最优传输理论是一门古老而又年轻、直观而又深刻、连续而又离散、基础而又应用的学科，将概率统计、微分几何、流体力学和非线性偏微分方程融为一体，和谐优美，深邃有力。Monge在250年前提出了最优传输问题，Kantorovich给出部分解答从而获得1972年度的诺贝尔经济学奖。丘成桐先生从微分几何角度为这一理论做出杰出贡献了，而Villani、Figalli等数学家因为在这一领域的研究获得菲尔兹奖。 近来人工智能再度兴起，大数据、深度学习技术在工程、医疗等领域取得了巨大成功，最优传输理论作为人工智能技术的理论基础之一进入中心舞台，广泛应用于深度学习、计算机视觉、计算机图形学、计算机辅助几何设计、数字几何处理、计算机网络、计算力学以及医学影像等领域中。 本书以高等数学的基本概念为基础，以现代理论为目的，有机组织庞大丰富的知识体系，贯穿诸多数学分支，横跨数学和计算机科学，同时满足数学家和工程师的迫切需求。本书可供高等院校数学、计算机等各相关专业的广大师生参考，亦可供人工智能、计算机视觉、医学影像、互联网开发、动漫动画、建筑设计等领域的工程师和专业人士参考。

第一部分 最优传输的对偶理论
第一章 Monge-Kantorovich理论
1.1 凸函数的Alexandrov理论
1.1.1 次微分
1.1.2 Legendre-Fenchel变换
1.1.3 Alexandrov定理
1.2 Monge问题与Kantorovich问题
1.2.1 空间、弱收敛和连续性
1.2.2 M(x)和Q(x)间的对偶
1.2.3 紧空间上连续代价函数的Kantorovich问题
1.2.4 紧空间下半连续代价函数的Kantorovich问题
1.2.5 Polish空间下半连续代价函数Kantorovich问题的解
第二章 对偶理论
2.1 对偶问题
2.1.1 广义Lagrange乘子法
2.1.2 连续函数空间的紧致性
2.1.3 c-变换
2.2 Kantorovich问题和对偶问题的等价性
2.2.1 循环单调性
2.2.2 连续代价函数(KP)与(DP)的等价性
2.2.3 下半连续代价函数(KP)与(DP)的等价眭
第三章 Brenier理论
3.1 Brenier问题
3.1.1 严格凸的代价函数
3.1.2 欧氏距离平方代价函数
3.1.3 最优性条件
3.1.4 稳定性条件
3.2 Brenier极分解
3.2.1 实矩阵的极分解
3.2.2 向量场的Hodge.Helmholtz分解
3.2.3 Brenier极分解
第二部分 凸几何理论
第四章 Minkowski-Alexandrov凸几何理论
4.1 Brunn-Minkowski不等式
4.2 等周不等式
4.3 Alexandrov映射引理
4.4 Minkowski问题Ⅰ
4.5 Minkowski问题Ⅱ
4.6 Alexandrov定理
第五章 半离散最优传输的变分原理
5.1 变分法原则
5.2 Legendre-Fenchel对偶
5.3 Alexandrov定理证明的推广
5.4 Pogorelov定理的证明
第三部分 球面最优传输
第六章 球面power图理论
6.1 曲面微分几何基本概念
6.2 球面微分几何
6.3 球面power图
第七章 Minkowski Ⅰ问题
7.1 球面的Legendre对偶
7.2 求解Minkowski Ⅰ问题
第八章 反射镜曲面设计
8.1 反射镜设计问题
8.2 具有均匀反射性质的表面
8.3 广义解和广义Legendre变换
8.4 存在性和唯一性定理
8.5 最优传输的观点
8.6 反射曲面设计的计算方法
第九章 折射透镜设计
9.1 折射透镜设计问题
9.2 具有均匀折射特性的区面
9.3 广义解和广义Legendre变换
9.4 存在唯一性定理
9.5 折射透镜设计的算法
第四部分 流体力学方法
第十章 流体动力学
10.1 Euler观点和Lagrange观点
10.2 时变速度场的流
10.3 不可压缩流体的Euler方程
10.4 可压缩流体的连续性方程
10.5 Arnold几何化理论
第十一章 依赖时间的最优传输理论
11.1 依赖时间的最优传输
11.2 McCann插值
11.3 平移凸性
11.4 最优性方程
第十二章 Benamou-Brenier理论
12.1 Benamou-Brenier定理
12.2 Otto的理论解释
12.3 最大熵原理
12.4 Benamou-Brenier泛函和公式
12.5 Benamou-Brenier算法
12.6 Angenent-Haker-Tannenbaum算法
第五部分 Monge-Ampere方程
第十三章 Monge-Ampere方程
13.1 Monge-Ampere方程的退化性
13.2 Alexandrov解
13.3 Dirichlet问题
13.4 Alexandrov二分法和C1正则性
第十四章 Monge-Ampere方程解的估计
14.1 最大椭球引理
14.2 归一化解的Alexandrov估计
14.3 解的严格凸性
14.4 解的C1,α估计
14.5 最优传输映射正则性
第十五章 最优传输映射的奇异集合理论
15.1 Frechet距离与自由空间
15.2 最优传输映射的奇异点
15.3 奇异点存在的曲率条件
15.4 power中轴
15.5 次级多面体理论
15.6 奇异点同伦
第六部分 计算方法
第十六章 基于Delaunay三角剖分的网格生成
16.1 三角剖分
16.2 增量凸包算法
16.3 Delaunay三角剖分和Voronoi图
16.4 Delaunay细化算法
第十七章 Monge-Ampere方程的数值方法
17.1 Monge-Ampere方程的数值方法
17.1.1 显式解法
17.1.2 半隐式解法
17.1.3 线性化Monge-Ampere算子
17.2 Oliker-Prussner方法
17.2.1 离散化
17.2.2 分段线性凸函数的Legendre观变换
17.2.3 迭代算法
第十八章 半离散最优传输算法
18.1 半离散最优传输
18.1.1 胞腔测度的导数
18.1.2 泛函导数
18.2 Alexandrov问题
18.3 最差传输映射
第七部分 人工智能方面的应用
第十九章 最优传输在人工智能上的应用
19.1 流形分布定则
19.2 流形嵌入定理
19.3 万有逼近定理
19.4 生成模型
19.5 模式坍塌和模式混淆
19.6 几何生成模型
参考文献
名词索引