第1章 绪论
强烈的振动对生产生活、科学研究都有严重危害。随着社会的快速发展，结构振动问题日益突出，振动逐渐成为制约产品性能的主要因素，减振需求越发迫切。各种精密机床和精密加工技术对精度要求越来越高，成千上万的高楼、大桥等高挠性建筑对风载能力、舒适度指标和抗震能力提出更多要求，导弹、舰艇和战车对在恶劣工作环境保持战斗能力的要求越来越苛刻。无论是在民用领域还是在军工领域，产品的性能都与减振技术密切相关。因此，各类工业部门对减振技术的发展和应用都十分重视，促使众多研究人员从事减振系统理论和实验研究，并不断取得新的研究成果，创造出各种各样的减振装置。
根据是否需要外加能量，结构振动控制策略大体可以分成两类：被动控制和有源控制。有源控制又可细分为主动控制和半主动控制[1]。振动有源控制的基本原理是在被控系统中引入次级振源，通过控制策略或算法调节执行器输出的幅值和相位，使其与原系统的振动相抵消，达到减振的目的[2]。振动有源控制常常需要被控系统的振动信息作为反馈，通常具有控制效果好、能够适应外界扰动和系统状态波动等优点。但由于造价昂贵、运行维护成本高等原因，振动有源控制系统主要应用在具有严苛减振要求的场景，例如精密仪表工程领域、航空航天和军工领域等。
被动振动控制策略通常具有不需要外界能量、结构简单、易于实现、经济性好和可靠性高等优点，在工程中得到广泛应用。目前，主要的被动振动控制策略可以分为结构修改、隔振和消振三大类[3]。结构修改无须附加任何子系统，通过改变受控对象的动力学特性参数以达到预期的减振指标。结构修改通常受限于系统的其他性能指标要求，仅适用于少数情况。通过把软垫放入振源与减振体之间，利用其塑性变形减轻振源对减振体影响的控制手段称为隔振。车辆的充气轮胎、柴油机基脚隔振器、浮筏和舱筏、包装仪器所使用的泡沫塑料填充物等都是常见的隔振装置。消振主要通过消振器与减振体之间的作用力来吸收、抵消或者耗散结构的振动能量。常见的消振装置包括高阻尼弹性材料、高层建筑内部安装的动力吸振器、冲击消振器等。
近年来，随着人们对非线性振动的认识越来越深刻，很多学者开始将其引入振动控制领域[4-7]。2001年，Vakakis等在研究非线性系统的能量传递规律时首次提出非线性能量阱（nonlinear energy sink， NES）的概念[8-10]。非线性能量阱是一类被动振动控制设备的统称，其主要特征是包含能产生非线性回复力的结构单元，如非线性弹簧单元、碰撞单元、转动质量单元等[11]。非线性能量阱通过非线性回复力与初级结构动力学耦合并实现振动控制[12，13]，其能够在很短的时间内吸收并耗散由冲击、爆炸、地震等产生的能量，迅速降低结构的全局响应。区别于传统被动控制设备，非线性能量阱实现振动响应控制的机理主要体现在以下几个方面。
（1）非线性能量阱能单向、不可逆地从初级结构中吸收并耗散能量。当与初级结构相连接时，非线性能量阱能像“泵”一样吸收能量，并将能量局部耗散 [14]。这种单向、不可逆的传递能量现象被称为靶能量传递（target energy transfer， TET）[15]。随着研究的不断深入，人们发现靶能量传递广泛存在于自然界之中，具有快速、高效、选择性强等特点 [16]。能量一经传递至非线性能量阱就无法或仅有少量能量返回到初级结构之中，从而实现降低初级结构响应的目的。
（2）非线性能量阱可实现初级结构不同模态之间的耦合。由于非线性因素的引入，非线性能量阱可以与初级结构各阶模态耦合，从而使系统的动态响应产生根本性的改变。与线性系统不同，非线性系统不再有单一的固有频率，而是能在宽频率范围内引起共振。通过合理设置，非线性能量阱可以实现与初级结构的某些模态耦合，从而有针对性地转移和耗散能量，降低初级结构响应。
（3）非线性能量阱可实现能量从低频振动向高频振动转移。由于非线性回复力的引入，带有非线性能量阱的系统在运动过程中不仅出现系统的固有频率，还能观察到其他频率成分。尤其是通过碰撞等不连续非线性回复力与初级结构耦合时，非线性能量阱可实现从低频振动向高频振动的转移。由于在相同能量水平下，高频振动具有位移幅值较小、更容易被阻尼耗散、被隔振装置隔离等特点，低频振动向高频振动的转移能从多个方面有效降低结构的动力学响应。
（4）非线性能量阱可实现能量在结构不同方向上的重新分布。对于工程中常见的结构，如楼房结构、船舶结构、航空航天结构等，通常存在不同方向抗冲击、振动性能不同的情形，比如楼房结构在水平方向更容易发生破坏而在垂直方向具有很强的抗冲击强度。通过合理布置，非线性能量阱能够实现能量在结构不同方向上的重新分布，将结构容易发生破坏方向的振动转移至结构强度较大方向的振动，有效提高结构的安全性。
相比于传统的振动控制设备，非线性能量阱具有独*的动力学特性，产生复杂的动力学现象。作为一类重要的、领先的被动振动控制设备，非线性能量阱受到国内外学者的广泛关注。迄今为止，在短短二十余年的发展中，随着研究的不断深入，非线性能量阱的新特性不断涌现，应用领域不断拓展，结构响应控制效果不断提升，具有十分广阔的应用前景。
1.1非线性能量阱设计研究现状
一般来说，非线性能量阱设计的关键是要包含能产生非线性回复力的结构单元，并利用其与初级结构之间的非线性作用力来实现振动抑制。常用于产生非线性回复力的结构单元包括非线性弹簧单元、碰撞单元、转动质量单元等。根据非线性回复力是否光滑，目前主流的非线性能量阱大致可以分为两大类：光滑非线性能量阱和非光滑非线性能量阱。判断非线性系统是否光滑，主要是看其相空间是否被曲面分割成若干区域。
1.1.1光滑非线性能量阱设计研究现状
研究比较广泛的是带有非线性刚度和非线性阻尼的非线性能量阱。由于这类系统的运动均可以用经典的杜芬方程描述，故称之为杜芬型非线性能量阱，其典型结构模型如图 1-1所示。在杜芬型非线性能量阱的研究中，如图 1-1（a）所示的结构模型受到广泛关注。在一些研究中，也将该杜芬型非线性能量阱称为非线性动力吸振器[7]。根据刚度随位移的变化规律不同，可将非线性弹簧分为渐软弹簧、线性弹簧和渐硬弹簧。特别地，当非线性弹簧刚度只有立方项时，该非线性能量阱被称为立方刚度非线性能量阱（cubic nonlinear energy sink， CNES）。由于回复力没有线性分量，非线性能量阱没有固有频率，可以与初级结构的任意模态耦合。Viguié等[17]以快讯的方式报道了具有渐软和渐硬特性的非线性振子对初级结构响应的抑制性能。Gendelman等[18，19]通过解析的方法分析了非线性能量阱系统的瞬态响应过程，讨论了阻尼对模态局部化向非局部化转移的影响，探究了非线性振子对模态能量重新分配的影响规律。Al-Shudeifat[20]通过几何非线性结构实现了负刚度弹簧，并将其应用到非线性能量阱的设计之中，发现非线性能量阱能实现高效的共振捕获和靶能量传递，并在短时间耗散 99%的冲击能量。Iurasov等[21]提出了一种双稳态非线性能量阱，研究了系统内部的靶能量传递现象，并通过实验验证了理论分析结果的正确性。Foroutan等[22]提出了一种调谐双稳非线性能量阱，通过多尺度法和谐波平衡法，研究了系统在 1∶1共振情况下的响应，分析了参数对调谐双稳非线性能量阱的能量吸收性能影响规律。Ramsey等[23]提出了一种具有几何非线性刚度的重力补偿非线性能量阱，利用等值线图对参数进行优化，得到了昀优阻尼和刚度，并将其应用到楼房振动控制之中。Feudo等[24]提出了一种可调刚度系数的磁性非线性吸振器，并将其应用于高层结构的振动控制之中。通过调节弹簧刚度，可以将装置设置为非线性调谐吸振器、非线性能量接收器以及双稳态调谐吸振器。Starosvetsky等[25]用复变量-平均法（complexi.cation-averaging method， CXA）研究了非线性能量阱中包含分段二次阻尼的情况，如图 1-1（b）所示。在简谐力激励下，非线性能量阱虽然能像传统的动力吸振器一样从初级结构吸收能量，但是其位移要小于动力吸振器的位移。值得注意的是，当将非线性能量阱应用于多自由度系统时，初级结构的各阶固有频率都能激发系统的强调制响应（strong module response， SMR），实现结构振动能量的耗散。Al-Shudeifat[26]研究了非线性能量阱产生的非线性回复力对其性能的影响规律，提出了一种具有非线性刚度和非线性阻尼的非线性能量阱。Jahn等[27]将非线性阻尼引入非线性能量阱的设计之中，通过数值方法得到了昀优阻尼，利用非线性频率响应函数评估了非线性能量阱的性能。
为了增强非线性能量阱吸振性能对初始条件变化的鲁棒性，张也弛等 [28]提出了串联型两自由度立方刚度非线性能量阱，如图 1-1（c）所示，并通过理论分析给出了非线性能量阱参数优化方法。仿真结果表明，该设计能够有效提高减振性能。几乎同时， Gendelman等[29]也提出了串联型两自由度立方刚度非线性能量阱。
由于是两级非线性弹簧的串联，该装置具有比单级非线性能量阱更强的非线性回复力。通过仿真分析发现，在不增加总体质量的情况下，串联型两自由度立方刚度非线性能量阱比单自由度立方刚度非线性能量阱具有更好的能量吸收性能。但需要付出的代价是串联型两自由度立方刚度非线性能量阱的位移响应幅值更大。Sapsis 等[30]将两个两自由度杜芬型非线性能量阱应用到结构冲击响应振动控制中，并分析了阻尼和刚度对控制效果的影响。Hubbard 等[31]通过频率能量图揭示了带有两自由度杜芬型非线性能量阱系统中复杂的动力学现象。孔宪仁等[32]对串联型两自由度立方刚度非线性能量阱在主共振频率附近的振动抑制效果进行了分析。结合复变量 -平均法和增量谐波平衡法分析了系统在主共振频率附近的动力学特性，比较系统在稳态响应段及强调制响应段的振动抑制效果。Wierschem等[33]对两自由度杜芬型非线性能量阱的理论进行实验验证工作，讨论了阻尼和刚度变化对能量吸收效果的影响，数值仿真和在两自由度楼房模型台架上的实验研究表明，这种两自由度杜芬型非线性能量阱能够在更宽的范围内吸收能量。Taghipour等[34]对简谐激励下，带有非线性能量阱的多自由度非线性系统稳态动力学行为进行了分析，发现单自由度非线性能量阱的性能对参数和外部激励变化的鲁棒性比较差，而对于两自由度的非线性能量阱，系统参数的变化对其性能影响比较小。因此，增加非线性能量阱的自由度能够提高系统鲁棒性。Bergeot等[35]考虑了一个不稳定的非线性初级结构的振动控制问题，并将多个单自由度杜芬型非线性能量阱并行布置，其结构如图 1-1（d）所示。通过解析的方法观察到四个稳态响应域，得到了慢变 -快变的临界流形，并用一个范德波尔振子作为初级结构，验证了上述分析的准确性。孙敏等 [36]对比了串联型与并联型非线性能量阱的吸振效果，研究了刚度系数、阻尼系数和安装位置对吸振效果的影响，还考虑了吸振效果与冲击幅值及温度之间的关系。
质量的旋转或者摆动也会产生非线性回复力，常常被引入非线性能量阱的设计之中。Sigalov等[37]利用质量的旋转产生的非线性回复力与初级结构进行耦合，首次提出旋转非线性能量阱，其结构模型如图 1-2（a）所示。通过将其应用于一个两自由度系统的振动控制之中，发现当系统内总能量很大时会产生混沌运动。当系统的阻尼很小时，非线性能量阱能够实现共振捕获并导致初级结构向非线性能量阱的靶能量传递。在共振捕获过程中，同一个振动频率会对应不同的非线性模态。在每一个非线性模态下，非线性能量阱都锁相到一个慢变过程和一个快变过程。其中，慢变过程与质量有关，快变过程与系统的总能量有关。Al-Shudeifat等[38]通过数值仿真对旋转非线性能量阱进行了参数优化。借助频率能量图发现了非线性能量阱的旋转模态和平动模态，指出在冲击载荷激励下，旋转模态的共振捕获能力要远远优于平动模态的共振捕获能力。
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