第九章超导线绞缆复合材料结构的多场耦合力学
由于单根Nb3Sn超导股线的载流能力有限，通常需要将多根股线绞扭绕制成CICC或者Rutherford电缆。因此，这些超导电缆因其具有高的载流能力和力学性能已广泛用于制备各类超导磁体。然而，无论是CICC还是Rutherford电缆，亦或是绕制超导电缆或磁体的结构单元超导股线，都可视为具有绞扭特征的复合结构，研究其有效的材料性能或力学行为是安全设计和评估超导磁体的基础，也是研究其超导电学行为的基础。本章节将从超导股线开始，依次介绍股线的多丝绞扭模型，CICC电缆和Rutherford电缆的多层级建模，以期使读者对超导结构的复合材料力学特点有所了解。
9.1绞缆结构的制备概述及主要特征
超导磁体广泛的应用于国际热核聚变实验堆（ITER）、欧洲强子对撞机（LHC）、核磁共振成像仪、超导电机等大型科学与工程项目以及医疗装置。因此，超导磁体结构在人类社会、科学技术和日常生活领域扮演着非常重要的角色。超导磁体系统是由其电缆结构绕制而成的，如ITER磁体装置Tokamak中的四种线圈均由CICC超导电缆组成。加速器磁体系统由Rutherford电缆绕制，这些超导电缆都具有多层级的绞缆结构特点。
CICC电缆的概念要追溯到20世纪60年代，1975年Westinghouse实验室［1］首先采用CICC电缆制备超导磁体。尽管CICC电缆具有不同的构型，但它们具有相同的特征：CICC电缆是由一定数目的超导股线和Cu导线绞扭形成，中间有一个导管作为冷媒传输通道。电缆内部保持一定的孔隙率用于冷却流体的循环，孔隙率和股线的尺寸、绞扭长度有关，而且存在额外的冷却路径，其充当压降释放通道和确保在有限的低温泵功率下具有足够的冷却流体流速。对于ITER用的CICC电缆，其具有多层级绞扭结构。首先三根股线以一定的螺距绞扭在一起形成三元组，然后三个三元组以另一种螺距绞扭在一起形成第二级子缆，这种子缆称之为3×3子缆。之后将五个二级子缆绞扭形成第三级的3×3×5子缆，如此直到*后一级子缆。*后一级子缆也称之为花瓣子缆，花瓣子缆被一层薄不锈钢带包裹，不锈钢带为花瓣子缆提供力学支撑，同时增加股线之间的接触电阻来减小耦合电流和交流损耗。随着子缆层级的增大，子缆绞扭的扭矩逐渐增大以避免子缆之间的耦合损耗。为了提高电缆的稳定性，CICC在绞扭的过程中会使用一些Cu导线。*后一级的六个花瓣级电缆和中心氦管装配到横截面是圆形或是方形的不锈钢套中，*终形成CICC电缆。
Rutherford电缆的概念首先来自卢瑟福阿普尔顿实验室（Rutherford Appleton Laboratory）［2，3］，其具有扁平线缆的结构。采用矩形横截面，可以使得成缆以后获得较大的电流密度。另外，Rutherford电缆股线绕组的填充系数比起圆截面线缆提高了1.27倍，比起辫编线缆构型而言，可以更好的避免局部股线的损伤破坏，具有更好的成缆性和结构稳定性。Rutherford电缆在制备的过程中，由于超导股线材料的不同可以分为两种不同工艺：“反应绞扭(React & Wind)”和“绞扭反应(Wind & React)”。由于线圈和相应的支撑结构不需要经历高温反应，“反应绞扭”方法可以实现许多超导材料的使用，它把股线的制备过程和电缆的绞扭过程实现了分离。这种方法的缺点就是当电缆缠绕成磁体线圈构型时，超导股线要承受较大的弯曲变形。“绞扭反应”方法为先进行Rutherford缆的缠绕而后进行高温反应，避免了电缆中股线承受较大的弯曲应变导致的超导股线临界电流密度的退化。在绞扭成缆过程中，先将股线绞扭成圆形，之后通过四个滚轮对绞扭缆进行挤压得到*终尺寸的扁平线缆构型，电缆中股线的变形可以通过作用于缆的拉伸应力来进行调控。为了进一步提高Rutherford电缆的稳定性，Nb3Sn Rutherford电缆将用环氧树脂浸渍，*外层再包裹一层绝缘层。
9.2超导股线的理论建模及其力学行为
Nb3Sn超导股线的制备工艺主要包括青铜法、内锡法，以及粉末装管法等。青铜法的加工过程为：首先将NbTa棒材装入高纯的CuSn基体中，封焊后挤压、反复拉伸和退火后得到青铜、NbTa六方形棒材，将得到的六方形棒材密排集束后置于稳定的无氧Cu壳中，并将六方棒和无氧Cu壳用阻隔层隔开，封焊后挤压、反复拉拔、退火得到胚料，*后在650℃的温度下进行近100多小时的高温热处理得到Nb3Sn复合超导线［4，5］。内锡法的加工过程为：首先将Cu/Nb单芯复合棒拉伸至一定尺寸后进行组装，然后经过热挤压加工成多芯复合管；将Sn-2%Ti合金棒装入复合管中后拉伸得到亚组元，将亚组元和Ta阻隔层装入稳定体Cu管得到胚料，胚料再经过拉拔以及*终真空环境下的高温热处理后得到Nb3Sn复合超导线［4，5］。Nb3Sn超导股线的结构与其制备工艺有关。利用青铜法、粉末装管法（PIT方法），以及RRP方法制备的Nb3Sn超导股线的横截面如图9.1所示。
图9.1青铜法(a)、粉末装管法(b)和RRP方法(c)制备的Nb3Sn股线横截面［6］
通常，青铜法制备的Nb3Sn股线直径约为0.5~1.5mm，由上千根被Nb3Sn超导相包裹着的Nb芯组成的超导丝镶嵌在Cu基体中构成。股线中超导丝通常以丝组的形式存在。单根超导丝的直径约为3~4μm，超导丝中Nb3Sn层的厚度约为1~2μm。为了提高Nb3Sn超导股线的磁热稳定性以及在电流过载时起到失超保护的作用等，超导丝的外层还会增加一个Cu稳定层。另外，为了降低股线在交变磁场中的耦合损耗，Nb3Sn超导复合股线在制备过程中通常在热处理之前还会经扭绞形成空间螺旋形结构。图9.2为Nb3Sn超导股线纵向剖面示意图，从中可以明显看出超导芯丝的扭绞结构。
图9.2Nb3Sn超导股线纵向剖面［7］
已有许多实验工作对Nb3Sn超导股线的力电行为进行了研究。例如，轴向拉伸、横向压缩以及弯曲载荷作用下，Nb3Sn超导芯丝内部的应力及股线整体临界性能的实验测量［8，9］。虽然通过实验能够直接测得超导股线在外部载荷作用下的真实变形及临界性能，但是实验研究也有许多缺点，比如需要耗费大量的时间和资源，另外，低温环境下需要特殊的加载装置、不容易得到股线内部Nb3Sn超导芯丝的变形情况等。因此，有必要通过建立理论模型对超导股线在外部载荷作用下的受力、变形以及临界性能进行分析和预测。Nb3Sn超导股线作为一种典型的多丝复合材料，其宏观的力学及电磁学行为可以通过细观力学的方法进行研究。以下对复合材料细观力学理论进行简要介绍。
9.2.1复合材料细观力学基础
复合材料细观力学［10-12］为超导股线的分析和建模提供了有效的途经。复合材料细观力学研究的目的是建立复合材料宏观性能与其组分材料性能及微观结构之间的关系。细观力学建立在Hill提出的代表性单元（RVE）的基础上。RVE代表材料当中宏观上的非常微小的点，同时微观上又能包含足够多的材料微结构信息。用微观代表性单元的平均性能参数来代替材料的宏观性能是细观力学分析的核心思想。复合材料细观力学方法很多，其中成熟的理论有：Eshelby等效夹杂理论、广义自洽方法、Mori-Tanaka方法、微分介质法以及基于变分原理的Hashin-Shtrikman上、下限方法等。本节主要应用Mori-Tanaka方法对超导股线的力—电性能进行理论建模和分析。所以，这里只简要介绍Eshelby等效夹杂理论及Mori-Tanaka方法，其他方法详见参考文献［10-12］。
细观力学的核心是建立在平均化的基础之上，其平均化算子定义为
(9.1)
其中，g为在区域Ω内的任意场量，〈g(x)〉Ω为取值随坐标x改变的物理量g在域Ω内的体积平均。对g在整个区域的体积平均还可以表示为各个子域的平均。
(9.2)
定义ck=Vk/V，式(9.2)可以表示为
(9.3)
Eshelby等效夹杂理论［13］考虑弹性常数为C0ijkl的无限大基体中存在一个区域Ω发生热应变、塑性应变、相变应变等不可恢复的应变ε*kl的问题，称之为本征应变问题。与无夹杂区域存在时相比，夹杂的存在会使得夹杂周围的应力场出现扰动。Eshelby通过格林函数方法分析了无限大体中椭球形夹杂的本征应变问题，给出了无限大体中椭球形夹杂的本征应变ε*kl与夹杂内应变ε(inc)ij之间的关系
(9.4)
式中，Sijkl称为Eshelby张量。同时利用本构关系即可得到椭球区域内的应力
(9.5)
其中，σ(inc)ij表示夹杂内应力张量，Iklmn为四阶单位张量。Eshelby张量给出了椭球体内应力和本征应变之间的关系。当弹性模量为C0ijkl的无限大体还受到边界处均匀宏观应力σij（或应变εij）的作用时，利用叠加原理，椭球体内的应变和应力可以表示为
(9.6)
(9.7)
将基体和夹杂的本构关系代入式(9.6)和式(9.7)，可得
(9.8)
记，同时略去张量下标可得
(9.9)
因此夹杂内的总应变为
(9.10)
其中，称为应变集中张量（Strain Concentration Tensor）。得到了夹杂内的应变就可以得到其应力，以及整个无限大体中的应力和应变分布。
Mori-Tanaka方法［14］是在Eshelby等效夹杂理论的基础上考虑了夹杂的存在对周围基体应力（应变）的影响，认为夹杂周围远场作用的应变等于周围基体当中的平均应变〈ε〉0，因此Mori-Tanaka方法也称为背应力方法。通过Eshelby张量可以建立夹杂内应变和夹杂周围基体内应变之间的关系，由式(9.10)可知
(9.11)
其中，〈ε〉0为基体内的平均应变，〈ε〉r为第r相夹杂内的平均应变，其他量的定义与之前的定义相同。夹杂和基体内总的平均应变可以表示为，这里，cr为第r相夹杂材料的体积分数。将式（9.11）代入ε可以得到基体中的平均应变
(9.12)
从而得到
(9.13)
其中， Cr和Sr是第r相夹杂的刚度矩阵和Eshelby张量。
同时可以得到Mori-Tanaka方法对复合材料等效模量的预测
(9.14)
式(9.14)经过化简后，可得
(9.15)
对于热应力问题［12］，采用与之前相类似的推导步骤也可得到。基体和夹杂由于热膨胀系数的不匹配而导致的热失配应变为α*=(αinc-α0)ΔT，其中αinc和α0分别为纤维和基体的热膨胀系数。夹杂当中的应变包括基体中平均扰动应变ε′，夹杂引起的扰动应变εd=S(ε*+α*)以及热应变α*。因此，夹杂中的平均应力σr可以表示为
(9.16)
通过一定的简化可以得到
(9.17)
另外，温度变化以后基体和夹杂中的平均应力为零，即，所以
(9.18)
其中，为基体中的扰动应力，
(9.19)
将式(9.17)代入式(9.19)可得
(9.20)
夹杂体内的平均应变为
(9.21)
复合材料体整体的平均应变εthermal为
(9.22)
将式(9.21)与式(9.17)，以及热失配应变α*代入式(9.22)可以得到复合材料的等效热膨胀系数为
(9.23)
9.2.2Nb3Sn超导股线的理论建模［15，16］
本节主要考虑扭绞对超导股线有效模量以及力—电性能的影响。选取如图9.3所示含有N层超导芯丝，第i层有ni根芯丝的圆柱为研究对象（即代表性单元）。在分析过程中将超
展开
