本书针对金融和保险中的动态均值-方差问题，系统研究了保险公司均衡再保险和投资策略、养老金最优投资策略、多个保险公司风险分担策略等。本书构建了随机利率、随机波动率模型下保险公司最优比例再保险、超额损失再保险和投资模型，进一步将模型拓展至极端模糊厌恶和模糊厌恶程度不同的情景下，并得到了均衡再保险和投资策略。为了得到能够同时被保险公司和再保险公司接受的再保险策略，本书研究了同时考虑保险公司和再保险公司的目标的再保险和投资问题。此外，本书还讨论了含有违约债券投资的具有保费返还制的养老金最优投资问题，以及多个保险公司共同分担风险的最优策略，用以探究极端风险发生情况下的风险承担问题。针对上述各种策略，通过仿真模拟分别归纳了其变化规律并给出经济解释。 本书可供统计、金融、保险等专业高年级本科生、研究生、教师、科研人员及相关研究机构工作者参考。

第1章 金融和保险中动态均值--方差问题概述
　　本章将简单介绍再保险和投资问题的研究背景、模型刻画以及本书的结构安排.
　　1.1 研究背景
　　保险公司是依据保险法和公司法设立，专门从事保险业务的企业，是经营风险的特殊金融机构.作为金融市场重要的机构投资者，保险公司的业务大致可以分为承保与投资.承保收益与投资利润是促进保险业发展的动力.一方面，因为保险公司采取负债经营的方式，所以其更加注重风险管理.再保险是保险公司进行风险控制的一种有效办法.通过购买再保险，保险公司可将一部分风险转移给其他保险公司.再保险作为保险体系中的重要环节之一，不仅可以分散风险，还可以扩大承保能力和开拓新业务.另一方面，由于保险业竞争日益加剧，承保业务利润不断下滑，保险公司需要根据市场环境的变化，不断加强保险投资业务.保险投资与保险业的发展已经融为一体，是保险业发展的重要支撑.
　　1.1.1 再保险
　　再保险是保险公司为了减轻自己的风险，将自身不愿承担或超过自己承保能力的风险转移给其他保险公司的行为.分出保险业务的一方称为保险公司，分入保险业务的一方称为再保险公司.
　　保险公司之间主要通过以下几种方式确立再保险关系： ①专营再保险公司接纳直接保险公司的分出业务；②兼营再保险业务的保险公司之间分出、分入业务；③集团公司内的再保险；④联营再保险.保险公司之间建立再保险关系后，保险公司将部分或全部风险转嫁给再保险公司，同时保险公司需支付再保险公司一定的保费，即分保费.保险事故发生后，保险公司与再保险公司按照再保险合同的约定共同分摊损失赔款.
　　对保险公司而言，再保险虽然可以降低其风险，但又会减少其收益.因此采取什么样的再保险方式是保险公司需要考虑的主要问题之一.目前，再保险按责任分摊方式可分为比例再保险和超额损失再保险.比例再保险是以保险金额为基础来确定保险公司与再保险公司责任额的再保险方式，其中保险公司的自留额与再保险公司的责任额均为保额的一定比例.超额损失再保险是以损失为基础，按约定的赔款限额或赔付率来决定保险公司与再保险公司双方责任的再保险方式.在赔款限额以内的损失由保险公司自己承担，超过所规定赔款限额的部分由再保险公司根据合同规定履行职责.
　　在现实中，各保险公司可以根据监管机构的具体要求和自身业务的性质，选择最适合自己的再保险方式.对于保险公司而言，再保险的作用主要有：①分散风险，控制承保责任，稳定经营成果；②提高承保能力，增大承保规模与扩大经营范围，有利于业务创新;③便于业务指导，形成巨额的国际联合保险基金.
　　1.1.2 保险投资
　　保险投资是现代保险业的支柱，又称为保险资金的运用，是指保险公司将在组织经济补偿过程中积聚起来暂时闲置的各种保险资金以有偿的方式投入到社会再生产过程中，以达到保值增值的活动.保险投资可运用的资金主要来源于资本金、各种责任准备金以及其他投资资金.
　　保险投资可运用的资金具有负债性、稳定性以及社会性，这决定了保险资金的运用必须安全稳健，并保持资产保值增值.理论界一般认为保险资金的运用必须符合三大原则：安全性原则、收益性原则和流动性原则.另外，根据资产负债管理理论，保险投资还应该符合规模匹配原则、结合匹配原则、速度匹配原则和目标匹配原则.根据2015年4月24日实施的新修订的《中华人民共和国保险法》，我国保险公司的资金运用主要有以下形式： ①银行存款；②买卖债券、股票、证券投资基金份额等有价证券；③投资不动产；④国务院规定的其他资金运用形式.
　　保险投资由来已久，保险公司从事投资活动已有300多年的历史.摩根士丹利曾断言“投资是保险业的核心业务，没有投资就等于没有保险业”.保险公司进行投资是保险业发展的必然结果，理由有以下几点： ①追求利润是保险公司进行投资的基本动力；②保险市场竞争的不断加剧、承保业务利润的不断下滑，甚至亏损是保险公司进行投资的直接动力；③根据监管要求，保险公司必须保证其偿付能力，这是保险公司进行投资的客观原因；④保险产品结构的创新，如万能寿险、投资连结保险等投资保险型产品的出现，是保险公司进行投资的根本动力；⑤资本市场的不断发展，政府放松了对保险投资的限制，为保险投资改善了外部环境，很大程度上消除了保险投资的阻力.
　　保险投资发展的历史表明，保险投资是随着保险业的发展而不断发展的，已经与保险业的发展融为一个整体，是保险业发展的强大动力.保险投资具有重要的现实意义： ①保险公司是资本市场的重要机构投资者，保险投资资金是资本市场资金的重要来源和稳定发展的重要力量；②保险资金的有效运作可以促进国民经济的健康发展，一方面可以增加储蓄向投资转化的规模，另一方面可以提高储蓄向投资转化的效率.另外，保险资金还可以直接或间接投资于国家基础设施等重大项目，在一定程度上可以缓解融资困难和降低成本；③保险投资可以为保险公司带来可观的经济效益，在一定程度上可以弥补承保业务的亏损，提高保险公司的偿付能力，有利于维护保险公司的稳定经营.另外，保险投资收益的提高有利于保险公司参与国际竞争，提高其国际竞争力.
　　1.1.3 当前形势下研究再保险和保险投资的必要性
　　再保险和保险投资对保险公司以及社会的发展与稳定具有重要的作用.随着社会的进步，科学技术的发展，保险公司面临的保险标的的损失动辄过亿美元.全球保险人在美国的9 11事件赔付总额不低于300亿美元;2010年，墨西哥湾漏油事件造成保险业损失也高达15亿美元.在中国，2015年，天津港爆炸事故赔付金额总计50亿至100亿元人民币，创中国保险史新高.若如此巨大的损失由单个保险公司来赔付，必然会导致该保险公司财务紧张甚至破产.另外，随着中国加入世界贸易组织(WTO)，保险市场的开放必然会带动再保险市场的开放，国内保险公司将会面临更多的再保险机会和更强烈的竞争.
　　根据银保监会公布的数据，我国保险资金的运用余额从1985年的5亿元到2015年底的11.18万亿元，提高了22359倍，但是对保险资金运用的理论严重落后于实践，保险投资收益一直低于8%，而发达国家在2010年保险投资收益就已经超过了10%.保险资金大多数存入银行，运用渠道较窄，资金运用结构不合理，资金利用率低以及资金利用效益低是目前我国保险公司进行投资所存在的问题.新修订的《中华人民共和国保险法》的实施虽然能够在一定程度上拓宽保险资金的运用渠道，但这远远不够.我国庞大的保险资金必须寻找合适稳妥的投资机会.
　　结合当前形势，运用诺贝尔经济学奖得主 Markowitz 创立的现代投资组合理论、保险精算和风险管理等相关理论，构建合理的决策模型，给出均衡再保险和投资策略，为保险公司决策提供一定的理论依据是非常必要的.故本书的研究内容具有非常重要的理论意义与现实意义.
　　1.2 相关风险管理和投资组合选择模型简介
　　1.2.1 再保险分类及其模型刻画
　　再保险是保险公司将其承保的部分风险和责任再向其他保险公司进行保险的行为，是一种常用的分散风险的手段，可以使保险公司尽量避免因一次巨额赔付而导致破产，对经营起到了稳定作用.再保险合约按其针对的对象不同可分为三种类型：针对每次索赔的再保险，针对一个时期内总索赔的再保险，以及针对一个时期内前 k 笔最大的索赔进行的再保险.本书中考虑的都是针对每次索赔进行的再保险.对于每次赔付 Z，保险公司的自留部分为，由再保险公司承担.这类再保险包括的主要形式如下.
　　完全再保险：保险公司承担的索赔为 l(Z)=0，即再保险公司承担所有的索赔.
　　比例再保险：保险公司承担的索赔为 l(Z)= pZ，其中 p ∈[0，1]为再保险比例，再保险公司承担的索赔为(1- p)Z.
　　超额损失再保险：保险公司承担的索赔为，其中 a ∈[0，∞)为免赔额，或称自留额，再保险公司承担的索赔为.
　　第一风险免赔额：再保险公司承担的索赔为，其中为免赔额，保险公司承担的索赔为.
　　在一层的比例再保险：保险公司承担的索赔为.
　　目前关于保险公司动态均衡再保险策略的学术研究中多考虑比例再保险和超额损失再保险，例如，以破产概率最小化为目标， Schmidli[111，112]在扩散逼近模型和带跳模型下考虑了金融市场中仅包含一个风险资产的保险公司*优比例再保险和投资问题. Promislow 和 Young[108]考虑了金融市场中包含一个无风险资产和一个风险资产的保险公司*优比例再保险和投资问题. Luo 等[93]在有卖空和借贷限制的条件下考虑了与 Promislow 和 Young[108]相似的问题. Chen 等[28]在含有 Var 约束下得到了保险公司*优比例再保险和投资策略. Bai 等[5]在相依风险框架下考虑了使得破产概率最小的保险公司*优超额损失再保险和投资策略.Li 和 Young[79]在模糊厌恶情景下考虑了均衡再保险和投资问题，得到的均衡再保险形式为混合再保险.以期望终端财富效用最大化为目标， Bai 和 Guo[6]考虑了金融市场中包含多个风险资产的保险公司*优比例再保险和投资问题. Cao 和Wan[25]同时考虑了最大化保险公司的指数效用和幂效用下的*优比例再保险和投资策略. Liang 和 Bayraktar[85]在赔付大小和强度不可观测的情况下研究了使得终端财富期望指数效用最大化的*优比例再保险和投资策略. Gu 等[53]在常方差弹性(CEV)模型下考虑了保险公司*优超额损失再保险和投资问题.
　　1.2.2 基于均值--方差模型的投资组合选择
　　Markowitz[98]提出的均值–方差投资组合选择理论是现代投资组合理论发展的里程碑，为现代金融学奠定了坚实的理论基础.
　　1.静态均值–方差模型
　　由于对投资者来说期望收益越大越好，风险越小越好， Markowitz[98]利用期望度量收益、方差度量风险，建立了均值–方差模型，该理论研究如何有效地将资金按一定的比例投资在不同的证券上，使得总体上尽可能风险小收益大. Markowitz的均值–方差模型成为研究投资组合选择和风险管理问题的基本框架，使金融研究由定性研究走向定量分析.其数学模型为：假设市场上存在一只无风险资产，收益率为 rf ，以及 n 只风险资产，其收益率为ξ=(ξ1，ξ2， ，ξn)T，投资组合为，*优化问题为对任意给定期望收益率 d，求方差最小值，即
　　(1.1)
　　其中，Σ为市场上 n 种风险资产的协方差矩阵， I 为每个分量都为1的 n 维向量.Merton[102]在允许卖空的条件下给出了均值–方差模型的有效投资策略和有效边界的解析表达式.
　　2.动态均值–方差模型
　　经典的 Markowitz 模型只考虑单阶段静态的情形，但在现实中投资者或投资机构面临的是多阶段或连续时间的决策.为此，很多学者致力于把经典的静态均值–方差模型推广到多阶段或连续时间的情形.其数学模型为：设市场上有 n+1种资产，在时刻 k 的收益率向量为.投资者从时刻0进入市场，初始财富为 x0，进行为期 T 个阶段的投资活动，他在时刻 k 拥有的财富为xk，设投资决策变量指第 k 期持有第 i 种资产的价值，则持有第0种资产的价值为，此时财富转移过程为
　　其中，则多阶段的均值–方差模型是指对于给定期望终端财富 d，求解如下多阶段*优化问题
　　(1.2)
　　Li 和 Ng[80]在各期收益是统计独立的、投资终止时间是预先知道的等假设条件下，利用嵌入法的技术首次给出了多阶段的均值–方差模型的解析解.
　　连续时间模型则是多阶段模型的进一步延伸，可以理解为多阶段的极限，当阶段数无限细分趋向无穷大时则可看成连续时间的情形.其数学模型为：设市场上有 n+1种资产，第0种为无风险资产，其余的为风险资产，其价格分别为 P0(t)，P1(t)， ， Pn

目录
序
前言
第1章 金融和保险中动态均值--方差问题概述 1
1.1 研究背景 1
1.1.1 再保险 1
1.1.2 保险投资 2
1.1.3 当前形势下研究再保险和保险投资的必要性 3
1.2 相关风险管理和投资组合选择模型简介 3
1.2.1 再保险分类及其模型刻画 3
1.2.2 基于均值-方差模型的投资组合选择 4
1.2.3 拓展的HJB方程和验证定理 8
1.3 本书结构安排与创新 13
第2章 随机利率模型下的保险公司均衡再保险和投资策略选择 16
2.1 引言 16
2.2 随机利率模型 17
2.3 模型建立 18
2.4 随机利率模型下的保险公司均衡再保险和投资策略求解 26
2.5 数值分析 32
2.6 小结与展望 35
第3章 随机波动率模型下的保险公司均衡再保险和投资策略选择 36
3.1 引言 36
3.2 随机波动率模型 37
3.3 模型建立 38
3.4 随机波动率模型下的保险公司均衡再保险和投资策略求解 41
3.5 数值分析 50
3.6 小结与展望 52
第4章 极端模糊厌恶情景下的保险公司均衡再保险和投资策略选择 53
4.1 引言 53
4.2 模糊厌恶模型 54
4.3 模型建立 56
4.4 极端模糊厌恶情景下的保险公司均衡再保险和投资策略求解 61
4.5 数值分析 72
4.6 小结与展望 78
第5章 α-模糊厌恶情景下的保险公司均衡再保险和投资策略选择 79
5.1 引言 79
5.2 模型建立 79
5.3 α-模糊厌恶情景下的保险公司均衡再保险和投资策略求解 96
5.4 数值分析 107
5.5 小结与展望 111
第6章 兼顾保险公司和再保险公司利益的均衡再保险和投资策略选择 112
6.1 引言 112
6.2 模型建立 112
6.3 兼顾保险公司和再保险公司利益的均衡再保险和投资策略求解 116
6.4 数值分析 129
6.5 小结与展望 134
第7章 确定缴费型养老金的均衡投资策略选择 135
7.1 引言 135
7.2 模型建立 135
7.3 确定缴费型养老金的均衡投资策略求解 141
7.4 数值分析 151
7.5 小结与展望 155
第8章 多个保险公司的动态风险分担均衡策略选择 156
8.1 引言 156
8.2 模型建立 156
8.3 多个保险公司的动态风险分担均衡策略求解 159
8.4 模糊厌恶情景下的多个保险公司的动态风险分担均衡策略求解 164
8.5 数值分析 178
8.6 小结与展望 179
参考文献 180