并被应用于包括车辆工程、船舶与海洋工程、桥梁与建筑工程等诸多领域 [6.10]. 从 20 世纪60 年代开始， 人们开始了非线性随机动力学的研究， 并发展了许多精确的或近似的解析分析方法， 以及研究非线性随机系统的响应、稳定性、分岔混沌及可靠性等 [11.17]. 特别是朱位秋院士在 Hamilton 理论体系框架下， 建立了非线性随机动力学与控制的理论方法 [18]. 与此同时， 数学家发展了随机稳定性与随机*优控制理论并将其应用于经济和金融领域的研究中 [19.22]. 20 世纪 80 年代， 气象学家Benzi 和 Nicolis 等 [23.24] 在研究古气候冰川问题时各自独立发现并提出了 “随机共振”(Stochastic Resonance， SR) 的概念， 该现象说明噪声干扰并不总是对宏观的秩序起消极破坏作用， 在一定的条件下， 噪声对非线性系统的动力学行为起到了积极有序的建设性作用， 随机共振已被广泛地应用于光学、物理学、化学、生物学、电子、机械、图像信息和神经生理等领域 [25.28]. 由此可见， 随机动力学的研究得到了蓬勃发展， 并对力学、数学、统计物理及工程等学科产生了重要影响.由于非线性和随机带来的复杂性以及数学处理的难度， 非线性随机动力学的研究仍处于发展阶段， 特别是随机激励下复杂非线性系统 (如多稳态系统) 的理论分析和数值方法研究.
　　1.1 噪声诱导共振
　　所有真实的系统中都存在随机涨落或噪声， 噪声通常扮演着双重角色：破坏性和建设性. 一方面， 人们对噪声的认识通常局限在其产生的有害、消极和破坏作用上， 认为它是造成系统产生复杂无序运动的根源， 从而通过各种手段去减弱或消除噪声对系统的影响. 另一方面， 研究发现在一定的条件下， 噪声对非线性系统的动力学行为起到了有序的建设性作用， 完全颠覆了噪声扮演破坏系统序的角色. 体现噪声积极效应的典型动力学现象包括：噪声增强稳定性 (Noise Enhanced Stability， NES)、相干共振 (Coherence Resonance， CR)、噪声诱导相变 (Noiseinduced Phase Transition)、共振激活 (Resonance Activation， RA) 和随机共振等. 下面主要介绍上述噪声诱导共振 (Noise-induced Resonances) 的发生机理和刻画指标量.
　　在随机共振研究中， 经典模型是白噪声和简谐激励下的欠阻尼双稳态系统， 其朗之万方程的一般形式可写为
　　(1.1.1)
　　式中， x(t) 是单自由度系统的位移; M 表示质量; γ 为黏性阻尼系数;为双稳态势函数; F(t) = Acos(ωt) 为简谐激励， 参数 A 和 ω 分别表示其幅值和频率; ξ(t) 为高斯白噪声， 其均值和相关函数为
　　(1.1.2)
　　其中， D 为噪声强度. 当 A = D = 0 时， 由双稳态势函数可知， 系统存在一个不稳定点 x0 = 0 和两个稳定点 x1，2 = ±pδ1/δ3， 两个势阱中间的势垒高度为， 如图 1.1.1 所示， 故称作双稳态系统.
　　图 1.1.1 双稳态势函数示意图
　　当 γ 比较大时， 则主要考虑系统的时间尺度大于能量弛豫时间 γ.1 下的动力学行为. 此时， 方程 (1.1.1) 主要是阻尼项在起作用， 可以忽略惯性项的影响， 方程(1.1.1) 可以进一步简化为如下无量纲形式：
　　(1.1.3)
　　方程 (1.1.3) 描述的系统称为一阶过阻尼非线性朗之万方程 [29].
　　1.1.1 平均*次穿越时间
　　噪声诱导的逃逸问题普遍存在于物理系统 [30]、神经系统 [31]、肿瘤细胞增长系统 [32]、光学系统 [33]、黏弹性流体 [34] 等， 平均*次穿越时间是刻画逃逸过程的一个重要指标. 在工程实际中， 与随机激励下动力系统的结构可靠性紧密相关，一类应用是*次穿越损坏的研究 [35]， 另一类应用认为疲劳损伤累积是一个随机现象， 当其超过一个临界阈限时， 损坏就发生了 [36].
　　*次穿越时间定义为粒子*次从一个势阱逃逸到另一个势阱中的持续时间.由于噪声激励下*次穿越时间在各次试验中是不同的， 通过对其进行平均得到统计意义上的平均*次穿越时间. 当系统 (1.1.1) 中不考虑简谐激励 (即 A = 0) 时，克莱默斯 (Kramers) *次使用 Fokker-Planck 方程计算了系统穿越势阱的逃逸速率， 得到了著名的 Kramers 逃逸速率的表达式 [37]：
　　(1.1.4)
　　其中， 为势垒高度. 在弱噪声条件下 (即)， 平均
　　*次穿越时间 TK 等于 Kramers 逃逸速率 rK 的倒数， 即 TK = 1/rK. 在非弱噪声条件下， 胡岗 [29] 给出了考虑吸收壁边界的系统中平均*次穿越时间的计算公式.从数学角度， Freidlin 和 Wentzell 将*次穿越时间描述为如下随机变量 [38]
　　(1.1.5)
　　式中， Xt 为系统状态变量; Ω 为待离开区域. τK 的条件概率密度可表示为
　　(1.1.6)
　　式中， R( t|X0) = P {Xt ∈ Ω|X(0) = X0 ∈ Ω} 为条件可靠性函数. 根据式 (1.1.5)可得*次穿越时间的 n 阶条件矩， 当 n = 1 时一阶矩 μ1(X0) 即为平均*次穿越时间.
　　由式 (1.1.4) 知系统平均*次穿越时间， 故 ln TK 随着噪声强度 D 的增加而单调减小. 但是随着研究的深入， 研究者们发现在随机涨落变化或周期振荡的势场中， ln TK 随着 D 的增加出现非单调变化的共振行为， 这意味着系统在噪声激励下驻留亚稳态的时间会长于确定性系统的衰减时间. 这一反直觉的现象在隧道二极管的实验中被证实， 也称为噪声提高稳定性 [39.41]. 此外，Doering 和 Gadoua[42] 在研究分段线性系统的逃逸问题时， 发现了一种新的物理现象——“共振激活”. 即系统的平均*次穿越时间作为涨落势垒转移速率的函数存在一个极小值， 显示了涨落势垒调制过程和热噪声协助势垒穿越的相互协作关系. 因此， 研究者可以通过调节噪声强度或转移速率的大小来延长或缩短实际工程系统中的亚稳态寿命， 该研究体现出噪声非常重要的应用价值.
　　1.1.2 随机共振
　　随机共振的基本含义是指一个非线性双稳系统， 当仅在弱简谐激励或弱噪声驱动下都不足以使系统的输出在两个稳态之间跃迁， 而在两者的共同作用下， 当噪声强度达到某一适当值时， 系统输出响应的幅值达到*大——“共振”.
　　下面通过图 1.1.2 来解释随机共振发生的机理. 当方程 (1.1.3) 中 F(t) 的幅值A = 0 时， 即仅在噪声作用下的情形， 系统在两个稳态 x1x2 之间可以转换， 由于势垒高度相等， 两个方向的跃迁概率相同， 同为 Kramers 逃逸率. 当方程 (1.1.3)中 ξ(t) 的噪声强度 D = 0 时， 即仅在简谐激励作用的情形下， 此时 A 存在一个临界值 Ac = 2√3x3/9. 当 A < Ac 时， 系统将在稳态 x1 或 x2 附近进行局域的周期运动， 只有当 A > Ac 时， 系统才能绕过这两个稳态做大范围的运动. 若叠加适量的弱噪声， 即使在 A < Ac 时， 系统仍可以在两个稳态 x1x2 之间跃迁. 由图 1.1.2可见， 当系统受到简谐激励作用时， 调制的势函数为，势阱高度会发生周期性变化， 对称性被打破. 当 t = 0 时， 势函数为对称的， 此时势垒高度*大， 故系统无法克服势垒高度在势阱间进行跃迁; 当 t = T/4 时， 势垒高度发生变化， 此时左侧势阱更浅， 系统易于穿越势垒从左势阱跳到右势阱; 当t = T/2 时， 此时同 t = 0 时刻， 系统无法在势阱间进行跃迁; 当 t = 3T/4 时， 势垒高度发生变化， 此时右侧势阱更浅， 系统易于穿越势垒从右势阱跳到左势阱. 由此可见， 系统的平均*次穿越时间和简谐激励的周期满足 TK = T/2(T = 2π/ω)时， 随机共振发生. 换言之， 当阱间的跃迁时间和简谐激励的周期达到一种统计意义上的同步时， 系统发生随机共振. 因此， 由式 (1.1.4) 可推导得到系统发生随机共振时， 简谐激励频率满足的关系式
　　(1.1.7)
　　图 1.1.2 对称双稳态系统 (1.1.1) 的随机共振示意图
　　那么， 如何简单直接地判断非线性系统是否出现随机共振现象呢？下面介绍几种主要的判断方法和指标量.
　　(1) 信噪比 (Signal-to-Noise Ratio， SNR)：Benzi 等 [23] 通过系统输出功率谱在简谐激励的频率处存在一个明显的峰值来刻画随机共振. 基于该工作， 信噪比通常被用来检验随机共振的发生， 其定义为在输入频率 ω 上的谱高与 ω 附近背景噪声的平均谱高之比
　　(1.1.8)
　　式中， 谱 S(ω1) 来源于输出信号; 谱 SN(ω) 来源于输出噪声. 随着噪声强度的增加， 如果信噪比曲线出现非单调共振峰， 说明系统有随机共振发生.
　　(2) 线性响应理论：Dykman 等 [43] 认为在弱的简谐激励下， 系统的平均输出x

目录
“非线性动力学丛书”序
前言
第1章 引论 1
1.1 噪声诱导共振 2
1.1.1 平均*次穿越时间 3
1.1.2 随机共振 4
1.1.3 相干共振 6
1.2 多稳态系统 7
1.2.1 具有多个平衡点的多稳态系统 7
1.2.2 含双曲正弦函数的超脉冲电路系统 10
1.3 典型随机噪声激励及其数值模拟 12
1.3.1 按噪声的起源分类 12
1.3.2 按噪声的功率谱密度分类 13
参考文献 18
第2章 色噪声激励下周期势系统的*次穿越和随机共振 22
2.1 OU 噪声激励下欠阻尼周期势系统的随机共振 23
2.1.1 朗之万方程与能量转换 23
2.1.2 加性高斯色噪声激励下系统的随机共振 25
2.1.3 乘性高斯色噪声激励下系统的随机共振 30
2.2 二值噪声激励下欠阻尼周期势系统的随机共振 34
2.2.1 系统的随机响应特性 34
2.2.2 二值噪声激励下系统的随机共振 37
2.3 三值噪声激励下约瑟夫森结的*次穿越和随机共振 40
2.3.1 系统的稳态解 41
2.3.2 系统的随机共振 48
2.3.3 系统的平均*次穿越时间 51
2.4 本章小结 54
参考文献 54
第3章 乘性和加性噪声激励下周期势系统的噪声诱导共振 57
3.1 白关联噪声激励下欠阻尼周期势系统的相干共振和随机共振 58
3.1.1 系统概率密度函数的演化 58
3.1.2 噪声强度对相干共振的影响 60
3.1.3 噪声强度和相关系数对随机共振的影响 63
3.2 加性白噪声与乘性二值噪声激励下过阻尼周期势系统的相干共振和
随机共振 66
3.2.1 系统的稳态概率密度函数 66
3.2.2 噪声对相干共振和随机共振的影响 68
3.3 加性和乘性三值噪声激励下欠阻尼周期势系统的随机动力学 73
3.3.1 系统响应的演化特性 73
3.3.2 系统的随机共振 76
3.4 色关联噪声和混合周期信号激励下欠阻尼周期势系统的随机共振 78
3.4.1 加性与乘性噪声强度对随机共振的影响 79
3.4.2 噪声的互关联系数对随机共振的影响 80
3.4.3 混频周期信号对随机共振的影响 81
3.5 本章小结 83
参考文献 84
第4章 时滞三稳态系统的随机动力学特性 86
4.1 关联噪声激励下时滞三稳态系统的跃迁和相干共振 86
4.1.1 过阻尼时滞三稳态系统 86
4.1.2 噪声诱导跃迁行为 88
4.1.3 平均*次穿越时间 92
4.1.4 相干共振 100
4.2 关联噪声和周期信号激励下时滞三稳态系统的响应和随机共振 102
4.2.1 系统瞬态响应 103
4.2.2 系统稳态响应 106
4.3 三值噪声激励下时滞三稳态系统的随机共振 112
4.3.1 三值噪声和时滞对平均*次穿越时间的影响 113
4.3.2 三值噪声和时滞对随机共振的影响 114
4.4 本章小结 116
参考文献 117
第5章 二阶欠阻尼多稳态系统的噪声诱导共振 120
5.1 含记忆阻尼的二阶多稳态系统的共振行为 120
5.1.1 系统的数学模型 120
5.1.2 非对称三稳态系统的特征相关时间和随机共振 123
5.1.3 广义朗之万方程描述的周期势系统的随机共振 135
5.2 含黏性阻尼的二阶三稳态系统的随机共振 144
5.2.1 系统的运动方程 144
5.2.2 系统的随机共振机理 146
5.2.3 系统参数对随机共振的影响 151
5.3 本章小结 155
参考文献 156
第6章 非高斯噪声激励下过阻尼非对称三稳态系统的随机共振 158
6.1 数学模型 159
6.2 非对称三稳态系统中噪声诱导的跃迁 161
6.2.1 准稳态概率密度 161
6.2.2 平均*次穿越时间 164
6.3 非对称三稳态系统的随机共振 166
6.3.1 功率谱放大因子 166
6.3.2 信息熵产生 173
6.4 基于非对称三稳随机共振的轴承故障检测 177
6.5 本章小结 180
参考文献 181
第7章 随机激励下三稳态振动能量采集系统的动力学 184
7.1 白噪声激励下三稳态压电悬臂梁的动力学 185
7.1.1 系统模型 186
7.1.2 基于参数诱导随机共振的系统参数优化 188
7.1.3 非线性刚度系数对系统动力学特性的影响 191
7.1.4 优化参数对系统采集性能的影响 199
7.2 色噪声激励下三稳态电磁式能量采集器的动力学 200
7.2.1 系统模型 201
7.2.2 系统的稳态概率密度 202
7.2.3 随机分岔 205
7.2.4 随机共振 215
7.2.5 能量采集性能分析 224
7.3 本章小结 225
参考文献 226
“非线性动力学丛书” 已出版书目 229