第1讲 概论
从经典力学到量子力学，最主要的是要记住，进入微观尺度后，质点的概念已经不再适用；实物粒子在量子力学中的特点是它的波动特性，因此，解薛定谔波动方程就是主要内容，关键在于如何处理该方程中的时间偏导数、空间偏导数和时空势函数的关系，其中，具有能量的量子最稳定的状态是振动模式，它的能级和各级能量是主要的待求量。
1.1 量子力学到底是研究什么的？
人们生活在笛卡儿坐标系描述的欧几里得三维空间，已经熟悉一个物体或质点的状态(x，y，z)和运动(v)。经过多少世纪科学家的探索，从地心说转到日心说，虽然看起来是坐标原点的转移，但参考系的改变似一场流血的革命，19世纪发现电子后，探索高速运动，要求运动方程在不同坐标系保持不变，创立了相对论；同时研究像电子这样微观的粒子，科学家想要知道它在最简单的氢原子中是什么状态，能类比地球绕太阳的旋转与自转吗？黑体辐射的能量量子化已经表明，这样小的粒子，自身携带的是量子化的能量，它已不可能有连续的轨迹，既然能量可以量子化，“轨道”为什么不能离散化呢？电子离开氢原子后成为自由粒子，但是，它具有能量，不然如何能离开氢原子？如此微小的粒子由于能量使其飘忽不定，已经不是我们熟悉的轨道运动，因为电子的尺寸是2.8×10-15m，质量为9.11×10-31kg，按照光量子的情况，电子也只能处于波粒二象性状态，空间是均匀、各向同性的，粒子没有优惠的运动方向，只能在一个有限范围内游荡。量子物理学家不断探索，确定电子的运动是空间随机的、无法定位，之所以如此，就是尺寸已经达到微观范围，大自然没有一种力可以控制微观粒子在一个特定的方向，以几乎趋于零的微距离连续移动，由此，一些新的特性表现出来了，过去未曾遇到，现在知道了，其实这并不奇怪，科学的新发现、得出的新认识是递进的，量子力学在它创立的前20年，属于(旧)量子论时期，研究的重点是单个粒子的行为、状态，也就是如何处理波粒二象性，深入的研究是电子和氢原子的能级结构；此后，要想对微观粒子给出统一的理论描述，诞生了量子力学(研究最多、了解最全面的就是电子、光子和氢原子)，波函数的概率诠释、叠加特性、波粒二象性、测不准关系、量子纠缠、测量问题成为研究的重点。此外，也研究平动、转动(角动量和自旋)、碰撞(包括散射和隧穿效应)、扰动等与经典力学对应的问题。
量子力学那些所谓“奇怪”是被过分渲染的，一些教科书和媒体对目前尚不明白的现象，强行解释，使读者真正体会了量子力学掌门人玻尔的感叹：谁不被量子力学所困惑，谁就没有真正理解量子力学！(If you are not confused by quantum physics then you haven't really undersdand it!)
1.2 量子力学如何学？
1900年普朗克提出能量量化假设，黑体辐射中谐振子能量计算由连续到离散，之后，微观粒子表现出波粒二象性(光电效应中的光量子；双缝衍射实验的波动干涉条纹)，探索研究沿着两个方向开展：一是爱因斯坦、玻尔、海森伯等的量子化方向；二是德布罗意、薛定谔、德拜等的波动方向。既然能量只能取量子单位，这就预示着轨迹的离散化、粒子状态的离散化(因为，连续轨迹的每一个运动的点都有速度，对应于一定的能量，显然这些能量是连续的)。按照过程的连续性建立的薛定谔波动方程：
(1-1)
也存在两个问题：一是方程中的波函数必须离散化，二是时间的一阶微分与空间坐标的二阶微分不平衡，出现虚数 i ，使得解空间是复数空间。但是，物理量只能是实数，因此，波函数和它的复共轭的乘积就成为概率密度，使对状态的力学量的测量能够取平均值，成为实空间，然后，引入算符和狄拉克符号，系统的状态可以表示成 N 个分状态(数学上，也可以是无限多)的线性叠加，状态和它的解由本征方程联系在一起，波粒二象性和不确定性就是自然的结果。
图1-1给出了按能量划分的不同区域，在能量连续区，描述粒子系统状态的波函数是连续的；在能量量化区域，波函数a(x，t)可分离变量时，只需求解，再乘以得全解。
在方程(1-1)中，共有三项，第一项表示随时间的变化；第二项表示量子态在空间中的变化；而第三项V a(x，t)则是波函数在时间与空间同时受到物理环境 V (r)制约的情形，V (r)如图1-1所示。无论是在经典力学中，还是在量子力学中，势能与力密切相关，只是表现形式不同。在量子力学中，V (r)以势阱或势垒的形式制约微观粒子的空间运动和运动形式，使它处于约束态或散射态，变换势函数的形态，求解(解析的、近似的、数值的)薛定谔方程，就成为学习量子力学的主要内容，这也解释了现在学习量子力学，需要求解特别多习题的原因。其实，上述三项之间的物理含义和相互关系，包含了很多值得认真思考的问题，不是求解设定好的习题，就能奏效的，在后面的篇幅中会详细讨论。
图1-1 原子按能量离散与连续两种情况的分区
这幅图概括了量子力学研究的基本内容：微观粒子的能量 E <0时，势阱内约束态的运动方式(由定态薛定谔方程描述)；E >0时，阱外自由粒子状态的散射运动形式(由含时薛定谔方程描述)，两种情形都需要求解薛定谔方程(解析的和近似的)，以获得粒子的能量表达式，从统计诠释的观点看，波函数携载的能量等于各分量包含的权重能量之和，根据测不准关系，E 6=0；而势阱则是粒子所处的物理环境，它以能量的形式作用于粒子
现在要问，粒子的状态如何描述？
为了回答这个问题，先要回答经典力学是如何描述粒子状态的。一般说来，只要知道质点 m的位置 x 和速度 v，即可描述它的动力学特性3随之也就知道质点的动量或者动能。取代质点(个体研究)的概念，微观粒子(或量子)属于统计系综，没有了个体的、连续的轨迹和状态，意味着位置 x、动量p 的准确量值无法知道(在这些离散化的力学量之间，无法确定彼此正确的一一对应关系)。显然，粒子的状态离散化之后，一般而言，会有 N 个离散量，也就是说，量子系统将由 N 个子系统组成，借用线性代数中的知识，实空间的矢量与复空间的元素——“向量”相对应(将笛卡儿坐标系全向旋转，就是 N 维正交空间，因此，笛卡儿坐标系可以看作是希尔伯特空间的子空间)，二者对比，如图1-2所示。
为了更简洁地叙述有关内容，需要介绍以下几个运算符号。
一个矢量可以表示为和(可以设想，在镜像中，将变成，而变成)。在量子力学中更常用，它既表示矢量的大小，也表示矢量的方向(这个符号称为右矢)。如此一来，一个系统 a 的状态也可以表示为 jai。两个矢量 A 和 B 的乘法分为叉乘和点乘两种。叉乘(或矢积)；点乘又称为内积(标积，就是说乘积的结果是标量)，表示式是，这里“内积运算”也可以看成是矢量 A 在矢量 B 上的投影值与的乘积(图1-3)，即
图1-2 笛卡儿坐标系中的矢量A(a)与复空间的向量之间的比较
(a)是欧几里得空间的几何结构，(b)是希尔伯特空间的几何结构。其中，任一矢量可向任一多的正交坐标系的坐标轴投影(相应于三维笛卡儿坐标系的全向旋转)，体现了波函数叠加特性的几何描述(这里需要强调指出的是，波函数展开式中的系数 ci，也表示粒子系统处于分状态 ai 的概率，在讨论量子跃迁问题时，会详细说明这个问题)
图1-3内积运算的投影
这里需要说明的是，在量子力学中，波函数是复数，一个复数，例如，它的镜像就是，相当于左右反转，在数学上就是复共轭，用右上角的表示，也可用左矢表示，它是右矢的镜像或对偶，即。
A B也可以用上述的右矢符号和它对偶的(镜像对称的)左矢符号表示成。即
(1-2)
如果是连续函数的内积，表示为，注意其中共轭量用左矢表示是，这类符号就是狄拉克符号，以后还会详细介绍。现在就可以讨论图1-2中几何矢量与量子力学的态矢量之间的对比，矢量 A 在笛卡儿坐标系三个坐标轴上的投影值 Ax、Ay 和 Az，由矢量 A 分别与单位正交基矢量 i、j、k 的内积(标积)确定，而 Ax、Ay 和 Az 的方向则分别由正交基矢量i、j、k 的方向确定，如果令 e1= i，e2= j，e3= k，则
(1-3)
式中，符号(既是内积，也是投影运算，同此)；符号和符号的含义与 Axi 相同，表示矢量 A 在单位矢量 i 方向(x 轴)上的投影，投影值为 Ax(也就是 A 中包含多少 Ax)，而方向与 i 的方向一致，因此，Axi 就是 x 轴上的分矢量，Ayj 和 Azk 的含义同此，不再重复。此处需要说明，i、j、k 是三维空间的基矢量完全集，意指它对矢量 A 的展开和描述是完备的，即矢量用三个正交分量可以完全表示，如果用两个矢量描述，就是不完备，因为(3维)空间的维数必须与分矢量的数目(3个)相同。
粒子的状态可以借助上面介绍的方法来描述，称粒子的状态为态矢量，记为a，也可以通过相应的分矢量(本征矢).i 的展开式完全描述(本征矢.i，与基矢量 i，j，k 类似，自然是正交归一的完全集)：
(1-4)
但是，普通矢量有，而态矢量的位置顺序是不对易的，即，这样，与普通矢量内积公式比较，二者有许多物理意义上的相似之处，其不同仅在于矢量相乘对易，而态矢量则不对易。因此，称波函数 a 为态矢量，是源于与矢量在物理意义方面的类比，可以说，波函数就是量子态，态矢量就是物理的量子态与矢量的数学描述相结合。此外，特别强调指出的是，在式(1-3)中，每一个分量通过内积方式都包含了矢量如，而在式(1-4)中则包含了态矢量如，这就保证了由叠加表示式回复原来的矢量或态矢量的缘由。
1.3 量子力学的三部曲
量子力学中的矩阵方程先于波动方程提出，尽管二者在数学上是等价的，但是，波动方程是线性微分方程，而矩阵方程是算符方程。显然，波动方程比算符方程更简洁清楚、易于应用，特别是波函数将波粒二象性联系起来，使得波动力学逐渐成为量子力学的主体，而矩阵力学的历史意义正在淡化，一般而言，它在理论分析方面的价值要高于应用价值。从建立、发展和完善的过程以及数学处理方法来看，量子力学的基础内容包括如下三部分：
其中，方程是指薛定谔波动方程和海森伯矩阵方程，可以和牛顿力学方程 F = ma 做一简单对比。牛顿第二定律的数学表示式为：就是微分算符，而 x(t)是状态变量，此处的加速度 a 是对位置 x(t)的两次微分运算，对速度 v 的一次微分，加速度矢量在笛卡儿坐标系中的表示式是(显然，基矢量 i、j、k 也不含时间)，动量，就是可观测的力学量，体系的状态用 x(t)表示，随时间变化，而算符不随时间变化，力学量 p 不显含时间。只要求解微分方程，知道了 x(t)的变化规律，就可以了解系统的动态过程，这就是牛顿经典力学描绘系统状态变化的方式，可以称作经典力学的牛顿绘景，只不过没有这样的称谓而已，此处主要是为了对比说明量子力学中的绘景不是什么新概念)。而量子力学中无处不用算符，它表示对波函数(态矢量)的一种操作(如实验)、一种变换或一种运算，那么如何由算符和态矢量来描述系统的状态呢？
薛定谔描绘的量子力学的方案就是让态矢量随时间变化，而力学量和算符不随时间变化，这就是所谓的薛定谔“绘景”(需要注意，状态随时间变化，就是波函数随时间变化，反映波动过程，轨迹的概
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