第1章 可积性与求解法
　　本章以何谓可积作为问题的开始，阐述 Lax、Liouville、Painlevé三种意义下的可积系统，联系到可积系统的超对称扩展、Hamilton结构和共振公式，同时介绍非线性可积系统的 B.cklund变换、 Darboux变换、反散射变换、 Hirota双线性方法及其他一些求解方法.
　　1.1 何谓可积
　　本书中涉及的可积总是与一个微分方程系统联系在一起，并非指函数的可积性. 何谓可积？这个问题没有一个统一性的精确回答. 可积系统能否泛指可以解析求解的微分方程？如果能这样理解的话，那么可积系统就是一个经过有限次的代数运算与积分可以精确求解的微分方程 . 更严谨地讲，称一个系统是可积的，通常要具体指出它是哪种意义下的可积[1]. 随着孤子理论的快速发展，可积系统的一些理论框架已形成，其中包括 Lax理论和 Liouville理论. KdV（Korteweg-de Vries）方程
　　（1.1.1）
　　是非线性可积系统具有代表性的典型模型之一（本书用 x、t等下标记偏导数）．可积系统有多种意义下的可积性，本节仅对其中的 Lax可积、 Liouville可积和 Painlevé可积进行概述，一些其他意义下的可积性详见本书 3.2节.
　　1.1.1 Lax可积系统的构造性生成与超对称扩展
　　1968年，Lax在对反散射变换进行推广中给出 KdV方程的一种换位表示[2]，使得非线性演化方程的可积性分析得到一个合理的框架. 寻找方程的 Lax对或其零曲率表示已发展成为研究非线性演化方程可积性的一个基本出发点.
　　一般地，若一个非线性演化方程能表示成线性谱问题与其时间发展式的下述相容性条件：
　　（1.1.2）
　　式中，L是与位势u有关的微分算子； .是本征函数； N是依赖于位势 u和谱参数.的微分算子；.是关于 t的偏导算子 . 则
　　称此演化方程是 Lax意义下的可积系统，而式（1.1.2）称为其 Lax表示或 Lax方程，L与N或相关的线性问题称为其 Lax对. 若.与t无关，则称此演化方程是等谱的，否则称为非等谱的. 当L为 Schr.dinger算子
　　（1.1.3）
　　式中，.为关于 x的偏导算子 . 取，利用 可知 N为三阶反对称算子，这里N* 表示 N的共轭算子，并假设.与t无关，则此时的相容性条件（1.1.2）即为 Lax可积的 KdV方程
　　（1.1.4）
　　一般地，若与可改写成向量形式
　　（1.1.5）
　　式中，是n维列向量；M与N是依赖于位势和谱参数.的n1阶2矩阵 . 则式（1.1.5）的相容性条件 要求M与N必须满足零曲率方程通常情况下，由这样的零曲率方程生成的演化方程也是 Lax可积的[3]. 孤子方程及其超对称伙伴在物理和数学上都是密切相关的. 从数学的角度来看，起源于理论物理的超对称可以通过扩张空间的办法得到 . 扩张后的空间包含 Grassmann 反交换变量，这便于将玻色子和费米子以统一的方式进行处理 . 对于 KdV方程（1.1.6）
　　其超对称扩展是指一个含有玻色场和费米场且在超对称变换下保持不变性的耦合系统 . 与此同时，在费米场消失的极限情况下，这个耦合系统退化为原方程（1.1.6）.需要为了构造 KdV方程（1.1.6）的一个超对称扩展，经典时空扩张为超时空要由超场 .，通常的场来替代，这里 .是一个 Grassmann反交换变量. 利用反交换变量性，对进行泰勒展开的分量场，这里的玻色场式中，与为是可交换的，而费米场通过直接扩张xt 是反交换的.
　　（1.1.8）
　　可得到 KdV方程（1.1.6）向超场的一个超对称扩展
　　（1.1.9）
　　式中，a为常数；D是超导数，且有这是因为，当费米场 .消失时，方程（1.1.9）退化为方程（1 1.6）；与此同时，方程（1.1.9）在超对称变换. 作用下保持不变性，这里 .是无穷小反交换量
　　当时，方程（1.1.9）是可积的 [4]，其分量形式
　　（1.1.10）
　　利用分量场与来描述超场的超对称变换 .，其不变性 [5]等价于事实上，一方面将展开并利用式（1.1.7）整理得
　　（1.1.12）另一方面，利用式（1.1.7）可将表示为
　　（1.1.13）
　　再比较式（1.1.12）和式（1.1.13）中右端 .同次幂的系数即得式（1.1.11）. 然而，KdV方程（1.1.6）的如下形式扩展
　　（1.1.14）
　　尽管与式（1.1.9）只有系数上的差别，但却不满足超对称变换 .的不变性，人们将式（1.1.14）称为超 KdV（super KdV）方程. 因此，超方程与超对称方程有区别. 利用超对称的英文形式 supersymmetry，可将超对称KdV缩写为SUSYKdV.对于超 KdV方程
　　（1.1.15）
　　其 Lax可积性已由 Kulish等[6]验证.
　　1.1.2 Liouville完全可积系统的判定与 Hamilton结构
　　在现代可积理论当中，考察方程的 Liouville完全可积性是另一个基本的出发点. 假设一个给定的非线性演化方程可以表示成广义的 Hamilton方程
　　（1.1.16）
　　式中，J是逆辛算子，则把泛函Hu称为此方程的 Hamilton函数. （1.1.16）
　　()若方程存在无穷多个独立的守恒量 1， F3，.) ，而且这些守恒量是相互对合的，即泊松括号，则称这个演化方程在 Liouville意义下完全可积 [3].
　　例如，存在无穷多守恒量的 KdV方程（1.1.1）是 Liouville完全可积的无穷维 Hamilton系统，这里我们只需取
　　（1.1.17）
　　有限维的 Hamilton可积系统是 Liouville完全可积性一般理论框架的核心 . 辛流形是 Hamilton系统的理论框架，更广的是 Poisson流形，但它经过叶化后仍为辛流形[7]. 对于给定的 2n维 Hamilton系统 ，其中是装备了一个非退化的闭微分 2-形式（辛结构）的偶数维辛流形是其上一实值 Hamilton函数. Liouville可积性要求 Hamilton系统存在n个独立且相互对合的守恒积分. 由于每一个守恒积分 可以降低一个自由度，也就是两维，因此若知道 n个守恒积分，我们就可以判定出此 Hamilton系统是完全可积的，具体地说即为 Liouville-Arnold理论[8].
　　由独立性可知，这n个相互对合的守恒积分所构成的水平集
　　（1.1.18）
　　是每一个 Hamilton相流giti（特别是1流）的n维不变子流形[7]. 若还满足紧致与连通的条件，则它微分同胚于如下的n维实环面
　　（1.1.19）
　　进而可找到辛坐标上的角坐标. Hamilton.，使守恒积分 F只含I，而.是 系统在Mc邻域中的作用-角变量正则坐标系下能化为可积分的形式
　　（1.1.20）
　　解之易得. *后再对相空间进行坐标反演，即得到所考虑问题的显示形式解[7].
　　有限维 Hamilton系统的 Liouville完全可积理论可形象地概括为 [7]“流的拉直、求积与反演”，其中“拉直”是核心 . 在 19世纪相当长的一个时期内，人们所能证明出具有 Liouville可积性的有限维 Hamilton系统相当少 . 研究无穷维 Hamilton系统的 Liouville可积性直到 20世纪中后期才得到蓬勃的发展，但与有限维情形大不相同的是，只凭借无穷维 Liouville可积系统的无穷多个独立且相互对合的守恒量并不能构造出它的显示解. 这给建立无穷维 Hamilton系统的 Liouville完全可积性理论造成很大的困难 . 1988年，Cao提出的 Lax对非线性化方法[9]为求解无穷维可积系统提供了一种有效的途径 . 根据此方法， Schr.dinger方程可以被非线性化为一个Liouville完全可积的有限维Hamilton系统——Bargmann系统，而 KdV方程的特解恰好可分解为此 Bargmann系统中两个方程的解. 得益于 Cao、Cheng、Li、曾云波、 Geng、Ma、Zhou、Qiao等的工作 [10-16]，后来这个方法得到进一步发展.
　　1.1.3 Painlevé可积系统的判定与共振公式
　　通常把具有 Painlevé性质的偏微分方程称为是 Painlevé可积的. 具体地说，设是给定非线性偏微分方程的一个解，且假设
　　（1.1.21）
　　式中，是一个非负整数；是在可流动奇异流形的某个领域内的解析函数[17，18]. 将式（1.1.21）代入给定偏微分方程，平衡.的幂次确定.值，并得如下递推关系式——共振公式
　　（1.1.22）
　　式中，和.及其各阶导数的函数. 显然，当 j取共振点外的数值时，总是可以从中确定出 uj . 而对于 j取每个正整数的共振点时，可从式（1.1.22）得到一个相容性条件 . 如果对于所有的uj，式（1.1.22）是自相容的，那么称这样的偏微分方程具有 Painlevé性质. 对于 KdV方程（1.1.4），通过平衡 uux 与uxxx 中.的*高负次幂，得关系式 .2. 1 3 ，即 2，从而通过收集 的系数得.，即
　　由此收集 4 的系数得，从中解得从而收集的系数得
　　（1.1.23）
　　由此可以解出u2. 收集的系数并利用式（1.1.23）得
　　（1.1.24）
　　进一步可以解出u3. 收集的系数得
　　（1.1.25）
　　从中无法确定出u4. 这是因为有共振公式
　　（1.1.26）
　　令，收集的系数确定 . 令，依此类推确定，但表
　　达式越来越复杂 . 为简便起见，取 ，从中可知当式（1.1.26）成立时，除了u2要满足KdV方程（13.1.4）5外，必8须满足下列条件：
　　（1.1.27）
　　显然上述的.和u2是存在的，故 KdV方程（1.1.4）是 Painlevé可积的. 在这样的情况下，式（1.1.21）被截断成
　　（1.1.28）
　　从中可知，只要给出.和u2的一组解，就能得到 KdV方程（1.1.4）的解.
　　2015年， Zhang等[19]给出了带强迫项扩展 KdV方程的 Painlevé可积性条件， Zhang等[20]验证了 4+1维 Fokas方程的 Painlevé可积性质.
　　1.2非线性可积系统的构造性解法
　　非线性偏微分方程常用来描述物理、化学以及生物等学科中出现的许多非线性现象和动力过程 . 线性系统往往只能对复杂客观世界进行近似的线性抽象与描述，与之相比非线性模型可以更准确地接近现象的本质 . 非线性科学领域颇具特色的成就之一是创造了求非线性演化方程精确解尤其是孤波解的各种精巧方法 . 但目前尚无统一的求解方法，往往根据实际需要选择适当的方法.
　　1.2.1 B.cklund变换
　　一些常见的非线性演化方程除了可利用 Lax方程或零曲率方程得到外，还可从其他方程推出. 比如 KdV方程和 KP（Kadomtsev-Petviashvili）方程也可以从流体力学中的 Euler方程推出，光纤中的非线性薛定谔（nonlinear Schr.dinger，NLS）方程也能通过电磁场的 Maxwell方程推出. 利用负常曲率曲面的 Gauss-Mainardi-Codazzi方程推出正弦戈登（sine-Gordon，SG

目录
前言
第1章 可积性与求解法 1
1.1 何谓可积 1
1.1.1 Lax可积系统的构造性生成与超对称扩展 1
1.1.2 Liouville完全可积系统的判定与Hamilton结构 3
1.1.3 Painlevé可积系统的判定与共振公式 5
1.2 非线性可积系统的构造性解法 6
1.2.1 B.cklund变换 6
1.2.2 Darboux变换 7
1.2.3 反散射变换 8
1.2.4 双线性方法 11
1.2.5 其他构造性解法 13
第2章 C-D对与辅助方程法 15
2.1 C-D对简述 15
2.2 C-D对在方程转化中的应用 15
2.3 辅助方程法的C-D对 20
2.3.1 辅助方程法C-D对的一般格式 21
2.3.2 辅助方程法C-D对的展开次数与平衡原则 22
2.3.3 辅助方程法C-D对的举例 23
第3章 扩展KdV方程和Fokas方程的Painlevé检验 26
3.1 孤子与KdV方程 26
3.2 孤子解的存在性与系统可积性之间的联系 29
3.3 非线性可积系统的稳定性与怪波解 30
3.4 扩展KdV方程的Painlevé检验与孤子解 31
3.4.1 Painlevé可积性条件 31
3.4.2 孤子解 32
3.5 Fokas方程的Painlevé检验、双线性化与多孤子解 33
3.5.1 Painlevé可积性判定 34
3.5.2 孤子解 36
3.5.3 双线性化 38
3.5.4 多孤子解 38
第4章 双线性方法与DT的新应用 43
4.1 WBK方程的双线性方法与多孤子解 43
4.1.1 方程转化与双线性化 43
4.1.2 简化的双线性形式与多孤子解 45
4.1.3 具有一般性的双线性形式与多孤子解 47
4.2 广义BK方程的DT与多孤子退化 50
4.2.1 N-重DT 51
4.2.2 2N-孤子解 56
4.2.3 2N-孤子解的奇偶孤子退化 58
4.3 半离散方程的DT与无穷多守恒律 61
4.3.1 DT 62
4.3.2 精确解 66
4.3.3 无穷多守恒律 66
第5章 数学机械化的应用与HBM的修正 69
5.1 数学机械化简述 69
5.1.1 什么是数学机械化 69
5.1.2 数学机械化的基本任务与发展历程 69
5.1.3 数学机械化与计算机代数 71
5.2 数学机械化在非线性微分系统求解中的应用 71
5.2.1 求解软件包与完全自动化 72
5.2.2 机械化求解中的“AC=BD”理论与吴特征列方法 72
5.3 修正HBM构造变系数Gardner方程的多孤子解 73
5.3.1 HBM简述 73
5.3.2 变系数Gardner方程的多孤子解 76
5.3.3 修正HBM构造多波解的步骤 82
第6章 基于多重有理拟形的多波解与怪波解 84
6.1 指数函数法与有理指数函数解 84
6.1.1 指数函数法简述 84
6.1.2 有理指数函数解的H-秩判定法 85
6.2 多重有理指数函数拟解构造多波解 87
6.2.1 多重有理指数函数拟解 87
6.2.2 2+1维BK方程的N-波解 88
6.3 半离散多重有理指数函数拟解构造多波解 94
6.3.1 半离散多重有理指数函数拟解 94
6.3.2 Toda链方程的多波解 94
6.4 复多重有理指数函数拟解构造孤波解、多波解和怪波解 98
6.4.1 复多重有理指数函数拟解 99
6.4.2 变系数NLS方程的孤波解 100
6.4.3 变系数NLS方程的多波解 102
6.4.4 变系数NLS方程的怪波解 104
第7章 负幂展开法及其推广应用 106
7.1 负幂展开法 106
7.1.1 负幂展开法的主要步骤 106
7.1.2 拟解负幂展开的平衡公式 107
7.1.3 算例 108
7.2 构造行波解 109
7.2.1 Mikhauilov-Novikov-Wang方程的行波解 109
7.2.2 2+1维色散长波方程的行波解 110
7.2.3 Maccari方程的行波解 112
7.2.4 Tzitzeica-Dodd-Bullough方程的行波解 113
7.3 构造非行波解 114
7.3.1 3+1维Jimbo-Miwa方程的非行波解 114
7.3.2 变系数Sawada-Kotera方程的非行波解 116
7.4 构造半离散解 116
7.4.1 半离散负幂展开拟解 117
7.4.2 晶格方程的半离散解 117
7.4.3 Toda晶格方程的半离散解 118
第8章 辅助方程法的改进与随机波解的构造 119
8.1 改进的F-展开法与KD方程的精确解 119
8.1.1 辅助椭圆方程及其特解 119
8.1.2 改进的F-展开法的步骤 120
8.1.3 2+1维KD方程的精确解 121
8.2 改进的Fan辅助方程法与KP方程的精确解 124
8.2.1 Fan辅助方程及其特例 124
8.2.2 改进的Fan辅助方程法的拟解与步骤 125
8.2.3 3+1维KP方程的精确解 126
8.3 改进的离散扩展tanh方法与Toda晶格方程的精确解 128
8.3.1 构造非线性半离散方程拟解的一般性原则 128
8.3.2 改进的离散扩展tanh方法 130
8.3.3 含任意函数 2+1维Toda晶格方程的精确解 131
8.4 Wick型随机方程的对称、相似约化与辅助方程法 133
8.4.1 知识准备 133
8.4.2 Wick型随机方程的相容性方法 136
8.4.3 Wick型随机KdV方程的对称、相似约化 137
8.4.4 约化方程的F-展开法与随机波解 138
第9章 KdV系统的推广及其BT与IST 142
9.1 变系数超KdV方程的Lax表示及其IST 142
9.1.1 Lax表示 142
9.1.2 正散射分析 143
9.1.3 联系Riemann-Hilbert问题的反散射分析 146
9.1.4 多孤子解 147
9.2 广义等谱KdV方程族的推导与双线性BT 148
9.2.1 Lax格式生成 148
9.2.2 双线性BT 150
9.2.3 多孤子解 151
9.3 含自相容源混合谱KdV方程族的推导与IST 153
9.3.1 Lax格式生成 153
9.3.2 正散射问题与反散射问题 157
9.3.3 无反散射势与N-孤子解 164
第10章 AKNS系统和KN系统的一些推广 167
10.1 广义等谱AKNS方程族的推导及其IST 167
10.1.1 Lax格式生成 167
10.1.2 双线性形式 169
10.1.3 多波解 170
10.2 广义非等谱AKNS方程族的推导及其IST 172
10.2.1 Lax格式生成 173
10.2.2 散射数据随时间的发展规律 174
10.2.3 N-波解 177
10.3 变系数等谱KN方程族的推导与Liouville可积性 179
10.3.1 Tu格式生成 180
10.3.2 Hamilton结构与Liouville可积性 182
第11章 Toda晶格推广系统的生成与求解 184
11.1 含任意函数 2+1维Toda晶格方程的推导及其求解 184
11.1.1 方程推导 184
11.1.2 指数函数法与楔形波 185
11.1.3 双线性方法与多扭结孤子 186
11.2 广义等谱Toda晶格方程族的推导及其IST 188
11.2.1 Lax格式生成 189
11.2.2 散射数据随时间的发展规律 191
11.2.3 N-孤子解 194
11.2.4 孤子动力演化 196
11.3 变系数非等谱Toda晶格方程族的推导及其IST 197
11.3.1 Lax格式生成 198
11.3.2 散射数据随时间的发展规律 199
11.3.3 N-孤子解 203
参考文献 204