本书主要研究无穷维希尔伯特空间框架下的分裂可行性问题。本书以非扩张映射、单调映射、凸分析等非线性泛函分析理论为主要研究工具，系统介绍了分裂可行性问题解的存在性及其逼近方法的最新研究结果，其主要内容由作者长期在该领域的研究成果积累而成。 本书适合从事泛函分析领域的学者以及基础数学专业高年级本科生、硕士研究生和博士研究生学习和参考。

第1章预备知识
　　1.1希尔伯特空间
　　1.1.1定义与例子
　　定义1.1设X是实线性空间，是定义在X上的非负函数。若
　　对任意的都满足下列条件：
　　（1）
　　（2）
　　（3）
　　（4）
　　则称是上的范数，此时称为赋范线性空间。
　　定义1.2设为实线性空间，定义二元函数。
　　对于任意的H，满足以下性质：
　　（1）
　　（2）
　　（3）
　　（4）
　　则称函数为内积，此时称为内积空间。
　　设H是内积空间，对任何，定义范数，则H按该范数是一个赋范线性空间。由内积导出的范数满足平行四边形公式：
　　其中是中任意两个元素。设是赋范线性空间，如果其范数满足平行四边形公式，则在H中可以定义内积
　　使得成为内积空间。
　　定义1.3设是赋范线性空间正整数使得
　　则称是柯西序列。若中任意柯西序列都在中收敛，则称为完备的。
　　定义1.4如果赋范线性空间是完备的，则称为巴拿赫空间。如果内积空间作为赋范线性空间是完备的，则称为希尔伯特空间。
　　例子1.1（欧氏空间）N维欧氏空间
　　其内积定义如下
　　相应的范数定义为
　　设是一对称正定矩阵，则可定义另一种内积：
　　相应的范数定义为
　　例子1.2（数列空间）l2空间为由平方可和数列构成的线性空间，
　　其内积如下：
　　相应的范数定义为
　　1.1希尔伯特空间
　　例子1.3（函数空间）空间为由闭区间上平方可积的勒贝格
　　可测函数构成的线性空间，即
　　其内积如下：
　　相应的范数定义为
　　1.1.2等式与不等式
　　以下设N是一个正整数，为希尔伯特空间。
　　内积与范数满足下列基本性质。
　　性质1.1对任意的x，y∈H，下列等式成立。
　　（1）
　　（2）
　　（3）
　　（4）对任意的，下列等式成立：
　　性质1.2对任意的，下列不等式成立。
　　（1）
　　（2）柯西-施瓦茨不等式：
　　其中等号成立的充分必要条件为：x与y线性相关。
　　（3）三角不等式：对任意的
　　（4）
　　柯西-施瓦茨不等式在有限维空间中有如下形式：
　　利用上述基本性质，可以得到下面常用等式。
　　性质1.3。则下列等式成立：
　　证明由内积的定义
　　于是结论得证。
　　性质1.4对每个，设满足，则
　　证明由内积的定义
　　1.1希尔伯特空间
　　移项后即得所证等式。
　　性质1.5对每个，设满足，则
　　证明在性质1.4的等式中令，即得所证等式。
　　1.1.3强收敛与弱收敛
　　定义1.5若H中的序列满足
　　定义1.6若对任意的，序列都满足
　　则称弱收敛到，记为若存在和子列使得
　　则称是序列的一个弱聚点。
　　记为序列的全体弱聚点构成的集合。弱收敛序列具有下列基本
　　性质。
　　性质1.6下列关于弱收敛的结论成立。
　　（1）弱收敛序列的极限唯一。
　　（2）弱收敛序列必然有界。
　　（3）强收敛必然蕴含弱收敛。
　　（4）有界序列存在弱收敛的子列。
　　（5）若序列有界且有唯一弱聚点，则其必然弱收敛。
　　定理1.1（Opial性质）设是中的序列。若弱收敛到，则对任意的，下列不等式成立：
　　证明由内积的基本性质
　　因为弱收敛性蕴含有界性，所以对上式两端同时取下极限得
　　根据已知条件，从而定理得证。
　　强收敛与弱收敛在有限维空间中是等价的。而在无穷维空间中，强收敛显然蕴含弱收敛，而逆命题一般不成立。在一些特殊条件下，这两种收敛性是等价的。
　　定理1.2（Kadec-Klee性质）设是中的序列，且满足。
　　则弱收敛到强收敛到。
　　证明显然只需证弱收敛到强收敛到x。由内积性质可得
　　故强收敛到，因此定理得证。
　　1.1.4线性映射
　　定义1.7设映射对任意的，都有
　　则称是线性映射。当时，称为线性泛函。

目录　
前言　
第1章　预备知识　1　
1.1　希尔伯特空间　1　
1.1.1　定义与例子　1　
1.1.2　等式与不等式　3　
1.1.3　强收敛与弱收敛　5　
1.1.4　线性映射　6　
1.2　凸下半连续泛函　8　
1.2.1　凸泛函　8　
1.2.2　下半连续泛函　12　
1.3　非扩张映射　14　
1.3.1　平均非扩张　15　
1.3.2　固定非扩张　20　
1.4　单调映射　27　
1.4.1　单值情形　27　
1.4.2　集值情形　29　
1.4.3　邻近映射　34　
1.5　初等引理　36　
第2章　分裂可行性问题　41　
2.1　一些例子　41　
2.2　等价不动点方程　42　
2.3　等价不动点方程组　49　
2.4　解的存在性　52　
第3章　简单凸集　55　
3.1　弱收敛迭代方法　55　
3.1.1　固定步长　57　
3.1.2　变步长　59　
3.2　强收敛迭代方法　70　
3.2.1　Halpern型方法　70
3.2.2　Haugazeau型方法　81　
3.3　不精确迭代方法　86　
3.3.1　Picard型不精确迭代　87　
3.3.2　Halpern型不精确迭代　90　
3.3.3　Haugazeau型不精确迭代　98　
第4章　不动点集　101　
4.1　严格伪压缩映射　101　
4.1.1　严格伪压缩映射定义　101　
4.1.2　严格伪压缩映射性质　102　
4.1.3　固定步长迭代方法　109　
4.1.4　变步长迭代方法　114　
4.2　伪压缩映射　119　
4.2.1　伪压缩映射的定义　119　
4.2.2　伪压缩映射的性质　120　
4.2.3　外梯度投影方法　126　
第5章　水平子集　133　
5.1　次梯度投影　134　
5.2　基于半空间的松弛方法　138　
5.2.1　松弛投影方法　138　
5.2.2　次梯度投影方法　141　
5.3　基于闭球的松弛方法　143　
5.3.1　强凸泛函　143　
5.3.2　次梯度投影　146　
5.3.3　循环松弛方法　150　
5.3.4　Armijo型步长　154　
第6章　分裂等式问题　160　
6.1　简单凸集情形　160　
6.1.1　雅可比型方法　160　
6.1.2　高斯-赛德尔型方法　164　
6.2　非凸交替方向乘子法　169　
6.2.1　交替方向乘子法　169　
6.2.2　非凸分析　171　
6.2.3　收敛性分析　176　
6.2.4　在分裂等式问题中的应用　180　
6.3　非凸坐标下降法　183
6.3.1　坐标下降法　183　
6.3.2　收敛性分析　184　
6.3.3　在分裂等式问题中的应用　192　
参考文献　195