第1章绪论
1.1可积形变系统概述
高维系统、多分量系统、离散系统、非交换系统和可积系统的推广等是孤立子领域的关注热点.其中，如何推广已知的可积系统至多分量情形及形变情形，并保持系统的可积性一直是可积系统理论研究的一个重要方向.其中可积系统的q-形变和无色散的可积系统（可看作可积系统的无色散形变）无论从数学角度还是物理学角度都吸引了许多学者的兴趣.许多q-形变和无色散的可积系统可以在Sato理论的框架内被构造，其性质如无穷多个守恒量，双Hamilton结构，τ-函数，对称及B.cklund变换等已被深入研究.
近年来，可积系统的Rosochatius形变和Kupershmidt形变引起了广泛的关注. Rosochatius发现[1]，对可积的Neumann系统，当势函数中增加坐标平方的倒数项之和时，可积性不受破坏.这个形变的系统称为Neumann-Rosochatius系统. Wojciechovoski[2]从KdV方程的静态流出发，构造了Rosochatius形变的Garnier系统.利用Deift技巧和Kn.rrer定理， Kubo等[3]构造了Rosochatius形变的Jacobi系统，即椭球面上的测地流的Rosochatius形变.这些Rosochatius形变的可积系统有重要的物理应用.例如， Neumann-Rosochatius系统描述了旋转的闭弦解的动力性质[4-10]. Garnner-Rosochatius系统可用于求解耦合的非线性Schr.dinger方程[11]. 2007年，周汝光教授[12]利用孤立子方程的显示约束流(有限维可积系统)的r矩阵给出了构造孤立子方程显式约束流的Rosochatius形变的方法，得到了许多Rosochatius形变的有限维可积的Hamilton系统，如AKNS显式约束流、Tu显式约束流和mKdV显式约束流的Rosochatius形变等.
但已有的关于Rosochatius形变的结果都局限于有限维可积的Hamilton系统.文献[13]、[14]中，利用孤立子方程高阶约束流(有限维可积的Hamilton系统)的Lax矩阵的可积形变，给出了构造高阶约束流的Rosochatius形变的方法，得到了KdV方程、 mKdV方程族等许多孤立子方程族的Rosochatius形变.作为应用，由KdV方程族的第一个高阶约束流的Rosochatius形变给出了著名的Hénon-Heiles系统的一个可积推广.基于高阶约束流可看作第一型带自相容源孤立子方程的静态方程，文献[13]、[14]从高阶约束流的Rosochatius形变出发，首次构造了第一型带自相容源孤立子方程的Rosochatius形变及其Lax对.如给出了带自相容源的KdV方程族、mKdV方程族、AKNS方程族、Kaup-Newell方程族、Jaulent-Moodek方程族的Rosochatius形变及其Lax表示.这也是首次将Rosochatius形变从有限维可积系统推广到无穷维可积系统.
2008年， Kalkani等[15]对六阶非线性波方程做Painlevé可积性分析时，发现有四种不同的参数选择，相应的六阶非线性方程是Painlevé可积的.其中，三种情形所对应的六阶非线性方程是已知的可积方程，而第四种情形是一个新的可积方程，由于其重量为6 (KdV方程重量为3)，故称之为KdV6方程.文献[15]中找到了KdV6方程的Lax对和B.cklund变换，但未能找到它的高阶守恒量和Hamilton结构. Kupershmidt[16]利用KdV方程族的双Hamilton结构的两个Hamilton算子将KdV6方程描述为一个双Hamilton结构的非完整扰动，称之为Kupershmidt形变，并对一般的可积双Hamilton系统，给出了Kupershmidt形变的一般构造，同时提出了一个猜测:双Hamilton系统的Kupershmidt形变是可积的，但未能给出证明. Kersten等[17]证明了双Hamilton系统的Kupershmidt形变实际上是双Hamilton，并在几何框架内研究了这类非线性发展微分方程的Hamilton性质，给出了Kupershmidt形变的Magri方程族，同时对一般非时间演化型的偏微分方程，提出了构造其Hamilton算子的几何框架.文献[18]中，曾云波教授等首次证明了KdV方程的非完整形变等价于第一型的带自相容源Rosochatius形变的KdV方程，而且先于Kersten等给出了KdV6方程的双Hamilton结构描述，并证明了此双Hamilton系统的可积性，给出了无穷多个守恒量和相联系的方程族.并进一步提出了构造推广的Kupershmidt形变的方法，由此得到了KdV方程族、 Camassa-Holm方程、 Boussinesq方程和JM方程族的推广的Kupershmidt形变，并证明了推广的Kupershmidt形变的方程族与Rosochatius形变的带自相容源的方程族之间的等价性[19].
作为孤立子方程的另一种推广，孤立子方程的带源形变也是值得研究的一个重要内容.带源系统首先由苏联学者Mel’nikov提出[20-22]，在流体力学、等离子物理、固体物理等领域中有重要的应用．例如，带源的KP方程描述了平面上互成一定角度前进的长波和短波包间的相互作用[21];带源的非线性Schr.dinger方程既可以描述孤立子在带有可共振和不可共振的媒介中的传播过程[23]，也可以描述等离子体中高频静电波与离子声波间的非线性相互作用．*近几年，国内的学者在带自相容源的孤立子方程的研究中做出了重要的工作．曾云波教授等利用将高阶约束系统看作是带自相容源的孤立子方程的静态方程的观点，提出了构造带自相容源的孤立子方程及其Lax表示的一般途径[24，25]，确保了这样构造的带自相容源的孤立子方程一定是Lax可积的．结合达布变换和常数变易法的思想构造了含有任意时间函数的推广的达布变换，给出了两个不同自由度的带自相容源孤立子方程间的非自B.cklund变换，从而求出一些带自相容源孤立子方程的多种类型的解，如孤立子解、positon解、negaton解、complexiton解[26，27].胡星标研究员及其合作者利用Pfaffian的思想提出了一种构造带自相容源孤立子方程的方法[28-30]．这一方法已应用于研究和求解带自相容源的2维Toda方程，离散KP方程及(2+1)维BKP方程等，并且构造了所得方程的双线性B.cklund变换．陈登远教授、张大军教授等利用直接在Lax表示中加入递推算子的特征函数的方法构造了带自相容源方程，并利用Hirota双线性方法和Wronskian行列式技巧得到了带自相容源孤立子方程的解，还研究了带自相容源的非等谱方程，如mKdV方程等[31，32]．
高维系统的扩展也可视为孤子方程族一种可积形变.文献[33]中基于平方特征函数对称，通过引进新的时间流，提出了构造新的扩展的(2+1)维方程族的一般方法，此新的方程族除含有原时间系列外还含有新的时间系列及更多的分量，从而给出了方程族的一种扩展.扩展的方程族及其约化分别包含了两种类型的带自相容源的二维和一维方程.这表明这类扩展给出了统一的途径去导出带自相容源的一维和二维可积系统.文献[34]、[35]中分别构造了扩展的q-形变的KP方程族及q-形变的修正KP方程族，并利用广义的穿衣法得到相应的扩展方程族的孤子解.除了连续系统，离散系统也可进行类似的扩展.文献[36]、[37]中分别研究了扩展的离散KP方程族及2维Toda格方程族，给出了相应的Lax表示及约化，同时构造了广义的穿衣法和达布变换，由此得到了两种类型的带自相容源的离散KP方程及Toda格方程的N孤子解.
1.2孤子简述
1.2.1孤子的产生及性质
孤子是英文“soliton”的译名， 1834年，苏格兰科学家罗素观察到船只在航道上激发出来的不变形、不扩散、并以一定速度向前移动的水波，称之为孤立波(solitory wave)[38].从物理学的观点来看，它是物质非线性效应的一种特殊产物.从数学上看，它是非线性色散方程的一类稳定的、能量有限的不弥散解，也就是非线性与色散是它存在的必要条件.
1985年， Korteweg和Vries导出了浅水波方程(KdV方程)，对孤立波进行了较完整的解释和分析[39].通过计算机对孤子的研究表明，单个孤子在行进中非常稳定，多个孤子的相互碰撞遵守动量守恒和能量守恒，甚至在外力的作用下其运动还服从牛顿第二定律.孤子的高稳定性和粒子性引起了学者们的极大兴趣，一系列求解方法，如反散射方法、达布变换、双线性方法等相继被提出.通过计算机实验和解析算法相结合，已在Sine-Gordon方程、非线性Schr.dinger方程、 Boussinesq方程、 Toda晶格方程、 Born-Infeld方程等方程中发现孤子.它们不仅涉及流体力学，还涉及光学、天体物理等领域，展现出一个奇妙的非线性行为的新世界.
1.2.2光孤子的形成与发展
光脉冲是一系列不同频率的光波振荡组成的电磁波的集合，光孤子就是一种能在光纤传播中长时间保持形态、幅度和速度不变的光脉冲.一束光脉冲包含许多不同的频率成分，频率不同，在介质中的传播速度也不同，因此，光脉冲在光纤中将发生色散使得脉宽变宽.但当具有高强度的极窄单色光脉冲入射到光纤中时，将产生克尔效应，即介质的折射率随光强度而变化，由此导致在光脉冲中产生自相位调制，使脉冲前沿产生的相位变化引起频率降低，脉冲后沿产生的相位变化引起频率升高，于是脉冲前沿比其后沿传播得慢，从而使脉宽变窄.当脉冲具有适当的幅度时，以上两种作用可以恰好抵消，则脉冲可以保持波形稳定不变地在光纤中传输，即形成了光孤子，也称为基阶光孤子.若脉冲幅度继续增大时，变窄效应将超过变宽效应，则形成高阶光孤子，它在光纤中传输的脉冲形状将发生连续变化，首先压缩变窄，然后分裂，在特定距离处脉冲周期性的复原[40-43].
光孤子概念的提出可追溯到1973年，当时刚完成等离子体中孤子形电子回旋波研究的Hasegawa进入贝尔实验室研究光纤通信理论，借助非线性效应，认识到光纤中非线性包络波与电子回旋波的相似性，进而建立了描述光纤中包络波的非线性薛定谔方程，并与其合作者Tappert一起从理论上证明，任何无损光纤中的光脉冲在传输过程中自己能形变为孤子后稳定传输[44].这一发现诱发了将光孤子作为一种信息载体用于高速通信的遐想.紧接着他们在文章“色散光纤中非线性光孤子脉冲的稳定传输” [45]中从理论上解释了光孤子的形成机制和传输规律，指出光纤负色散区域支撑亮孤子，正色散区域支撑暗孤子. 1974年， Ashkin和Bjorkholm报告了第一代空间孤子的产生.空间光孤子的种类繁多，按其直观特性可分为亮孤子、暗孤子和灰孤子三类;根据材料对光场响应的不同非线性机理，可分为克尔孤子、类克尔孤子、二次孤子、光折变孤子等;还可以根据其表现方式分为相干孤子、非相干孤子、离散孤子、非局域空间光孤子等. 1980年， Mollenauer第一次在实验中观察到了光纤中孤子的形成机制和传输规律.这些研究结果[46，47]证明了光孤子的存在不是臆测，而是一种客观实际，自此开启了光纤孤子研究的新里程. 1988年，在光纤中发现时间暗孤子的存在.随后在20世纪90年代的十年间，许多其他类型的光孤子，如时空孤子、布拉格孤子、涡旋孤子和矢量孤子等相继被发现.近年来，时域上的亮孤子、正色散区的暗孤子、空域上展开的三维光孤子等，由于它们完全由非线性效应决定，不需要任何静态介质波而备受国内外研究人员的重视.
第2章基础知识
2.1达布变换简介
非线性方程的求解是一个难度很大的问题.只有在特殊情况下，才能求得有显式表达式的解.对于孤立子方程，有多种显式求解的方法，其中*经典的是反散射方法.通过非线性方程的Lax对和谱理论
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