第1章 两端被轴向固定的静不定梁在横向力作用下的弯曲变形
两端均为固定端约束的静不定梁如图1.0.1所示；两端均为固定圆柱铰链约束的静不定梁如图1.0.2所示；一端为固定端约束、另一端为固定圆柱铰链约束的静不定梁如图1.0.3所示。这三类梁的共同特征是梁的两端均被轴向固定，而且它们都属于静不定梁，因此上述三类梁统称为两端被轴向固定的静不定梁。这种两端被轴向固定的静不定梁在外力作用下发生弯曲变形时，梁的轴线会被拉长，在梁的两端和梁内必然会出现相应的轴向拉力，而这种轴向拉力又会对梁的弯曲变形产生显著的抑制作用。因此，在研究两端被轴向固定的静不定梁的弯曲变形时，必须计入这种轴向拉力的影响。本章介绍计入这种轴向力影响的两端被轴向固定的静不定梁的弯曲变形的数学模型及其计算的相关内容。
1.1 两端被轴向固定的静不定梁在横向力作用下弯曲变形的数学模型
两端被轴向固定的静不定梁主要包括如图1.0.1、图1.0.2和图1.0.3所示的三类梁，下面研究这三类梁在横向分布力作用下的弯曲变形问题（图中表示载荷集度，表示梁的挠度）。为了导出梁的挠曲线方程，特取梁微段为研究对象，其受力如图1.1.1所示，图中、和分别为作用在梁微段左端面的轴力、剪力和弯矩，为梁微段左端面的转角。为了符号推导的方便性，图中的轴力、剪力、弯矩、挠度和截面转角都被假定为正值。由静力学平衡方程得到
（1.1.1）
在梁的小变形情形下，有
（1.1.2）
（1.1.3）
（1.1.4）
（1.1.5）
（1.1.6）
将式（1.1.2）～式（1.1.5）代入式（1.1.1），得到
（1.1.7）
即
（1.1.8）
忽略式（1.1.8）中所含有的二阶微量项，并将该式的两端同除以，得到
（1.1.9）
如图1.1.1所示，由静力学平衡方程得到
（1.1.10）
即
（1.1.11）
忽略式（1.1.11）中所含有的二阶微量项，并将该式的两端同除以，得到
（1.1.12）
将梁的挠曲线近似微分方程[1]（和分别为梁的弹性模量和截面惯性矩，并设梁为等截面梁）代入式（1.1.12），得到
（1.1.13）
再将式（1.1.13）代入式（1.1.9），得
（1.1.14）
该式中的画线项体现了轴向力对于梁弯曲变形的影响。
梁内的轴力等于梁的两端所承受的轴向拉力，即
（1.1.15）
式中，和分别为梁的左右两端所承受的轴向拉力；为梁的轴向刚度；为梁的伸长量。其中，
（1.1.16）
（1.1.17）
式中，为梁的横截面积；为梁的长度（原长）。
将式（1.1.16）和式（1.1.17）代入式（1.1.15），得到
（1.1.18）
再将式（1.1.18）和式（1.1.16）代入式（1.1.14），得到
（1.1.19）
这就是两端被轴向固定的静不定梁的挠曲线微积分方程，方程中的画线项代表了轴向力对于此类梁的弯曲变形所产生的影响，与该方程配套的边界条件如下：
（1）两端均为固定端约束（图1.0.1）：
（2）两端均为固定圆柱铰链约束（图1.0.2）：
（3）左端为固定端约束，右端为固定圆柱铰链约束（图1.0.3）：
方程（1.1.19）和上述边界条件之一共同构成了研究相应的两端被轴向固定的静不定梁在横向力作用下弯曲变形的数学模型，此数学模型的解即为梁的挠曲线函数。
1.2 两端被轴向固定的静不定梁在横向力作用下的弯曲变形的算法
从数学上来讲，方程（1.1.19）的满足其边界条件的解就是所研究的两端被轴向固定的静不定梁的挠曲线解析函数。考虑到方程（1.1.19）是非线性微积分方程，所以要求得其精确解是十分困难的。这里采用瑞利-里兹法（Rayleigh-Ritzmethod）[2]求其近似的解析解。选取两个连续、可导且满足其边界条件的线性无关的函数和作为瑞利-里兹函数，这样可以将梁的挠曲线函数近似地表达为
（1.2.1）
式中，和为两个待定的未知量，可按如下的方法确定：将式（1.1.20）代入方程（1.1.19）后，在方程的两边同乘以，然后再沿梁长取定积分，化简后，获得以下两个关于和的非线性代数方程：
（1.2.2）
（1.2.3）
式中
（1.2.4）
（1.2.5）
（1.2.6）
（1.2.7）
（1.2.8）
（1.2.9）
（1.2.10）
（1.2.11）
（1.2.12）
（1.2.13）
（1.2.14）
（1.2.15）
（1.2.16）
如果作用在梁上的力不是横向分布力，而是横向集中力（作用在处，如图1.2.1所示），则应用δ函数（单位脉冲函数）可以将这一集中力等效地表达为载荷集度是的分布力，将该式分别代入式（1.2.15）和式（1.2.16），得到
（1.2.17）
（1.2.18）
式（1.2.17）和式（1.2.18）就是梁承受横向集中力的情况下，和的计算公式；式（1.2.15）和式（1.2.16）是梁承受横向分布力的情况下，和的计算公式。
选定函数和作为瑞利-里兹函数后，应用式（1.2.4）～式（1.2.18）可分别计算出和的值（注意：如果梁承受的是横向分布力，则应用式（1.2.15）和式（1.2.16）计算和之值；如果梁承受的是横向集中力，则应用式（1.2.17）和式（1.2.18）计算和之值），在此基础上，将非线性代数方程（1.2.2）和方程（1.2.3）联立求解（如用Matlabsolve[3]求解），可得到该组方程的实数解（舍去非实数解），*后将其实数解代入式（1.2.1），得到梁的挠曲线函数的具体表达式。这就是确定两端被轴向固定的静不定梁在横向力作用下的弯曲变形的算法。
1.3 两端均为固定端约束的静不定梁弯曲变形算例
一根两端均为固定端约束的静不定梁承受横向均布力的作用，如图1.3.1所示，其载荷集度为，梁的弹性模量，设该梁在变形前的参数如下：长度，横截面积（宽度为，厚度为），截面惯性矩。试确定：此梁的挠曲线形状，并与未考虑轴向力影响的对应挠曲线进行比较。
选取如下两个连续、可导且满足该梁边界条件的线性无关的函数
（1.3.1）
和
（1.3.2）
作为瑞利-里兹函数，在此基础上，应用1.2节中所述的算法，可以得到此梁的挠曲线函数的表达式为
（1.3.3）
注意式（1.3.3）中计入了轴向力对于此梁弯曲变形所产生的影响，而在材料力学教材[1，4-6]中所给出的未计入轴向力影响的此梁的对应挠曲线函数为
（1.3.4）
为了说明计入和未计入轴向力影响的两种情形下所得到的挠曲线的不同之处，图1.3.2中分别给出了根据式（1.3.3）和式（1.3.4）画出的挠曲线，由该图可以清楚地看出：两者的差异非常显著，其中计入轴向力影响的情形下所得到的挠曲线要比未计入轴向力影响的情形下所得到的挠曲线明显更加平坦。这说明：梁的轴向力（拉力）具有降低梁的弯曲变形的作用，即梁的轴向拉力使梁呈现出“弯曲刚化现象”。因此，在两端被固定的梁的弯曲变形问题的分析和计算当中，计入梁的轴向拉力的影响是完全必要的。
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