本书系统阐述了波动方程参数反演的理论方法与数值计算方法，内容包括奇异值分解方法、不适定问题的正则化方法、全波形反演的数值优化方法、时间域与频率域声波方程和弹性波动方程的全波形反演。全书理论方法与科学计算并重，不但有严谨的理论推导和算法描述，还有详细的数值算例应用及丰富的图形结果。 本书可供计算数学与信息科学专业、应用数学专业、地球物理专业等从事与反问题研究方向有关的科研人员参考。

第1章反问题的不适定性
　　反问题广泛存在于各个领域中，在不同学科中会出现不同的反问题.例如，医学CT、逆散射成像、图像处理和地球物理反演，参见[162，164–166]等等.在地球物理中，通过地震波的测量来确定地震震源的位置，或来确定地下介质的物性参数，这是典型的反问题.实际应用问题的需求不断促进了反问题理论方法的研究.
　　本章介绍一些常见的典型反问题，并说明反问题的不适定性.
　　1.1典型反问题举例
　　反问题是相对正问题而言的，下面列举一些典型的例子加以说明.例1(重力勘探问题)该问题是由地表的观测的重力异常结果来确定地下地质异常的位置、形状和物性参数.如图1.1所示，在x点处，从垂直分量的测量中确定深度h处的异常区域的质量密度的变化重力变化由Newton万有引力定律给出，设G是万有引力常数，则重力的垂直分量为
　　(1.1.1)
　　这得到下面关于的积分方程
　　(1.1.2)
　　正问题是已知密度分布计算重要异常，反问题就是已知重力异常通过求解积分方程(1.1.2)确定密度.
　　图1.1重力异常观测示意图
　　例2(逆散射问题)给定由目标散射的声波或电磁波的强度和相位，求散射体的形状.给定具有光滑边界.的有界区域，以平面波入射，其中k>0表示波数，表示入射波方向的单位矢量.正问题是已知散射体和入射场，求散射场，使得总场满足
　　(1.1.3)
　　(1.1.4)
　　对声波散射问题，t描述压力，是波数，声速为c.正问题(1.1.3)(1.1.4)的渐近解为
　　(1.1.5)
　　反问题是在RN中的单位球上，由测量的远场确定D的形状.
　　例3(热传导反问题)考虑一维热传导方程
　　(1.1.6)
　　用分离变量法可求得该定解问题的解为
　　(1.1.7)
　　(1.1.8)
　　正问题是求解经典的初值问题:给定初始温度分布和终止时间T，确定.反问题是通过测量*终时刻的温度分布来确定至起始时刻的温度.
　　由(1.1.7)和(1.1.8)可知，可通过求解下面的积分方程来确定初始温度
　　(1.1.9)
　　(1.1.10)
　　例4(Sturn-Liouville特征值问题)设长度l和质量密度为的弦固定在端点x=0和x=l.拨动弦产生振动.令是位置x处时间t时刻的位移.该位移v(x，t)满足下面定解问题
　　(1.1.11)
　　周期形式的解为
　　(1.1.12)
　　其中ω>0是角频率.当且仅当w(x)和ω满足下面的Sturn-Liouville特征值问题时，
　　(1.1.13)
　　v(x，t)是边值问题(1.1.11)的解.正问题是已知函数，计算特征频率和相应的特征函数.反问题是从一系列频率测量中确定质量密度.
　　1.2反问题的不适定性
　　首先给出问题适定或良态的概念(Hadamard，1923).
　　定义1.2.1设X和Y是赋范空间，是(线性或非线性)映射.
　　方程Kx=y称为适定或良态，假如其解满足下列三个条件:
　　(1)
　　(2)
　　(3)
　　第一个条件等价于算子K有逆算子，第二个条件等价于的定义域是X.第三个条件是解稳定的必要但不是充分条件.如果(至少)不满足其中一个条件，则称问题是病态或不适定的.因此一个病态问题，或者逆是不存在的，因为数据y在K的值域之外;或者逆不唯一，因为至少一个参数模型x被映射到相同的数据;或测量数据中的一个任意小变化能引起原像中任意大的变化.
　　指定X，Y，K的模是重要的.存在性和唯一性仅依赖于空间和算子的代数结构，也即算子是否一对一，然而，稳定性还依赖于空间的拓扑，即逆算子的连续性.这些并不相互独立.例如，由开映射定理，假如K是线性连续算子且X和Y是Banach空间，则K.1是连续的.
　　数学上，解的存在性可以通过扩大解空间来实现，微分方程广义解的概念就是一例.如问题多于一个解，说明缺乏关于参数模型的先验信息.假如问题没有稳定性，则数值计算的解将被计算中不可避免的误差或数据噪声破坏.
　　1.3良态与病态问题举例
　　例1求解n阶线性代数方程组
　　(1.3.1)
　　若，则对每个向量，(1.3.1)存在唯一解，满足，其中A.1为A的逆，由此知该解连续依赖于初始数据.
　　若，则对每个，(1.3.1)或者无解，或者有无穷多个解，方程组(1.3.1)是病态的.
　　由线性代数的理论可知，方程组(1.3.1)是良态的充分必要条件是当u=0时仅有平凡解z=0.
　　例2考虑一个具有平方可积核的第一类Fredholm积分方程
　　(1.3.2)
　　这是一个典型的病态问题.
　　假如对解x作扰动
　　(1.3.3)
　　其中ε为常数，则相应(1.3.2)右边y(x)的扰动为
　　(1.3.4)
　　由Riemann-Lebesgue引理可知，当时.因此，只要选择整数p足够大，比值可以变得任意大.因为解不连续依赖于初始数据，所以该问题是病态的.该例子也说明具有平方可积核的第一类Fredholm积分方程对高频扰动极其敏感.很
多反问题都导致具有连续核或弱奇异核的第一类积分方程.
　　例3求Laplace方程Cauchy问题
　　(1.3.5)
　　其中f和g是给定的函数.显然，当
　　时，唯一的解为
　　因此，有
　　对所有y>0，数据中的误差趋于零，而解u中的误差趋于无穷.因此，Laplace方程的Cauchy问题是一个病态问题.
　　例4考虑积分方程
　　(1.3.6)
　　设，则已知y(t)可以计算x(t).反问题是已知x(t)，求y(t)，这是一个良态问题.事实上，对每个，(1.3.6)左端的积分是[0，T]上的一个连续函数，且该函数唯一被确定.可以验证稳定性也成立.假定是由计算出的函数，则易知
　　(1.3.7)
　　因此x(t)连续依赖于y(t)，该问题是良态的.
　　例5考虑积分方程
　　(1.3.8)
　　(1.3.9)
　　在空间Y和X中求(1.3.8)的解y(t)是一个病态问题.对每个，方程(1.3.8)的解不都存在.实际上，解对初始数据的连续依赖性不成立.考虑
　　(1.3.10)
　　则对应(1.3.8)的解为
　　(1.3.11)
　　因此
　　(1.3.12)
　　而
　　(1.3.13)
　　因此问题是病态的.该例说明，问题的良态和病态与具体问题和初始数据所在的度量空间都有关.
　　例6由Fourier系数确定函数.设序列fung2l2已知，确定函数z(x)使得
　　(1.3.14)
　　注意级数

目录
前言　
第1章　反问题的不适定性　1　
1.1　典型反问题举例　1　
1.2　反问题的不适定性　3　
1.3　良态与病态问题举例　4　
第2章　奇异值分解方法　9　
2.1　奇异值分解　9　
2.2　广义逆或Moore-Penrose逆　13　
2.3　数据拟合问题　15　
2.4　与Moore-Penrose逆的关系　17　
2.5　带噪声的数据拟合　19　
第3章　正则化方法　22　
3.1　正则化一般理论　22　
3.2　Tikhonov正则化　30　
3.3　Landweber迭代　34　
3.4　Morozov偏差准则　37　
3.5　L曲线　42　
3.6　全变差正则化　46　
3.7　非线性问题　52　
3.7.1　Tikhonov正则化　52　
3.7.2　Landweber迭代　56　
第4章　混合正则化方法　59　
4.1　Moore-Penrose逆（广义逆）　59　
4.2　连续正则化方法　62　
4.3　迭代正则化方法　67　
4.4　混合正则化方法　71　
4.4.1　混合算法和*优收敛阶　71　
4.4.2　带ME准则的混合正则化方法　73　
4.5　数值计算　75
4.5.1　精确数据　76　
4.5.2　噪声数据　78　
4.5.3　基于ME准则的正则化参数选择　80　
第5章　全波形反演的数值优化方法　82　
5.1　Newton法　82　
5.2　梯度法　83　
5.3　*速下降法　84　
5.3.1　预条件*速下降　84　
5.3.2　DFP方法　85　
5.3.3　共轭梯度法　85　
5.3.4　预条件共轭梯度法　87　
5.4　极小化二次型　87　
5.5　广义*小二乘法　90　
5.6　Backus-Gilbert方法　91　
5.7　非线性病态问题　92　
5.7.1　Levenberg-Marquardt方法　93　
5.7.2　罚*小二乘法　95　
5.7.3　约束*小二乘法　96　
5.8　非精确线搜索　97　
5.8.1　Armijo、Goldstein、Wolfe方法　98　
5.8.2　多项式拟合　100　
5.8.3　迭代方向　101　
5.9　信赖域方法　104　
5.9.1　Dogleg方法　106　
5.9.2　二维子空间方法　106　
第6章　时间域声波方程全波形反演　108　
6.1　引言　108　
6.2　正演方法　109　
6.2.1　有限差分格式　109　
6.2.2　吸收边界条件　111　
6.3　全波形反演　113　
6.3.1　反演方法　113　
6.3.2　Gauss-Newton法　116　
6.3.3　共轭梯度法推导　117　
6.4　多重网格策略　120
6.5　数值计算　122　
6.5.1　单层网格　122　
6.5.2　两重网格　127　
6.5.3　实际资料反演　131　
第7章　频率域声波方程全波形反演　133　
7.1　引言　133　
7.2　正演方法　134　
7.2.1　有限差分格式　134　
7.2.2　完全匹配层吸收边界　138　
7.2.3　正演数值计算　138　
7.3　反演方法　141　
7.3.1　反演算法　141　
7.3.2　Gauss-Newton法和预条件子　143　
7.3.3　正则化方法　144　
7.4　反演数值计算　145　
7.4.1　简单模型反演　145　
7.4.2　Marmousi模型　150　
7.4.3　Overthrust模型　158　
第8章　小波时间域声波方程双参数全波形反演　162　
8.1　引言　162　
8.2　正交小波基　162　
8.3　正演方法　164　
8.3.1　基于小波的正演格式　165　
8.3.2　小波系数的计算　168　
8.3.3　稳定性分析　170　
8.4　双参数反演方法　172　
8.4.1　梯度公式　173　
8.4.2　梯度离散格式　178　
8.4.3　矩阵元素*和*的推导　184　
8.5　数值计算　186　
8.5.1　正演计算　186　
8.5.2　反演计算　187
第9章　基于Born近似的频率域弹性波全波形反演　192　
9.1　有限差分法正演模拟　192　
9.1.1　离散格式　192　
9.1.2　均匀正方形模型　196　
9.1.3　Overthrust模型　198　
9.1.4　Marmousi模型　201　
9.2　基于Born近似的全波形反演　204　
9.3　反演数值计算　208　
9.3.1　正方形模型　208　
9.3.2　Overthrust模型　212　
9.3.3　Marmousi模型　219　
第10章　矩形元频率域弹性波全波形反演　225　
10.1　引言　225　
10.2　有限元正演方法　226　
10.2.1　矩形单元的有限元离散　227　
10.2.2　吸收边界条件　227　
10.2.3　有限元震源处理　229　
10.2.4　正演数值计算　230　
10.3　全波形反演　233　
10.3.1　反演方法　233　
10.3.2　预条件*速下降法　236　
10.3.3　正则化方法　237　
10.4　反演数值计算　239　
10.4.1　方块模型　239　
10.4.2　Overthrust模型　242　
第11章　三角形元频率域弹性波全波形反演　247　
11.1　三角形元的有限元离散　247　
11.2　正演数值计算　252　
11.2.1　模型一　252　
11.2.2　模型二　253　
11.2.3　模型三　254　
11.3　基于三角形元的全波形反演　255　
11.4　反演数值计算　256　
11.4.1　算例一　256　
11.4.2　算例二　259
11.4.3　算例三　262　
第12章　时间域弹性波全波形反演　265　
12.1　弹性动力学正问题解的格林函数表示　265　
12.2　Fréchet导数　268　
12.3　伴随法求解梯度　271　
12.4　梯度离散格式　277　
12.5　Marmousi模型反演　279　
12.6　波阻抗或波速反演　289　
12.6.1　反演方法　289　
12.6.2　实例应用　291　
参考文献　293　
索引　303　
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