第1章 光子量子态的路径积分表示
　　1.1 引言
　　苏联著名理论物理学家朗道等在《量子电动力学》书中断言[1]，由于不能测量光子的坐标，光子坐标概念没有物理意义，光子波函数不能认为可用来描述光子空间局域化的几率幅．这一断言，在国际上有很大的影响．我们认为光子局域化表现在它与物质的相互作用上．例如，光子从原子分子出发，在感光板上光子被原子分子吸收，可以认为光子定域在原子分子处．Compton效应中光子与电子相互作用时可被认为光子定域在电子处（<1015m），光子与这些粒子的作用可认为是“点”作用．这样，我们就可用光子坐标波函数描述光子的量子态．从波粒二象性来看，将光子与电子、原子、分子等同看待，采用量子力学中Feynman路径积分思想，将光子量子态表示为光子从原点到终点经所有可能路径几率幅的叠加[2]．这种用光子坐标波函数表示光子的量子态能正确描述光子在传输、干涉与衍射中的结果吗？我们在量子物理光学中[3， 4]（远场光学、中场光学、近场光学与亚波场光学、二元光学、光的散射，等等）大量理论与实验一致的结果表明，我们使用的方法是正确的．近几年提出的光子轨道角动量的概念是光子粒子性的又一新的描述．利用光子轨道角动量概念我们可以重新解释光纤陀螺中Sagnac效应[5]．
　　1.2 光子量子态的路径积分表示
　　如何定量地描述光子传输中的量子态？我们知道，原子、电子等粒子的量子态可用Feynman路径积分来表示[6， 7]．使用Feynman路径积分法，我们计算了原子经23种组态后的量子态及其几率分布[8， 9]，结果与实验符合得很好．既然使用路径积分法能简明地给出原子光学中原子经23种组态后的量子态及其几率分布，如果将光子与原子等同看待，即波粒二象性，能否也给出光子传输中的量子态及其几率分布？光子是具有能量(ω、动量(k的粒子，它与物质相互作用时显示粒子性．既然光子局域化表现在它与物质的相互作用上，光子与原子、分子等粒子的作用可认为是“点”作用．这样，我们就可用光子坐标波函数描述光子的量子态．从波粒二象性来看，将光子与电子、原子、分子等同看待，采用量子力学中Feynman路径积分思想，我们假定，光子传输中的这种粒子性可用光子路径来表示，由于光子传输中带有几率分布的性质，它没有确定的轨道，但有不同的可能路径．可以认为，每一条路径贡献一个光子量子态的几率幅．将光子量子态表示为光子从原点到终点经所有可能路径几率幅的叠加[2]，可用路径积分表示
　　（1.2.1）
　　式中S(P， S)，S(c， S)与S(P， c)分别是光子从S点到P点，S点到c点及从c点到P点的经典作用量，exp{iS(P， S)/h}，exp{iS(c， S)/h}与exp{iS(P， c)/h}分别是光子从S点到P点，S点到c点及c点到P点的传播子，它是路径积分表示的结果．它的物理意义是光子从某点出发经某一条可能路径到达另一点的几率幅．Ψ(rS， 0)是光子t=0时的初态，Ψ(r， t)是光子t时的终态．t是光子从初始点S（物理点）出发经c点到感光屏上P点的时间．rS是光子在初始点的跑动坐标，rc是光子经途中某点c的坐标．r是光子在感光屏上P点的坐标．上述路径积分表示可用光子的单缝衍射图1.2.1形象地表示出来．在图1.2.1中，光子终态在P点的几率，即相对光强为|Ψ(r， t)|2．我们认为，无论是在远场光学与中场光学的情况下，还是在近场光学与亚波长光学中，光子都具有坐标表示的波函数，可用这种波函数描写光子粒子性的几率分布．我们建立的理论与大量实验结果一致，证明上述光子量子态的路径积分表示式所给出的结果是正确的．注意，（1.2.1）式表示的积分是普通积分，上述传播子是路径积分表示的结果（未写出显示表示式），我们仍然将上述积分称为路径积分表示，是因为我们的计算都遵从Feynman路径积分的思想．
　　图1.2.1 光子的单缝衍射
　　a是单缝的缝宽，各r为矢径
　　下面我们从（1.2.1）式出发，讨论光子传输中的物理光学问题．
　　对于单光子，我们假定，光子的初始态为位于r0点的δ函数形式：
　　（1.2.2）
　　对于频率为ω、波矢为k的光子，它的作用量可由粒子的作用量S=p r-Et[6]（p为粒子的动量，E为粒子的能量）推广而来，可取为，于是光子传播子可表示为，它是光子经路径r的传播子．在经典物理光学中[10]，它是平面波的指数函数形式，r是平面波波面上点的坐标．同一函数形式，它们在不同的物理问题中的语言却不同，物理含义也不同．利用（1.2.2）式，（1.2.1）式变为
　　（1.2.3）
　　即
　　（1.2.4）
　　式中k0为光子经路径rc-rS的波矢．
　　使用（1.2.1）或（1.2.3）式，我们可以计算物理光学中光子传输、干涉与衍射的物理问题．我们称为量子物理光学．与之相对应的是经典物理光学，它是关于光传输、干涉与衍射的电磁场理论[10]．
　　参考文献
　　[1] Landau L D，Lifshitz E M. Quantum Electrodynamics. 2nd ed. London：Pergamon Press，1982.
　　[2] Deng L-B. Diffraction of entangled photon pairs by ultrasonic waves. Frontiers of Physics，2012，7（2）：239-243.
　　[3] 邓履璧. 量子物理光学. 第十五届全国量子光学学术报告会，2012：8.
　　[4] Deng L-B. Quantum theory of binary optics. International Photonics and OptoElectronics Meetings，2014.
　　[5] Scully M O，Zubairy M S. Quantum Optics. Cambridge：Cambridge University Press，1997：101.
　　[6] Feynman R P，Hibbs A R. Quantum Mechanics and Path Integrals. New York：McGraw-Hill，1965.
　　[7] 邓履璧. 电子的衍射态及其几率分布. 大学物理，1990，（11）：4-7.
　　[8] Deng L-B. Theory of atom optics：Feynman’s path integral approach. Frontiers of Physics in China，2006，1：47-53.
　　[9] Deng L-B. Theory of atom optics：Feynman’s path integral approach（Ⅱ）. Frontiers of Physics in China，2008，3：13-18.
　　[10] Born M，Wolf E. Principles of Optics：Electromagnetic Theory of Propagation，Interference and Diffraction of Light. 7th ed. Cambridge：Cambridge University Press，1999.
　　第2章 几何光学
　　下面我们使用光子波函数的几率分布*大值讨论几何光学中各基本定律．
　　2.1 反射定律与折射定律
　　具有单一入射与出射方向的光的反射定律可由公式（1.2.4）推导出来．
　　一光子沿着一条可能的轨道射到长度为a的物质线段上的c点，再反射到P点，光子的入射角为α，出射角为θ，见图2.1.1．图中r0为光子从远场某点出发至O点的距离，r′为c点到P点的矢径，r为O点到P点的矢径．图中虚线是垂直于光子入射方向的辅助线．P点的光来自线段Oa上所有可能的光子．对于从远处来的入射角为α的斜入射光，出射角θ可取任意方向．当光波长时，从远场的P点来观测，我们有r′≈rxcsin (，光子在P点的几率辐应该是从S，O到a线段上的c点（跑动点）再到P点所有可能路径来的光子几率辐的叠加，于是可得
　　图2.1.1 光的反射
　　（2.1.1）
　　式中k是光子的波矢，它与波长λ的关系是k=2π/λ．取几率分布|Ψ(r，t)|2的极大值，我们有反射定律：入射角等于反射角
　　（2.1.2）
　　给定光子入射角、波长及线段长度等参数，可得到光子经线段反射后的几率分布，见图2.1.2．
　　图2.1.2 光子经线段Oa反射后的几率分布
　　α=30°，λ=1，a=100
　　上述理论计算与作图表明，当光波长λ远小于反射体线度a时，具有单一入射与出射方向的光的反射定律成立．
　　对于光的折射，见图2.1.3．
　　图2.1.3 光的折射

目录
前言
第1章 光子量子态的路径积分表示 1
1.1 引言 1
1.2 光子量子态的路径积分表示 1
参考文献 3
第2章 几何光学 5
2.1 反射定律与折射定律 5
2.2 光的散射及反射定律与折射定律成立的条件 8
2.3 用光子对大气分子的量子散射解释天空蓝色现象 10
2.4 几种基本形体的光散射及飞行器外形 隐形与反隐形的原理 18
2.4.1 光对直线段的反向散射 18
2.4.2 光对尖角形（一个锯齿）的反向散射及飞行器外形隐形与反隐形的原理 19
2.4.3 光对矩形平面及圆盘的反向散射 22
2.4.4 光对圆锥及圆柱面的反向散射 24
2.4.5 光对介质球的散射（Mie散射） 27
2.5 “左手介质”折射定律 31
2.6 双折射定律 32
2.7 Fresnel公式 33
2.8 全反射时光反射点纵向位移的Goos-H?nchen效应 36
2.9 近轴物近轴光条件下球面折射的物像公式 37
2.10 薄透镜的物像公式 39
2.11 平凸薄透镜的量子像差 45
2.12 半球与球透镜的焦距 51
2.13 半球与球透镜的成像 56
参考文献 61
第3章 远场光学 62
3.1 单光子Fraunhofer衍射 62
3.1.1 单光子Fraunhofer单缝衍射 62
3.1.2 单光子Fraunhofer双缝干涉 65
3.1.3 单光子Fraunhofe多缝衍射 68
3.1.4 单光子Fraunhofer矩孔衍射 70
3.1.5 单光子Fraunhofer圆孔衍射 71
3.1.6 光经圆缝的无衍射光束及其阵列光束 73
3.2 纠缠双光子的Fraunhofer衍射 75
3.2.1 纠缠双光子量子态的路径积分表示及纠缠双光子的Fraunhofer单缝衍射 75
3.2.2 纠缠双光子Fraunhofer双缝干涉 76
3.2.3 纠缠双光子Fraunhofer多缝衍射 80
3.2.4 纠缠双光子Fraunhofer矩孔衍射 81
3.2.5 纠缠双光子Fraunhofer圆孔衍射 81
3.3 单光子关联态 82
3.3.1 单光子单缝衍射的关联态 82
3.3.2 单光子双缝衍射的关联态 83
3.4 纠缠双光子经双缝衍射的关联态 84
3.5 两独立光子间的干涉 85
3.5.1 两不同频率光子的合成 86
3.5.2 两同频率光子的合成 87
3.6 两独立光子双缝衍射的位置关联几率 88
3.7 光的相干性 90
参考文献 91
第4章 中场光学 92
4.1 单光子Fresnel衍射 92
4.1.1 单光子Fresnel单缝衍射 92
4.1.2 单光子Fresnel双缝干涉 94
4.1.3 单光子Fresnel多缝衍射 96
4.1.4 单光子Fresnel矩孔衍射 97
4.1.5 单光子Fresnel圆孔衍射 97
4.1.6 单光子Fresnel直边衍射 98
4.2 纠缠双光子Fresnel衍射 99
4.2.1 纠缠双光子Fresnel单缝衍射 99
4.2.2 纠缠双光子Fresnel双缝干涉 100
4.2.3 纠缠双光子Fresnel多缝衍射 101
4.2.4 纠缠双光子Fresnel矩孔衍射 102
4.2.5 纠缠双光子Fresnel圆孔衍射 102
4.2.6 纠缠双光子Fresnel直边衍射 103
第5章 近场光学与亚波长光学 105
5.1 光子的单缝箭射 106
5.2 光子的双缝箭射 110
5.3 光子的多缝箭射 112
5.4 光子的矩孔箭射 113
5.5 光子的圆孔箭射 113
5.6 光子的平凸透镜的箭射 114
5.7 光子的阶梯平凸透镜的箭射 115
5.8 Dammann光栅的箭射 116
5.9 光子的近场光多孔周期排列（阵列光学） 117
5.10 纠缠双光子的单缝箭射 118
5.11 纠缠双光子的矩孔箭射 118
5.12 纠缠双光子的圆孔箭射 118
5.13 亚波长光学 119
5.13.1 金属单缝 120
5.13.2 金属双缝 121
5.13.3 金属矩孔 122
5.13.4 金属圆孔 124
参考文献 126
第6章 二元光学 128
6.1 锯齿形光栅 128
6.1.1 直线锯齿形透射光栅（Fraunhofer衍射） 128
6.1.2 阶梯锯齿形透射光栅（Fraunhofer衍射） 132
6.1.3 直线锯齿形反射光栅（闪耀光栅）（Fraunhofer衍射） 135
6.1.4 阶梯锯齿形反射光栅（闪耀光栅）（Fraunhofer衍射） 138
6.2 矩形光栅 142
6.2.1 矩形透射光栅（Fraunhofer衍射） 142
6.2.2 矩形反射光栅（Fraunhofer衍射） 145
6.3 Dammann光栅（Fraunhofer衍射） 147
6.3.1 一维Dammann光栅的衍射 147
6.3.2 二维Dammann光栅的衍射 150
6.4 Talbot光栅（Fresnel衍射） 154
6.4.1 光子经一维Talbot光栅的衍射效应 154
6.4.2 光子经二维Talbot光栅的衍射效应 159
6.4.3 光子经二维Talbot光栅产生阵列光束 163
6.5 衍射透镜 165
6.5.1 Fraunhofer衍射 165
6.5.2 Fresnel衍射 173
6.6 衍射透镜、谐衍射透镜的焦距与色散 176
6.7 Fresnel波带透镜 186
参考文献 191
第7章 光子的极化 192
7.1 极化光子态的表示 192
7.2 天然旋光效应与磁光效应 195
7.2.1 天然旋光效应 195
7.2.2 磁光效应 195
第8章 变折射率光学 197
8.1 垂轴方向直线型折射率分布透镜的光学特性 197
8.2 垂轴方向抛物线型折射率分布透镜的光学特性 200
8.3 垂轴方向双曲正割型折射率分布透镜的光学特性及光学微透镜阵列 201
8.4 变折射率透镜与恒定折射率透镜光学特性的比较 204
8.4.1 焦距 204
8.4.2 横向放大率 206
8.5 关于变折射率透镜理论与实验结果的比较 208
8.6 球向变折射率透镜的光学特性 212
8.7 变折射率透镜的量子像差 214
8.7.1 球差 215
8.7.2 色差 218
8.8 垂轴方向直线型折射率分布球透镜的光学特性 223
8.8.1 垂轴方向直线型折射率分布球透镜的焦距 223
8.8.2 垂轴方向直线型折射率分布球透镜的像差等效基点位置 226
参考文献 230
第9章 其他光学问题 231
9.1 单光子的薄膜干涉 231
9.2 单光子与纠缠双光子的超声衍射 232
9.2.1 单光子与纠缠双光子经超声驻波场的Fraunhofer衍射 232
9.2.2 单光子与纠缠双光子经超声驻波场的Fresnel衍射 235
9.2.3 单光子与纠缠双光子经超声驻波场的关联态 236
9.2.4 单光子与纠缠双光子经多频声行波的Fraunhofer衍射 237
9.2.5 单光子与纠缠双光子经多频声行波的Fresnel衍射 239
9.2.6 单光子与纠缠双光子对多频水表面声行波的衍射 240
9.3 逆Kapitza-Dirac衍射效应 243
9.3.1 电子的逆Kapitza-Dirac衍射效应 244
9.3.2 原子的逆Kapitza-Dirac衍射效应 248
9.3.3 与Kapitza-Dirac衍射效应给出的图形结果的比较 249
9.4 超分辨成像的量子理论及单片谐衍射透镜复消色差的一种设计 254
9.4.1 阶梯型谐衍射透镜 255
9.4.2 平凸透镜与阶梯平凸透镜的组合 258
9.4.3 二平凸透镜与阶梯谐衍射透镜组合 261
9.4.4 单片谐衍射透镜复消色差的一种设计 263
9.4.5 变折射率微透镜的超分辨成像 264
参考文献 275
本书结语 277