本书以求解水下声传播问题为主要目标，系统介绍谱方法这一数值离散技术的应用。本书以水声传播物理学问题和数值方法为主线，共8章内容。第1、2章分别介绍水声学背景和必备的数学基础。第3章概要介绍了谱方法的原理、分类与具体求解方法。第4、5章分别详细讨论了使用谱方法求解稳态型方程和发展型方程的流程与步骤。第6、7章聚焦水声学应用问题，分别讨论了如何使用谱方法求解简正波模型和抛物方程模型的实际问题。第8章为扩展性主题，为读者未来深入从事本领域研究提供进一步指引。 本书内容融入了作者教学科研过程中的一系列思考与案例，并附有大量代码示例，可供从事科学与工程计算领域的科研与工程技术人员，以及海洋科学、水声工程、计算数学、计算机科学与应用等专业方向的研究生和高年级本科生阅读使用。可作为本领域的入门读物，同时可有效指导编程实践，具有较高的参考价值。

第1章 绪论
　　海洋是生命的摇篮，地球表面的71%被海洋所覆盖。我国是名副其实的海洋大国，党的十八大已经把建设海洋强国上升为国家战略。党的十九大报告明确提出要“坚持陆海统筹，加快建设海洋强国”，这为新时代建设海洋强国吹响了冲锋号。人类发展历史启示我们：面向海洋则兴、放弃海洋则衰，国强则海权强、国弱则海权弱。水声学作为认识海洋、研究海洋、开发海洋的重要领域，在国家经济发展和国家安全体系中具有独*的作用，逐渐受到业界与学者的广泛青睐。
　　1.1 水声学定义
　　水声学是声学的一个分支。在中国学科分类国家标准中，它的分类层次为：物理学–声学–水声学。作为一门科学，水声学是以声学理论为基础，综合信息处理、电子技术、计算机科学、海洋学、材料科学等诸多领域和学科而形成的一门高科技边缘学科。
　　一般认为，水声学是指主要研究水下声波的产生、辐射、传播与接收理论，并用以解决与水下目标探测、识别以及信息传输有关的各种问题的一门声学分支学科[1]。中国科学院汪德昭院士曾指出，水声学的学科体系主要包括以下三个方面：声学在海洋(非均匀媒介)中的传播理论；水声信号作为一种复杂时变信号的检测处理理论及其硬件设备；水下声学发射接收换能器及其布阵理论与工艺和各种声学材料的研究[2]。
　　当前，水声学的发展十分迅速，且应用前景异常广阔。海洋领域的大量实践问题对水声学产生了强有力的需求牵引，推动着水声学更新、更快地跨越式发展。现代水声学的研究领域非常广泛，主要包括：新型水声换能器；水中非线性声学；水声场的时空结构(如信号场的相关、简正波场的分离和应用、数值声场预报和信道匹配等)；水声信号处理技术(如*佳时空处理、水声信号的参量估计等)；海洋中的噪声和混响、散射和起伏，目标反射和舰船辐射噪声；海洋媒质的声学特性(如沉积层和海底、海面、内波及湍流的声学特性)等。
　　1.2 水声学发展简史
　　1.2.1 理论研究
　　从伽利略(Galileo Galilei)、牛顿(Isaac Newton)到瑞利(Rayleigh)，这些著名的物理学家和数学家对气体、液体与固体声学理论做出了重大贡献。在某种意义上，声学史就像是物理学和数学的名人堂。那时的争论波及许多科学巨人，他们在理智上毫不谦让。例如，欧拉(Leonhard Euler)和拉格朗日(Joseph Lagrange)关于声音传播的思想就受到达朗贝尔(d’Alembert)强有力的攻击。达朗贝尔不完全是一个业余声学家，他*先写出了描述弦振动运动的偏微分方程，这个方程如今称为波动方程。在没有当代计算机及相关数值解法的情况下，他提出了求解这类方程的分离变量法。
　　声学早在古希腊时代就是以波动和振动的概念发展的。例如，乐音是振动的乐器引起空气运动的结果。这种声音以类似于水面波的形式传播，水面波只是把扰动(信号)而不是把物质传到远处。这样在同水面波的类比中，就容易采用绕射效应来理解声波在转弯处发生的弯曲。因此，在声学理论研究中，射线概念是作为对波动理论的一种数学近似而得出来的。在水声学中(介质是非均匀的并被复杂界面所限制)，历史已经证明射线理论是了解和研究声波传播的一种不可缺少的工具。但是随着计算机的出现和计算物理学的*新发展，现在已能用更精确的波动理论对声波在海洋中的传播进行更仔细的研究和定量描述。这一发展趋势对于研究从复杂的干扰场中提取信号显得特别重要，因为在这种研究中必须定量地获得全部水声场的幅度、相位、高阶矩等信息。
1919年，一位德国学者发表了第一篇关于水声的论文。自此之后，水声学的理论研究日益受到重视，第二次世界大战的爆发更是促进了水声学的发展[3]。在此基础上，人们逐渐认识了声波在海水中的传播机理，逐步建立起水声学研究的理论体系，使其成为人们认识和了解海洋进而开发和利用海洋的又一有效途径。较为完整的水声传播理论研究始于20世纪60年代[4]，早期的基础理论主要聚焦在射线理论和水平分层的简正波理论。这两类基础理论处理实际问题的能力非常有限，只能求解海洋环境在水平距离上不变的相关问题。为了能够反映出海洋环境等因素对水下声场的影响关系，众多学者从实际工程问题中抓住主要矛盾，加上合适的假设和近似，在建模理论和相应的计算方法方面取得了重大进展，逐步形成了射线模型、简正波模型、抛物方程模型以及一些混合模型。上述模型都有各自的优缺点和适用范围(表1.1)，实际使用过程中需要根据工作频率、海洋环境等因素的不同而选择不同的方法，从而使得求解出的水声场*大限度地符合实际情况。
　　表1.1 典型水声传播模型的适用范围
　　针对随海洋环境水平变化或无水平变化情况下的超远程传播等正向问题，上述水声传播模型在数值计算上是有效的。但是，在处理具有复杂结构的非均匀流体弹性环境中的双向波动方问题中，上述水声传播模型无法给出合理的数值解。于是，部分学者提出对控制方程(如 Hemholtz 方程)直接离散化，从而处理海洋水声传播和散射等问题，典型的数值方法包括有限差分法、有限元法等。
　　1.2.2 实验研究
　　海洋水声传播与声掩蔽现象*早由意大利学者达 芬奇(Leonardo da Vinci)所发现。他指出声波在海洋水体中可以远距离传播，并存在声波干涉现象(自噪声)。1490年，达 芬奇在摘记中描述过如下情形：“如果你停下船，把一根长管的一端放入水中，把露出水面的一端放在耳朵边，将听到离你很远的船的声音。”这是人类利用水声探测水下目标的*早记载，达 芬奇提及的听音管被认为是现代被动声呐的雏形。
　　1827年，瑞士物理学家科拉顿(Jean-Daniel Colladon)和法国数学家斯图姆(Charles-Francois Sturm)合作在阿尔卑斯湖群中的日内瓦湖开展了水中声速的测量实验(图1.1)，利用一个喇叭状装置接收到了15 km远处潜水钟发出的响声，并通过传播时间的测量获得了声速值1435 m/s，这与现代测量值十分接近。科拉顿大为惊讶：“声源如此小的能量竟能在水介质中传播这么远，还能被一个喇叭接收器检测到。”
　　1912年4月14日，在加拿大纽芬兰岛南部的海面上，航行着一艘四万多吨的英国新邮轮“泰坦尼克号”。23点40分，两名前樯桅楼上的瞭望员突然发现一座巨大的冰山出现在离船不远的正前方，“泰坦尼克号”值班长随即命令左满舵、倒车，但是已经来不及了。冰山的尖棱角在“泰坦尼克号”水线以下的船壳上撕裂开一个大口子，船身迅速下沉。这是当时世界上*大的一起海难事件，引起了全球的震动，促使一些科学家研究对冰山的回声定位。随后，英国人理查森(Lewis Richardson)提出了基于空气声原理的水声回声定位方案，这被认为是现代主动声呐的雏形。
　　图1.1 日内瓦湖声速测量实验
　　1913年，第一个有实用意义的回声测距仪由美国波士顿水下信号公司的费森登(Reginald Fessende)研发成功并在美国申请了专利(图1.2)。这是一个能发出低频声音信号，然后切换到测听状态接收回声信号的电子振荡器，在水中既能定向发射声波又能接收声波。不久，该装置探测到了2海里以外的冰山，但仍无法精准确定冰山所处的方位。费森登发明的电子振荡器原本是为水下声通信研制的，其接上电键后即可按照莫尔斯电报码发讯和收讯。据称，该装置被安装在第一次世界大战时期的美国潜艇上，使潜艇能够在水下互相发讯联系。
　　图1.2 费森登的振荡器海上实验
　　法国物理学家朗之万(Paul Langevin)和俄国电气工程师希洛夫斯基(Constantin Chilowski)合作，利用静电型发射器和一个放在凹曲面焦点处的碳粒微音器进行了多次实验，终于在1916年接收到了海底回波信号。1918年，朗之万研制成的压电式换能器产生了超声波，并应用当时刚出现的真空管放大技术进行水中远程目标的探测，第一次收到了潜艇的回波，开创了近代水声学，也由此发明了声呐。不过这种声呐尚未在战争中发挥作用，第一次世界大战就结束了。
　　正如爱迪生所说，需求是创新之母。在第二次世界大战中，海上反潜作战的现实需要促使水声学和声呐技术迅速发展，并取得了众多成果。战前，一些国家的舰艇已经装备了用电子管放大器制作的声呐。第二次世界大战期间，各国都投入了较大的力量进行水声学研究并发展声呐技术，促使声呐在探测目标时从机械旋转的步距式发展到电子扫描式。同时，还研制出了声制导鱼雷和音响水雷。冷战结束后，由于可在水下长期潜航的低噪声、安静型核潜艇的出现，世界海洋强国都投入了巨大的人力、物力、财力开展水下攻防和信息战的研究。水声学与声呐技术成为优先发展并取得许多突破性进展的领域，并在国家安全和国民经济的诸多领域发挥重要作用。
　　1.3 水声学研究的主要特点
　　1.3.1 声波及其传播规律是水声学研究的主要对象
　　声波是海水内部唯一有效进行远距离信息传递的载体[5]。科拉顿和斯图姆的日内瓦湖实验首次验证了海水中声波具有远距离传播规律。在陆地上，通常采用电磁波、光波从空中传递信号信息，并用于远距离的测量与控制，如全球定位系统(global positioning system，GPS)采用L波段的电磁波作为载波信号。但是在海水中，电磁波、可见光、激光等物理媒介的吸收衰减非常大，在清澈的海水中也只能穿透约100 m。例如，照射到海面的日光，在穿透海表面100 m水层过程中，其能量的99%以上都已被海水吸收，在更大深度上不足以支持植物进行光合作用。因此，自然界中依靠光合作用延续生命的植物，在海洋中包括*低级的浮游植物在内都只能生活在水下100 m以内的深度。
　　从定量分析的角度来看，蓝绿光在海水中每传播1 km的吸收衰减超过100 dB；而对于1 kHz频率的声波来说，在海水中每传播1 km吸收衰减仅约为0.067 dB。然而，声波在海水中的传播速度远远低于电磁波在大气中的传播速度，且高频声波在海水中的吸收衰减随频率升高而迅速增大，即使用于近距离观测的水声设备，其所用的工作频率一般不超过1 MHz。与电磁波等物理媒介相比，虽然声波的传播速度相对较小，且所携带的信息量少得多，但在远距离信息传递的水下应用问题中，声波仍是首选的载体形式。
　　1.3.2 水声学研究与海洋环境时空频特性紧密结合
　　海洋水声环境参数复杂多变，上有波涛汹涌的海表面，下有凸凹不平、底质各异的海底。位于不同深度处的海水，由于其温度、含盐度及所受压力的不同，介质的声速值大小也不一样。另外，声波在海水中传播将发生折射和界面上的反射，从而带来复杂的多途结构与声场的空间不均匀分布。针对水声学的深入分析还必须考虑到海洋中存在的涡旋、锋面、内波、湍流、随机不均匀的冷热水团等，以及海水介质声速的水平变化、气象条件引起的近表面层水温周日或周年的变化。因此，海洋环境由于具有复杂的空变、时变、频变特性，声波在海水中的传播具有强烈的振幅和相位起伏，从而引发水声场在特定维度下的不确定性。
　　迄今为止，人们已就各种海洋环境因素对水声传播的影响进行了大量研究。美、俄等国更由于战略的需要，组建专门的船队，对遍及全球各主要海域进行了系统的水声考察，建立了相对完整的数据库，归纳阐明了声传播的一些主要模式，开发了不同的声场解析分析和数值计算方法，并利用层析技术实现了根据水声传播实验数据反演海洋介质环境参数的方法。但对于具有强烈起伏的海底地区声场分布解算方法，以及强起伏条件下声信号的统计特性等许多方面，仍有大量问题有待深入研究。
　　1.3.3 水声学的发展与水声工程技术紧密关联
　　在声学领域的众多分支学科中，没有其他学科像水声学那样，其发展受着战争需求的强有力的推动作用。反过来，水声学的发展又为水下战武器装备的研制和创新注入了新的活力。现代声呐的发明要早于雷达，但是公众对声呐的了解远远不如雷达，这是因为声呐在军事上主要用于对水面舰艇、潜艇的目标探测，近代则扩展到水下预警、反蛙人等，

目录
前言
第1章 绪论 1
1.1 水声学定义 1
1.2 水声学发展简史 2
1.2.1 理论研究 2
1.2.2 实验研究 3
1.3 水声学研究的主要特点 5
1.3.1 声波及其传播规律是水声学研究的主要对象 5
1.3.2 水声学研究与海洋环境时空频特性紧密结合 6
1.3.3 水声学的发展与水声工程技术紧密关联 6
1.4 水声传播数学模型及数值离散化方法 7
1.4.1 水声传播问题的常用简化模型 7
1.4.2 常用数值离散化方法 8
1.5 本书内容的组织结构 9
第2章 偏微分方程的性质与求解 11
2.1 拟线性偏微分方程的分类 11
2.1.1 一阶拟线性偏微分方程的分类 11
2.1.2 二阶线性偏微分方程的分类 13
2.2 三类偏微分方程的一般性质 15
2.2.1 双曲型方程 16
2.2.2 抛物型方程 17
2.2.3 椭圆型方程 18
2.3 从计算角度看偏微分方程的分类 19
2.4 定解问题及其适定性 20
2.5 本章小结 21
第3章 谱方法基础 22
3.1 加权残差方法 22
3.2 三类谱方法：配点法、Tau方法和Galerkin方法 25
3.2.1 配点法 25
3.2.2 Tau方法 28
3.2.3 Galerkin方法 29
3.3 Chebyshev谱方法 31
3.3.1 Chebyshev多项式 31
3.3.2 Gauss型数值求积 33
3.3.3 Chebyshev谱变换 39
3.3.4 在谱空间上实施运算 43
3.3.5 在网格点空间上实施运算 52
3.4 本章小结 56
习题 56
第4章 使用谱方法求解稳态型方程 57
4.1 配点法求解Poisson方程 57
4.1.1 基本求解过程 57
4.1.2 其他类型的边界条件处理 60
4.1.3 定义域为一般有限区间时的情形 62
4.2 Tau方法求解Poisson方程 64
4.2.1 基本求解过程 64
4.2.2 其他类型的边界条件处理 69
4.2.3 定义域为一般有限区间时的情形 72
4.3 Galerkin方法求解Poisson方程 74
4.3.1 基本求解过程 74
4.3.2 其他类型的边界条件处理 79
4.3.3 定义域为一般有限区间时的情形 82
4.4 三种谱方法的比较 87
4.5 本章小结 94
习题 94
第5章 使用谱方法求解发展型方程 95
5.1 配点法求解热传导方程 96
5.2 Tau方法求解热传导方程 99
5.3 Galerkin方法求解热传导方程 105
5.3.1 基本求解过程 105
5.3.2 其他边值条件类型的处理 107
5.4 本章小结 112
习题 112
第6章 水声传播简正波模型的谱方法 114
6.1 水声传播问题的数理方程 114
6.1.1 声传播的基本物理学原理 114
6.1.2 时域波动方程 115
6.1.3 频域波动方程：化四维方程为三维方程 116
6.1.4 三维问题简化为二维问题的两种场景 117
6.1.5 声源、边界条件与传播损失 118
6.1.6 有损介质与吸收层 120
6.2 水声传播简正波模型 120
6.3 求解水声传播简正波模型的谱方法 122
6.3.1 使用配点法求解简正波模型 123
6.3.2 使用Tau方法求解简正波模型 129
6.4 本章小结 135
习题 136
第7章 水声传播抛物方程模型的谱方法 137
7.1 水声传播问题的抛物方程模型 137
7.1.1 标准抛物方程模型 137
7.1.2 宽角有理近似的抛物方程模型 138
7.2 求解水声传播抛物方程模型的谱方法 139
7.2.1 使用配点法求解抛物方程模型 140
7.2.2 使用Tau方法求解抛物方程模型 144
7.3 本章小结 150
习题 150
第8章 水声数值计算创新专题 152
8.1 使用谱方法解决多维水声传播应用问题 152
8.2 求解多层非连续介质下的水声传播问题 157
8.3 Legendre谱方法 163
8.3.1 Legendre多项式 163
8.3.2 Legendre变换 165
8.3.3 Gauss型数值求积 165
8.3.4 用Legendre谱方法求解水声传播问题 165
8.4 性能优化与并行计算的编程实践指南 170
8.4.1 编写性能更优的MATLAB代码 170
8.4.2 编程语言及高效的数学库 174
8.4.3 高性能并行计算 176
8.4.4 程序性能优化 189
8.5 本章小结 193
习题 193
主题索引 194
参考文献 197
彩图