《现代保险风险理论》的内容来源于多项国家自然科学基金资助的研究成果。这些成果基本上是作者发表的部分学术论文。第1章主要介绍破产概率、若干重要精算量的分布和联合分布以及Gerber-Shiu期望折扣罚金函数。第2章主要介绍含投资回报风险模型的破产理论，包括含投资回报的古典模型、更新模型以及带干扰的古典模型。第3章主要介绍具有相依结构的风险模型的破产问题，包括带延迟索赔离散时间二项模型、复合泊松模型以及索赔相依的风险模型。第4章主要介绍莱维风险模型的若干结果，主要包括末离时、逗留时以及*优分红问题。

第1章 重要精算量的分布、联合分布和Gerber-Shiu期望折扣罚金函数
　　本章着重讨论几类常用的精算模型，分别研究其某些精算量，在研究方法上除了用概率论、鞅论、方程等数学理论外，主要突出了马尔可夫过程理论的应用.
　　1.1古典风险模型
　　设(Ω，F， P)是一个完备概率空间，是具有参数λ(>0)轨道右连续的泊松过程.为独立同分布的随机变量序列，具有共同分布函数 P(x)， P(0)=0.期望为μ，方差是σ2.记，S(t)是时间区间(0， t]内的总索赔量， N(t)是索赔次数， Zk 是第 k 次索赔的量，随机过程(简称过程) N 与 Z 独立.
　　(1.1.1)
　　是公司的初始准备金，是公司单位时间内的收入， U(t)是时间 t 时公司的余款.
　　定义1.1.1称为古典风险模型.
　　在时间区间(0， t]中的平均余额为.
　　记
　　(1.1.2)
　　定义1.1.2ρ称为相对安全系数.
　　易见当ρ>0时，在以下的研究中可见ρ具有极其重要的意义.在风险理论中，*为关注的事，自然是公司是否会破产，破产的可能性有多大?若破产发生，何时发生?破产发生时公司的赤字有多大?下面我们将讨论这些问题.记
　　(1.1.3)
　　定义1.1.3称Ψ(u)为具有初始值 u 的风险过程 U 的破产概率.称为生存概率.当u<0时，显然有Ψ(u)=1.
　　1.1.1破产概率
　　1.破产概率的可微性及其所满足的积分-微分方程
　　Feller (1971， p.183)证明了生存概率Φ(u)的可微性并导出了其所满足的积分-微分方程，下面陈述该证明.
　　定理1.1.1生存概率Φ(u)是可微的，并满足以下积分-微分方程
　　(1.1.4)
　　证明 以 W1表示首次索赔发生的时间，由于破产不可能在[0，W1)时段内出现，因此.
　　因是轨道右连续的平稳独立增量过程，它具有强马氏性，利用强马氏性，可得.
　　令 x = u + cs，得
　　(1.1.5)
　　上式表明Φ(u)关于 u 可微，将上式两边关于 u 微分，推出(1.1.4)式.
　　对(1.1.4)式两边关于 u 在区间(0， t)中积分，经整理后得到
　　(1.1.6)
　　上式两边令 u →∞，由单调收敛定理可得
　　(1.1.7)
　　因，由强大数定理，从而当即ρ>0时，必有.
　　因此必有随机变量 T(ω)，当 t > T(ω)时， U(t，ω)>0，由于在 T(ω)之前泊松过程只可能存在有限个跳点，即 T 之前只可能出现有限次索赔，从而，由此得到Φ(∞)=1，代入(1.1.7)式得
　　(1.1.8)
　　这体现出相对安全系数的重要性.
　　2.例
　　例1.1.1索赔分布为指数情形:此时 P(x)具有密度函数，(1.1.4)式成为如下形式.
　　上式两边关于 u 求导得
　　从而
　　当ρ>0时，Φ(∞)=1，由(1.1.8)式得.
　　或
　　(1.1.9)
　　3.索赔分布 P(x)为一般分布时破产概率表示
　　(此段主要取自(Rolski， et al.，1998， p.165—167))
　　由(1.1.6)和(1.1.7)得，当ρ>0时，
　　即
　　(1.1.10)
　　记Ψ(u)和Φ(u)的拉普拉斯变换分别为和，
　　(1.1.11)
　　上述积分对一切α>0有意义.
　　定理1.1.2当 c >λμ时，有
　　(1.1.12)
　　(1.1.13)
　　其中.
　　证明由(1.1.5)式知Φ(u)关于 u 是可微的，因而，对α>0有.
　　在 c >λμ条件下，由(1.1.8)式，
　　用乘(1.1.4)式两边，关于 u 在(0，∞)区间内积分得.
　　将代入上式即得(1.1.12)式.再由Ψ(u)=1.Φ(u)立即推出
　　(1.1.13)式.□
　　下面将导出破产概率的无穷级数表示.记.
　　定理1.1.3对μ.0，破产概率Ψ(u)可表示为
　　(1.1.14)
　　其中表示 P(u)的 n-重卷积.
　　证明对(1.1.10)式两边关于变量 u 取拉普拉斯变换得
　　(1.1.15)
　　这得到
　　(1.1.16)
　　上式表明是一个具有特征的几何组合分布的尾函数的拉普拉斯变换，由函数与其拉普拉斯变换的一一对应关系得到(1.1.14)式.□
　　(1.1.15)式称为 Pollaczek-Khinchin 公式.
　　关于破产概率Ψ(u)的渐近公式，可参看(Feller，1971， p.376)，这里仅阐述该结果.设 c >λμ，那么.
　　若存在常数 R >0使
　　(1.1.17)
　　可得
　　R是下述方程
　　(1.1.18)
　　的正解.由此可得出
　　(1.1.19)
　　上式称为 Cramer-Lundberg 近似.
　　若 F 为指数分布情形:密度函数为，可求得
　　(1.1.20)
　　以下的讨论，总假设分布函数 P(x)具有密度函数 p(x).
　　1.1.2重要精算量的分布与联合分布
　　定义∞，若上集空，
　　(1.1.21)
　　称 T 为过程 U 的破产时，显然.当 T <∞时， U(T.)称为破产瞬间前的余额，|U(T)|为破产时的亏损.在风险理论中，破产时及其亏损是*受关注的两个量.分别研究这两个量的文献不少，而 Gerber 和Shiu (1997)则首次研究了这两个量的联合分布.从数学研究的角度，他们引入了，该量对研究(T，U(T))的联合分布起着重要作用.因而他们研究了三个量的联合分布.

目录
《现代数学基础丛书》序
前言
第1章 重要精算量的分布、联合分布和Gerber-Shiu期望折扣罚金函数 1
1.1 古典风险模型 1
1.1.1 破产概率 2
1.1.2 重要精算量的分布与联合分布 6
1.2 带常利率的古典风险模型 25
1.2.1 Gerber-Shiu期望折扣罚金函数 26
1.2.2 Tr，Ur(Tr-)和|Ur(Tr)|三个精算量的联合分布 32
1.2.3 余额过程首次穿越零水平线时间分布及总负持续时间分布 37
1.3 常利率更新风险模型 44
1.3.1 引言 44
1.3.2 Gerber-Shiu期望折扣罚金函数 45
1.3.3 关于*终破产概率Ψδ(u)的上下界 56
1.4 Cox风险模型 61
1.4.1 引言 61
1.4.2 破产概率 62
1.4.3 首中时与末离时分布 72
1.5 带有扩散扰动的古典风险模型 85
1.5.1 引言 85
1.5.2 T，U(T-)，|U(T)|三者的联合分布函数 86
1.5.3 负盈余的总持续时间 92
1.5.4 两个重要精算量的分布 110
1.6 具有相位型分布的风险模型 121
1.6.1 间隔时间为相位型分布的SparreAnderson更新风险过程的Gerber-Shiu期望折扣罚金函数 122
1.6.2 含两类更新过程的Gerber-Shiu期望折扣罚金函数 133
1.6.3 带阈值分红策略的更新跳-扩散过程 157
1.7 逐段决定马尔可夫风险模型 178
1.7.1 关于D-E模型恰在破产前和在破产时盈余的分布 179
1.7.2 一类逐段决定马尔可夫风险模型的破产概率和上确界值分布 193
第2章 含投资回报风险模型的破产理论 206
2.1 含随机投资回报古典风险模型的破产理论 206
2.1.1 破产概率 207
2.1.2 在破产时刻的盈余分布 213
2.1.3 破产前盈余*大值分布 216
2.2 含常利率带干扰古典风险模型的破产概率 217
2.2.1 带干扰古典风险模型的情形 218
2.2.2 含有确定性投资回报的情形 222
2.2.3 例 226
2.3 含常利率带干扰古典风险模型的Gerber-Shiu期望折扣罚金函数 230
2.3.1 积分和积分-微分方程 231
2.3.2 一些关于Φs的闭形式表达式 235
2.4 含随机投资回报更新风险模型的破产理论 240
2.4.1 Gerber-Shiu期望折扣罚金函数 241
2.4.2 关于Φα(y)的积分-微分方程 244
2.4.3 破产概率的上下界 247
2.4.4 关于Bα(y，x)的一些分析结果 249
第3章 相依风险模型 256
3.1 时间相依复合二项风险模型破产概率 256
3.1.1 引言 256
3.1.2 模型 257
3.1.3 递推公式 258
3.1.4 一些特殊情况下的*终破产概率 263
3.1.5 一个推广 265
3.2 破产前余额与破产时赤字 268
3.2.1 引言 268
3.2.2 破产前余额和破产时赤字的联合分布 269
3.2.3 无穷时间破产概率 275
3.2.4 Lundberg指数和破产概率上界 280
3.3 带延迟索赔的复合泊松风险过程 282
3.3.1 引言 282
3.3.2 模型 282
3.3.3 破产概率的鞅方法 283
3.3.4 Lundberg指数 290
3.3.5 破产概率的逼近 291
3.4 一类具有泊松和埃尔朗风险过程的索赔相关风险模型 295
3.4.1 引言 295
3.4.2 模型转换 296
3.4.3 指数索赔的破产概率 297
3.4.4 一般索赔的渐近结果 303
第4章 莱维风险模型 307
4.1 莱维过程的定义 307
4.2 莱维过程的例子 309
4.3 谱负莱维过程的逸出问题 310
4.4 谱负莱维过程的末离时 313
4.4.1 引言 313
4.4.2 特殊情况 316
4.4.3 一般情况 319
4.4.4 在风险理论中的应用 322
4.5 谱负莱维过程的逗留时 325
4.6 具有终端值的谱正莱维过程的*优分红问题 328
4.6.1 引言 328
4.6.2 尺度函数 330
4.6.3 主要结果 331
4.7 谱正莱维过程的*优分红问题 336
4.7.1 引言 336
4.7.2 模型和*优化问题 337
4.7.3 阈值分红策略 340
4.7.4 *优分红策略 345
参考文献 348
《现代数学基础丛书》已出版书目 359