第1章 绪论
在电力系统[1，2]、机械手[3，4]、非圆形切削[5]等实际工程控制系统中，常常需要跟踪周期性参考信号和抑制周期性扰动信号。为了满足工程需求，重复控制应运而生。随着现代工业生产对控制精度要求的不断提高和重复控制在实际系统中的成功应用，重复控制获得广泛关注，并取得丰硕的理论和应用成果。本章主要论述重复控制的发展和目前研究存在的问题。
1.1 重复控制原理
重复控制[6-8]是20世纪80年代由日本东京工业大学中野道雄教授研究室根据实际工程需要提出的一种新型控制系统设计方法，实践证明它能很好地解决实际控制问题。重复控制*初应用于质子同步加速器主环电源的控制，利用其自学习的特点，实现了主环电源周期电压和电流的高精度跟踪，使电流控制的相对精度达到10.4的数量级，远远高于其他控制策略的控制精度。
1.1.1 重复控制问题
在实际工业生产中，很多控制系统都要考虑周期性参考输入的跟踪和(或)扰动信号的抑制问题。例如，微电网作为电源网络的重要形式，为负载提供稳定可靠的正弦电压至关重要，这要求电力电子逆变器实现高效稳定运行。但是，实际应用中负载的非线性特性会产生谐波电流，引起逆变器输出电压的变形。因此，抑制系统中逆变器的电压谐波，提高输出电压的稳定性，是亟须解决的关键性技术问题[9]。在工业机器人中，许多控制任务是按照给定的轨迹进行重复运动的，如搬运、喷漆等。机器人运动的位置可以看成一个周期性的重复控制信号，设计一种简单易行、精密快速的方法来跟踪这种周期性变化的信号，能够提高机器人的运动精度[10，11]；在机械制造中，金属切削是金属成形工艺中的重要步骤，分析金属切削的周期运动过程和金属与刀具的周期相互作用，进行金属元件的精密加工，对于保证加工质量、提高生产率具有重要意义[12]。此外，磁悬浮系统中产生的周期振荡[13，14]、脉宽调制逆变器或不间断电源的输出波形畸变[15]、介质流打印系统中的定位误差[16]和神经疾病患者的震颤[17]都需要控制系统对周期性外激励信号进行高精度跟踪或抑制。重复控制是处理上述周期性控制任务或周期性信号的有效方法。
重复控制理论是一种控制系统设计理论，其目的是设计一种控制器，使系统能无稳态误差地跟踪任意周期参考信号。重复控制理论在上述周期性参考信号的跟踪控制或抑制中得到了广泛应用。随着工业技术水平和控制精度要求的不断提高，研究这类系统的高精度控制具有重要的理论意义与实用价值。
1.1.2 内模原理与重复控制
重复控制的理论基础是 Francis 和 Wonham 提出的内模原理[18，19]：如果某一信号可视为一个自治系统的输出，将这一信号的模型放入稳定的闭环系统中，则这个反馈系统可实现对此信号的完全跟踪或抑制。基于内模原理，中野道雄教授研究室的 Inoue 等通过在控制器中引入一个时滞正反馈环节，利用时滞环节的记忆特性不断累积误差信息进行反复学习，*终使系统能够无稳态误差地跟踪或抑制周期已知的任意周期信号[6]。
1.内模原理
在图1.1所示的反馈控制系统中，CR(s)为参考输入 r(t)的发生器，C(s)为反馈补偿器，P(s)为被控对象，d(t)为外界扰动，内模原理描述如下。引理1.1(内模原理)[18]假设图1.1所示反馈控制系统是内部稳定的，则系统输出 y(t)能无稳态误差地跟踪参考输入 r(t)的充要条件是系统闭环回路内开环传递函数包含参考输入 r(t)的信号发生器 CR(s)的极点。
图1.1反馈控制系统
参考输入 r(t)的发生器是指在一定初始条件下，输出为 r(t)的自治线性系统。例如，阶跃信号 r(t)=1的发生器为1/s，即积分环节；正弦输入信号 r(t)=sin ωt 的发生器为1/(s2+ω2)。在此基础上，将置于闭环回路内的信号发生器称为外部激励信号(参考输入 r(t)或外界扰动 d(t))的内部模型，简称内模。
引理1.2[8]存在反馈补偿器 C(s)使图1.1所示控制系统内部稳定，并且能够实现对参考输入 r(t)完全跟踪的充要条件是被控对象 P(s)与 CR(s)不存在零极点对消。
2.重复控制原理
Inoue 等构造出周期为 T 的任意信号内模，通过在图1.1所示反馈控制系统中包含该内模并镇定该系统，可以实现周期信号的完全跟踪或抑制。
对周期为 T 的信号 r(t)进行傅里叶变换，它可能包含无限次谐波分量，因此它的傅里叶级数为
(1.1)
其中
(1.2)
为基波信号的频率。
由式(1.1)可知，为了完全跟踪参考输入 r(t)，系统闭环回路内需要包含信号内模[20]
(1.3)
进一步，根据等式
(1.4)
可将式(1.3)转化为
(1.5)
即
(1.6)
由于只是一个时滞项，可以省略，进而取周期信号内模为
(1.7)
周期为 T 的周期信号发生器如图1.2所示，在周期为 T 的基频与谐波频率上，重复控制器的增益为无穷大，即
(1.8)
其中，是 k 次谐波的频率。可以推出，只要把这个发生器作为内部模型放在闭环内，所构成的控制系统就可以实现对周期为 T 的基波信号及其谐波信号的完全跟踪或抑制。
在式(1.7)中，周期信号内模是无限维的，因此包含它的重复控制系统也是无限维的。Yamamoto 证明了基于有限维内模提出来的内模原理对式(1.7)的无限维内模也是适用的[21]。
图1.2 周期信号发生器
1.2 重复控制系统
周期信号发生器也称为重复控制器(或重复补偿器)，而包含重复控制器的系统称为重复控制系统，重复控制系统包括基本重复控制系统和改进型重复控制系统。
1.2.1 基本重复控制系统
一个简单的基本重复控制系统如图1.3所示。在基本重复控制系统中，参考输入到跟踪误差的传递函数为
(1.9)
其中，E(s)和 R(s)分别为跟踪误差 e(t)和参考输入 r(t)的拉普拉斯变换。式(1.9)表明，当系统稳定时，基本重复控制系统不仅能够无稳态误差地跟踪周期信号的各次谐波成分，还能够完全抑制包含各次谐波成分的扰动。
图1.3 基本重复控制系统
对于严格正则的被控对象(传递函数中分母的阶数大于分子的阶数，即其状态空间方程中的 D =0，这里 x 为状态变量，u 为控制输入，y 为控制输出；A、B、C 和 D 为具有合适维数的实数矩阵)，基本重复控制系统不可能实现指数渐近稳定。这是由于构成的重复控制内部模型保证系统能跟踪任意的高频成分，结果对系统的稳定性提出了非常高的要求；另外，基本重复控制器引入了一个纯时滞正反馈的环节，使系统包含了虚轴上无限个不稳定的极点，为一个中立型时滞系统，系统的稳定性条件难以满足。
1.2.2 改进型重复控制系统
基本重复控制系统只能稳定有输入输出直达项的被控对象，但是这种约束太强。在实际系统中，大多数控制系统是严格正则的。为了扩大重复控制器的应用范围，通过在时滞环节前设置低通滤波器，牺牲对高频信号的跟踪性能，将中立型时滞系统转变为迟后型时滞系统，以保证系统的稳定性，这就是改进型重复控制系统的思想。
根据上述思想，在时滞部分中设置了传递函数为 q(s)的任意低通滤波器，q(s)必须是稳定的。这时对应的重复控制系统结构如图1.4所示，这种重复控制系统称为改进型重复控制系统[22]。
图1.4 改进型重复控制系统
不失一般性地，低通滤波器为
(1.10)
其中，ωc 为低通滤波器的截止频率。
图1.4中改进型重复控制器(modifed repetitive controller， MRC)的传递函数为
(1.11)
引入的一阶低通滤波器 q(s)使系统的极点偏向左半复平面并接近虚轴，即使被控对象是严格正则的，系统也能稳定。改进型重复控制系统通过牺牲高频分量的控制性能来改善系统的稳定条件，消除了被控对象必须是正则(传递函数中分母的阶数大于或等于分子的阶数)的限制，因此改进型重复控制系统在实际系统中获得了广泛应用。
工程上 q(s)的设计满足幅频特性
(1.12)
其中，ωr 为所需要跟踪或抑制周期信号的*高频率。
1.3 重复控制系统设计方法
重复控制方法提出以来，大量工作致力于重复控制的理论研究和实际应用，出现了多种重复控制系统结构和设计方法。1.2节主要介绍了两种常见的重复控制系统结构，虽然重复控制器的设计和综合方法随着系统结构的不同而不同，但进行重复控制系统设计的主要目标是一致的：使整个闭环系统稳定并获得满意的控制性能。这里主要概述几种典型的重复控制系统设计方法。
1.3.1 设计问题
重复控制通过时滞正反馈环节将上一个周期的控制输入添加到本周期的控制输入中，从而逐渐地消除跟踪误差，使系统获得满意的控制性能。基本重复控制系统中包含周期信号的精确内模，能无稳态误差地跟踪或抑制周期已知的周期信号。但是，由于重复控制器的时滞比较长，而且具有无限个不稳定极点，所以重复控制系统难以稳定[6]，如何镇定控制系统成为重复控制首先必须要解决的问题。改进型重复控制系统中低通滤波器的设置构造了一个近似的周期信号模型。
该结构通过牺牲控制系统对高频信号的跟踪性能，极大地改善了重复控制系统的稳定性，在一定程度上解决了重复控制系统难以稳定的问题。但是，这种结构引入了控制系统稳定性和跟踪性能的折中，如何选择重复控制器与低通滤波器的参数是改进型重复控制系统设计方法的关键。
1.3.2 设计方法
重复控制方法自提出以来，已发明了多种改进型重复控制系统结构和设计方法。对于不同的重复控制系统结构，所使用的方法也有所差别。这里主要从重复控制系统结构和分析方法来介绍不同的设计方法。
下面首先给出常见的重复控制系统结构，然后列举几种重复控制系统分析和设计方法，*后阐述非线性重复控制系统设计方法。
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