第1章引言
　　1.1牛顿万有引力定律及其存在的问题
　　牛顿的万有引力定律是建立在牛顿的绝对时空观基础上的。牛顿的绝对时空观由两部分组成：一部分是绝对时间；另一部分是绝对空间所谓绝对空间是 绝对空间，就其本性而言，与外界任何事物无关，始终保持着相似，且固定不动。相对空间则是绝对空间的某种可动维度或度量，通常我们会用物体的位置来描述它 —I.牛顿
　　Absolute space， in its own nature， without regard to anything external， remains always similar and immovable. Relative space is some movable dimension or measure of the absolute spaces； which our senses determine by its position to bodies
　　--I.Newton
　　在数学上，绝对空间就是两相邻点的距离的平方总是
　　（1.1.1）
　　所谓绝对时间是绝对的、纯粹而数学的时间，就其本身及其本性而言，均匀地流逝 着，与任何外部事物无关，它又称为持续时间；相对的、直观且常用的时间则是通过运动的持续时间所感知的外在量度 ——I.牛顿
　　Absolute， true， and mathematical time， of itself， and from its own nature， flows equably without regard to anything external， and by another name is called duration； relative， apparent and common time， is some sensible and external （whether accurate or unequable） measure of duration by the means of motion，
　　--I.Newton
　　在数学上，绝对时间就是指两相邻时刻的时间差总是出。当然也仿照空间两点距离的写法，将之改写成平方形式。在牛顿的绝对时空观中，时间和 空间是两个相互独立的、彼此无联系的观念，且分别具有绝对性。
　　两相邻点的距离由（1.1.1）式定义，而（1.1.1）式可以改写成矩阵的形式
　　（1.1.2）
　　其中的方阵称为度规（或度规矩阵），也记作若采用柱坐标
　　（1.1.3）
　　两相邻点的距离则满足
　　（1.1.5）
　　由此可见，度规矩阵元并不一定是常数，它们完全可以是空间坐标的函数。考虑绕z轴转动a角（如图1.1.1所示），
　　（1.1.6）
　　两相邻点间的距离不会因坐标轴的转动而改变，即
　　（1.1.7）
　　记
　　则有
　　（1.1.8）
　　（1.1.9）
　　易证，满足
　　（1.1.10）
　　（1.1.11）
　　其中表示矩阵的行列式，简记为。它说明，度规在上述转动变换下保持不变！绕固定轴的所有转动构成一个阿贝尔群（SO（2）群）。
　　对（1.1.10）式两边求行列式，得
　　（1.1.12）
　　由前面的讨论已知，（1.1.10）和（1.1.11）式对应于转动变换。（1.1.10）式和对应于右手系到左手系的变换。特别地，当
　　（1.1.13）
　　（1.1.14）
　　（1.1.14）式称为空间反射。
　　牛顿的万有引力是建立在这样的绝对时空观基础之上的引力定律，它的表述大家已熟知，
　　（1.1.15）
　　其中M， m是两质点的质量，是质点m受到质点M的引力，r和r=|r|分别是质点m相对质点M的位置矢量及其大小（如图1.1.2所示），G为牛顿万有引力常数。在牛顿引力中，引力场可由一个标量场来描写，
　　（1.1.16）
　　（1.1.17）
　　式中分是M点周围的引力势。引力势是可加的，即
　　（1.1.18）
　　其中和分别表示第个引力源的位矢和质量。对于连续分布的物质，
　　（1.1.19）
　　或者写成泊松方程的形式：
　　（1.1.20）
　　其中A为拉普拉斯算子
　　（1.1.21a）
　　（1.1.21b）
　　1.1牛顿万有引力定律及其存在的问題
　　（1.1.21c）
　　牛顿万有引力定律取得了辉煌成就。它成功地解释了地面上的落体运动、潮汐现象以及日、月、星辰的运动；它预言了海王星、冥王星的存在，并得到证实；依据牛顿万有引力定律，人们设计并发射了人造卫星 总之，牛顿引力从分米到星系团尺度都得到很好证实。
　　尽管牛顿万有引力定律取得了辉煌成就，但它仍存在一些严重的问题。首先，它 不符合狭义相对论。狭义相对论要求所有物理规律都是洛伦兹协变的（见1.2节），一切相互作用都不能是超距的。而万有引力定律并不是洛伦兹协变的，且牛顿万有引力是超距相互作用。其次，当观测精度提高后，人们发现水星近日点进动用牛顿万有引力定律不能完全解释。这两条是*重要的。再次，牛顿万有引力定律无法解释宇宙。关于这一点，可通过Neumann-Zeeliger（NZ）疑难和Olbers佯谬加以说明。
　　NZ疑难是说，假定宇宙是无限的、平直的，宇宙中物质分布是均匀的，牛顿 万有引力定律成立；则宇宙中任一点的引力势都是负无穷，而宇宙中任一点的引力场强却完全无法确定气对于引力势而言，由（1.1.19）式知半径为R的大球面内物质在原点处的引力势为
　　（1.1.22）
　　对于引力场，我们知道引力场强是引力势的负梯度，即。因为在 一个半径为R的大球面内有
　　（1.1.23）
　　其中第二步用到泊松方程和物质均匀分布，等式的左边还可用高斯定理积出，即.
　　（1.1.24）
　　比较上两式，立即可得
　　（1.1.25）
　　显然，当时，任一点引力场强度可为无穷大。另一方面，考虑如图1.1.4所示的以原点O为圆心的球面上对径的两点1、2对原点O处的引力场强的矢量和为零；进一步，整个球面对O点的引力场强的矢量和为零；进而，所有同心球面对O点的引力场强的矢量和为零；所以，O点的总引力场强为零。再次由均匀性知，任一点都可作为圆心，因而任一点的引力场强度都为零。类似地，通过考虑O旁边一点的引力场，改变点的位置我们可以得到引力场强度可为 任意值。

目录
前言
第1章　引言　1
1.1　牛顿万有引力定律及其存在的问题　1　
1.2　狭义相对论回顾　8　
1.2.1　狭义相对论的基本原理与洛伦兹不变性　8　
1.2.2　相对论性的质点动力学　13　
1.2.3　（真空中的）电动力学　16　
1.2.4　流体力学　20　
1.2.5　狭义相对论存在的问题　24　
1.3　等效原理　25　
1.3.1　惯性质量与引力质量　25　
1.3.2　厄特沃什实验　27　
1.3.3　等效原理的表述　30　
1.4　广义相对性原理与广义协变性原理　32　
附录1.A　闵可夫斯基时空　34　
附录1.B　运动质量与静止质量的关系　35　
附录1.C　质点运动的轨迹一定是类时曲线　42　
附录1.D　希腊字母表　44　
习题　45　
第2章　微分几何基础与张量分析　47　
2.0　（2维）非欧几何　47　
2.1　微分流形和张量场　49　
2.1.1　微分流形　49　
2.1.2　流形上的张量场　51　
2.1.3　张量场的运算　52　
2.2　时空和张量密度　55　
2.2.1　时空与度规　55
2.2.2　张量密度　58　
2.3　协变导数和联络　61　
2.3.1　协变导数与联络的引入　61　
2.3.2　张量的坐标无关表示　68　
2.3.3　梯度、旋度和散度　72　
2.4　曲线、切矢与切空间　78　
2.4.1　曲线　78　
2.4.2　切矢　80　
2.4.3　切空间　82　
2.5　张量场沿曲线的平行移动　83　
2.6　沿曲线的协变微分　87　
2.7　测地线　88　
2.7.1　测地线的定义　88　
2.7.2　测地线的性质　91　
2.7.3　测地线的长度　92　
2.7.4　极值曲线　94　
2.7.5　计算克氏符的简便方法　96　
2.8　黎曼曲率张量　97　
2.8.1　黎曼曲率张量的定义　97　
2.8.2　挠率和曲率的几何意义　100　
2.8.3　曲率张量和挠率张量的性质　104　
2.8.4　爱因斯坦张量、比安基恒等式及曲率张量的分解　108　
2.9　测地线偏离方程　111　
2.10　外微分与联络1形式　112　
2.10.1　微分形式与外积　112　
2.10.2　外微分　115　
2.10.3　联络1形式　116　
2.10.4　用标架计算无挠联络系数和曲率张量　119　
2.11　微分同胚与李导数　123　
2.11.1　微分同胚　123　
2.11.2　李导数　125　
2.12　超曲面　128
2.13　基灵矢量场和时空对称性　130　
2.13.1　基灵矢量场　130　
2.13.2　关于时空对称性的两个重要定理　135　
2.14　黎曼时空中的积分　139　
附录2.A　短程线与长时线　142　
附录2.B　挠率不为零时的比安基恒等式　146　
附录2.C　法曲率、平均曲率、高斯曲率与黎曼曲率　148　
附录2.D　第2章复习　149　
附录2.E　不同符号约定及其关系152　
习题　153　
第3章　引力场方程及广义相对论的实验检验　157　
3.1　弯曲时空中的物理量157　
3.1.1　质点动力学　157　
3.1.2　（真空中的）电动力学　160　
3.1.3　相对论理想流体力学　161　
3.2　广义相对论中的基本测量　162　
3.3　引力场方程的建立　167　
3.3.1　引力场方程　167　
3.3.2　对爱因斯坦引力场方程的讨论　171　
3.4　静态球对称解　174　
3.4.1　对称性分析　174　
3.4.2　史瓦西解　176　
3.4.3　对史瓦西解的说明　179　
3.5　伯克霍夫定理　181　
3.6　引力红移　185　
3.6.1　引力红移的理论　185　
3.6.2　实验检验　188　
3.6.3　讨论　189　
3.7　真空球对称引力场中的轨道运动　190　
3.7.1　牛顿力学中测试粒子的运动　190　
3.7.2　广义相对论中测试粒子的拉氏量　190　
3.7.3　广义相对论球对称引力场中测试粒子的运动　192
3.7.4　史瓦西时空中运动方程解的定性分析　194　
3.8　水星近日点的进动　196　
3.8.1　牛顿力学中水星的运动　196　
3.8.2　狭义相对论的修正　198　
3.8.3　广义相对论的修正　199　
3.8.4　引力变形导致的修正*　201　
3.8.5　讨论　204　
3.9　光线偏折与引力透镜204　
3.9.1　牛顿力学中光线的轨迹　204　
3.9.2　广义相对论中的光线偏折　207　
3.9.3　观测结果　209　
3.9.4　引力透镜　211　
3.10　雷达回波延迟　213　
3.10.1　广义相对论的结果　214　
3.10.2　弱等效原理的结果*　216　
3.11　真空球对称引力场中的轨道运动（II）——圆轨道和瞄准参数　217　
3.11.1　圆轨道　217　
3.11.2　*小瞄准参数（碰撞参数）220　
3.11.3　稳定圆轨道　221　
3.11.4　束缚圆轨道　222　
3.12　后牛顿近似和轨道陀螺进动　222　
3.12.1　后牛顿近似*　222　
3.12.2　Lense-Thirring近似解　230　
3.12.3　轨道陀螺进动*　231　
附录3.A　外尔坐标下史瓦西解的几何对称性　239　
附录3.B　3L-4项和e2修正项的影响　241　
附录3.C　球坐标系下轨道陀螺进动的再分析　244　
附录3.D　进动频率对一圈的平均（（3.12.96）式的证明）252　
习题　257　
第4章　引力波与引力辐射　258　
4.1　线性引力场方程　258　
4.2　线性平面引力波解　262
4.2.1　闵氏时空真空中平面电磁波　262　
4.2.2　真空中平面引力波　265　
4.3　引力辐射（含脉冲双星的引力辐射）271　
4.3.1　引力四极矩张量与引力辐射　271　
4.3.2　引力辐射能流　274　
4.3.3　两类特殊系统引力辐射强度的计算　278　
4.4　引力波探测　285　
4.4.1　引力波对物质的作用　286　
4.4.2　引力波探测方法　288　
4.4.3　观测结果　292　
附录4.A　用广义相对论分析月球的潮汐力　295　
习题　296　
第5章　星体内部结构与引力坍缩　297　
5.1　星体内部结构——牛顿力学的处理　297　
5.2　星体内部结构——广义相对论的处理　299　
5.2.1　广义相对论中星体结构平衡方程与史瓦西内解　299　
5.2.2　星体内的核子数　304　
5.2.3　星体的内能　305　
5.2.4　星体的稳定性　308　
5.3　均匀密度星　309　
5.3.1　牛顿引力中的均匀密度星　309　
5.3.2　广义相对论中的均匀密度星　310　
5.3.3　广义相对论中的均匀密度星的弱场近似　312　
5.3.4　广义相对论中的均匀密度星的特性　313　
5.4　多层球　313　
5.4.1　物态方程　314　
5.4.2　平衡星体的解　315　
5.4.3　多层球的内能　318　
5.4.4　多层球的稳定性　320　
5.5　白矮星　323　
5.5.1　电子简并压　323　
5.5.2　白矮星的物态方程　326
5.5.3　白矮星的质量与半径　327　
5.5.4　白矮星的广义相对论修正　331　
5.6　中子星　332　
5.6.1　中子简并压与物态方程　332　
5.6.2　非相对论极限与极端相对论极限下的中子星　334　
5.6.3　中子星的质量上下限　338　
5.6.4　中子星的广义相对论修正　341　
5.6.5　中子星的观测　342　
5.7　共动坐标系　343　
5.8　引力坍缩　345　
5.8.1　均匀密度坍缩球内解　345　
5.8.2　与史瓦西外解衔接　348　
5.8.3　坍缩星体表面发出光信号的到达时间　353　
5.8.4　红移　354　
习题　357　
第6章　黑洞物理　359　
6.1　黑洞的基本概念　359　
6.1.1　历史上的黑洞　359　
6.1.2　史瓦西解中的奇异性　360　
6.1.3　史瓦西解的特征曲面　365　
6.2　史瓦西时空的*大解析延拓　368　
6.2.1　Kruskal度规　368　
6.2.2　Kruskal流形　369　
6.2.3　t，r为常数的超曲面与时间反演　372　
6.2.4　同维嵌入子流形与延拓　373　
6.3　彭罗斯图　375　
6.3.1　闵可夫斯基时空的彭罗斯图　375　
6.3.2　史瓦西时空的彭罗斯图　377　
6.3.3　球对称坍缩星体形成的黑洞及其彭罗斯图　383　
6.4　更多的球对称黑洞解384　
6.4.1　Schwarzschild-（anti-）de Sitter黑洞　384　
6.4.2　Reissner-Nordstr.m黑洞　388
6.5　Kerr-Newman黑洞　392　
6.5.1　Kerr-Newman度规　392　
6.5.2　无限红移面、视界、奇异性与能层　394　
6.5.3　Kerr时空中的测地线和彭罗斯图 402　
6.6　有关黑洞的几个定理与描写黑洞的参量　414　
6.7　黑洞的能量提取过程　423　
6.8　黑洞热力学　426　
6.9　黑洞存在的观测证据　431　
6.9.1　黑洞形成的机制　431　
6.9.2　黑洞认证的主要方法　434　
附录6.A　圆轨道运动粒子单位质量的能量与角动量　438　
附录6.B　质点运动的*小稳定圆轨道　441　
习题　442　
第7章　宇宙学初步　444　
7.1　宇宙学原理与FLRW度规　444　
7.1.1　宇宙的静动之争　444　
7.1.2　宇宙学原理　444　
7.1.3　FLRW度规　445　
7.1.4　宇宙学红移　446　
7.1.5　从FLRW度规看Hubble定律　448　
7.2　均匀各向同性宇宙模型　449　
7.2.1　宇宙演化的完备方程组　449　
7.2.2　大爆炸宇宙模型　451　
7.3　宇宙的暴涨　461　
7.3.1　大爆炸宇宙模型存在的问题　461　
7.3.2　暴涨阶段　465　
习题　469　
第8章　广义相对论的发展　470　
8.1　Einstein-Hilbert作用量与*小作用量原理　470　
8.1.1　物质场的*小作用量原理　471　
8.1.2　引力场