第1章 传热传质的基础理论
1.1 基本物理量定义
1.1.1 张量和场
1.张量
张量在物理学中有广泛的应用。并非所有的物理量都可以用标量或矢量来表示，例如，固体中的一点由内力作用而此处将产生应力，弹性物体中任意一个体积元的形变，这些量都只有通过张量才能进行详细而准确的描述。标量与矢量也可以称为张量，张量是比较简单而且特殊的一种形式。
与矢量相同，张量也是一个与坐标系无关的客观量，即不变量。张量也可以在确定的坐标系中用分量表示出来，张量的分量可以是常数也可以是函数。判断一个量是否是张量，只需看同一个张量在两个坐标系中，即一个坐标系中的分量如何用另外一个坐标系中的分量进行表示。
张量是一个较为复杂的量，其可以具有多个分量。为了便于对张量的表示和计算，需要引入一些记号或约定。直角坐标系可以用 xi(i =1，2，3)来表示三个坐标轴，代替惯用的记号 x， y， z，同时将通常记号用来代替。在张量求和中，采用爱因斯坦求和约定。该约定规定，如果某一指标在某项中重复出现两次，那么该项就必须对这个指标取它所有可能取到的值。例如，对求和可得，其中在每一项中都出现了两次，求和也可以表述为 i 分别等于1，2，3时对 j 和 k 求和，称 i 为哑标，j 和 k 为自由标。
标量和矢量是特殊的张量，矢量是一阶张量，而标量是零阶张量。张量的阶数与其分量数目相关，需要注意的是所有的讨论都是基于直角坐标系而进行的。在三维空间中零阶张量的分量个数为30，一阶张量的分量个数为31，那么 n 阶张量的分量个数便为3n。由此就知道张量的阶数就是3n 中的 n。在这里只讨论到二阶张量，不再对更高阶数进行讨论。
由上面的分析可知，一个二阶张量有32个分量，其分量可表示为 aij(i =1，2，3; j =1，2，3)。下面通过二阶张量来表示已知物体内部的应力状态，如图1.1所示，一根细棒受外力 F 作用，此时细棒内部每一点都产生应力。现在考虑细棒内部一点 B 的受力情况。建立坐标系 x1，x2，x3，取以 B 为顶点的直角六面体微元，微元体的长、宽、高分别设为 dx1，dx2，dx3。如图1.2所示，在微元体的每一个面上都有应力存在。表示垂直于面上的应力， 为对面上的应力，由于微元体处于平衡状态，因此作用在微元上力的总和为零。
图1.1 细棒受力情况
图1.2 微元体受力分析
由此可以得到 S1= S′1，S2= S′2，S3= S′3，即微元中相对面上的应力大小相等方向相反。可以将应力.Si 用分量的形式表示出来，即。其中分别为的法向分量，也称为正应力。当时的 sij 称为切应力。
2.场
在处理很多实际的问题时，一些物理量并不仅仅是在平面上分布的，也可能分布在空间中，这些量会随着空间位置和时间的变化而变化，于是将这些量在空间中的分布称为场，如温度场、引力场、静电场等。下面就介绍两种*基本的场的概念，即标量场与矢量场。
标量只有大小而无方向。在实际应用时给标量赋予单位后，标量便有了实际的物理意义。在某一区域Ω(该区域可以是一至三维)内的任意一点都会有唯一的标量与之相对应，对这种随着空间位置变化而变化的情况，可以寻找一个函数f(Ω)对其变化进行描述。将这个函数称为区域Ω上的标量场。
矢量场的定义与标量场定义具有相似之处，只不过是通过矢量来进行描述的。如果在空间中的任一点都有唯一的一个矢量(向量)与之相对应，则可以找到一个矢量函数.F(Ω)对变化情况进行描述，因此就将这个矢量函数称为该区域的场。
标量场和矢量场是两种不同类型的场，其不具有具体的物理意义，只有在确定所描述的物理量时才有具体物理含义。例如，描述温度分布为温度场，描述速度分布为速度场等。
1.1.2 通量
单位时间单位面积物质的流通量称为通量，如磁通量、扩散通量等。假如对黄河某一段的水流速度进行测定，从而绘制出这一段的水流速度分布。假设在这段中投放一张网，单位时间内流过网的水量称为该流速场下通过该截面的通量。通量的大小与水流速度有关，与截面大小无关。计算通量的截面大小是投影到与流速方向垂直面上的面积。如图1.3所示。如果从左侧进行考察，则计算的是流入的通量；相反，如果从右侧计算，则计算的是流出的通量。
图1.3 水流通过网的通量
在物理学中，对空间分布的电场与磁场也采用电场线和磁场线进行分析，也可以用同样的方法计算电场通量和磁场通量。在了解通量的物理意义后，还需要对其进行数学计算，在计算之前首先需确定计算曲面的方向，即曲面的法向量方向。只有确定了曲面法线方向后才能区分曲面的两侧，从而确定是流入曲面还是流出曲面。
如图1.4所示，选定有向曲面 S，将其任意分割成 n 个有向的微小曲面ΔSi，并将微小有向曲面的面积记为ΔSi(i =1，2，3， ， n)，在ΔSi 上任取一点 Pi，过Pi 做微小曲面ΔSi 的法向量 en。用 Pi 点的流速近似代替ΔSi 上的流速，以ΔSi 为底面做高为的柱体，这个柱体的体积就表示单位时间内通过ΔSi 的流体的通量近似值。
由此可以求出微小曲面的通量为，对ΔΦi 求和得到，令*大的微小有向曲面ΔSi 的面积为 s，当s 大小趋近于零时，即 s →0。如果极限 lim 存在，就可以通过积分得到流体通过有向曲面 S 的通量ΔΦ。如果ΔΦ>0，则表示流体通过曲面有正通量；相反，如果ΔΦ<0，则表示流体通过曲面有负通量。
图1.4 通量微元表示
1.1.3 梯度、散度和旋度
1.梯度
梯度是用来描述物理参量在空间上的变化程度的量，对于流速场中的梯度即为流速梯度。梯度的概念来源于标量场中的等值面和方向导数的概念。
对于稳定的流场，各个物理量在空间中变化的函数可表示为
该变化函数的值 F 为常数，那么函数中的各个参量也是常数。如果这个常数值存在于空间的某个平面上，那么就称该平面是等值面。可以对函数值 F 赋予各种物理参量，例如，对于流体的流速便为等速面，对于压力便为等压面等。
根据以前所学，从数学的角度知道了方向导数的概念，从物理的角度来讲，方向导数可以理解为：流场中某物理参量在某个方向上单位距离的变化量。在流场中存在各种不同数值的等值面，在等值面上的法向方向距离*短，方向导数的值*大，在三维空间中的梯度可以定义为
(1.1)
式(1.1)中的.n 为等值面在 p 点的法线方向。在动量传输的计算过程中，式(1.1)常用于表示速度梯度或者压力梯度。为了简洁明了，引入了哈密顿算子：
(1.2)
应用哈密顿算子后就可以将梯度公式简化为
(1.3)
梯度的概念来源于方向导数，方向导数是标量，但是梯度是矢量。梯度方向沿着等值面的法线且指向等值面数值增大的一侧。对于某一个确定的物理参数来讲，当梯度指向数值增加的方向时，梯度取正值；反之取负值。
对于某一速度场，设其空间中任意一点的速度为，在直角坐标系中可以分解成为沿三个轴向上的分量形式，分别为 ux，uy，uz。
对于该速度场，每个速度分量的梯度只存在于其他的两个方向上，比如说 z方向上的速度 uz 中只存在和。事实上，流体在流动的过程中同样存在同方向上的速度变化，例如 z 方向上的。
2.散度
散度的定义描述为在流场中有一包含了 Q 点的空间曲面Ω，如图1.5所示。假设这个封闭曲面所包含的流体的体积为 V ，当 V →0时，在单位时间内单位体积的流体通过封闭曲面流过的流体的体积量称为 a 点的散度，散度还可以表示流体体积变化速度。
图1.5 散度定义图
用 div 来表示流体的散度，即
(1.4)
其中，
为通过封闭曲面的体积流量，为封闭曲面微元面上的法向流速。可以把从封闭曲面流出或流入的流体体积视为体积 V 的膨胀量或收缩量。当体积趋于零时，可以视为 Q 点的体积膨胀率或收缩率。现在在三维空间下进行讨论。假设流场中包围 Q 点的封闭曲面为六面体微元，如图1.6所示。六面体的边长分别为 dx， dy， dz，微元体的六个面上都有流体的流入或流出，设垂直于x 轴的两个面上的流体流速为
(1.5)
图1.6 微元体的散度分析
同理可得垂直于 y 轴和 z 轴的两个面上的流速分别为
(1.6)
由此可以得到单位时间内微元体内流体的净流量为
(1.7)
联立式(1.4)与式(1.7)可得
(1.8)
式(1.8)即为三维空间中流场的散度解析式，对于一维和二维的解析式只需去掉相应的坐标即可。
由散度的概念可知，当时表示流体体积的膨胀。相反，当时则表示流体体积收缩。对于不可压缩流体，因为其密度不会发生变化，则必定会有，进而可以得到，这体现了质量守恒原理，后面的连续性方程讨论时还会进一步讲解。
展开
