第1章绪论
1.1工程科学中的近似方法概述
工程中的问题往往都是比较复杂的，无论从结构形态、材料组成，还是载荷特征等方面，都会呈现十分复杂的特点。针对这样的工程问题，一般是很难得到解析解的。特别是工程中的非线性问题，更是难以得到解析的解答。为此，学者提出了许多近似求解的方法，如伽辽金方法、瑞利-里茨方法、摄动渐近解法等。近似方法的近代体现，主要集中在有限元、有限差分等数值方法方面。然而，有限元法(或有限差分法)并不是近似方法的终极形式。换言之，有限元等数值计算方法仅是源于近似方法的某种特定形式，并不能代替或涵盖全部的近似方法。例如，僵化的有限元法会带来维数过多的问题，对于一个复杂的工程问题，为了求解精度，有时要划分为很多的单元数和节点数，数量巨大，计算耗时长，数据存储容量也十分庞大，以至于一般的小型计算机无法完成计算。这里就存在一个再近似的问题。因此，不能说有了有限元等数值计算方法就无须再利用经典的近似方法。
数值计算方法和解析方法的区别是不言而喻的。数值计算方法往往是针对具体的结构和具体的参数进行的，给出的结果也是针对特定结构、特定参数、特定边界条件的。要想得到某个参数的影响规律，就需要做一系列的计算；要想得到多个参数的影响规律，就需要做更多的计算。例如，对于某个参数的规律研究，要计算m个点，则对于n个参数就需要进行m×n次计算。当然，也可以采用正交试验方法减少一些计算量。即使这样，要想探究参数的影响规律，用数值计算方法，还是要进行多次计算。与数值计算方法不同，解析方法会给出各参数一目了然的影响规律。因此，无论对于多么复杂的问题，总是首先想尽办法得到解析的规律。通常精确的解析规律难以获得，这时近似的规律就是一种不错的选择。通过试探函数等手段所得的近似规律更有助于认识问题的本质。从这个意义上讲，单纯的数值计算代替不了近似的解析分析。
经典的近似方法有很多，如伽辽金方法、瑞利-里茨方法、加权余量法、牛顿迭代法、差分法等，近代的近似方法也有不少，如摄动渐近解法、模态综合法、等效线性化法、有限元法、有限差分法等。
伽辽金方法是由苏联工程师、数学家伽辽金提出的，是直接针对微分方程求解问题提出的加权平均的一种近似方法，其用试探函数代替真解，并使论域内的加权平均满足微分方程，且加权函数与试探函数中的已知子函数相同。即将微分方程的求解问题转化成线性代数方程组的求解问题，从而达到求解微分方程的目的。
瑞利-里茨方法是由英国物理学家瑞利和瑞士物理学家里茨先后提出的一种求解泛函驻值问题的近似方法。也是通过选择一个试探函数来逼近问题的精确解(真解)。并将泛函驻值的求解问题转化成函数极值的求解问题，*终转化成代数方程组的求解问题。
加权余量法是比伽辽金方法更加广义的一种方法。它也是直接针对微分方程的近似求解问题，同样是借助试探函数，通过使近似解与精确解(真实解)的差(称为余量)的加权平均为零，进行近似求解。这里的权函数可以是与试探函数中已知子函数不同的函数。
牛顿迭代法是针对非线性方程求解问题提出的一种近似方法，是在设定某个初始值后，采用切线的近似解逐步逼近非线性曲线精确解的一种方法。类似地，也有学者提出用割线的近似解逐步逼近曲线精确解的方法。
差分法主要是针对微分方程，用差分代替微分，将微分方程转化成递推的代数方程。差分法中包括向前差分、向后差分和中心差分等不同的差分格式。它们的计算精度依赖于差分步长，步长越大，计算速度越快，但精度越低；步长越小，计算速度越慢，但能保证要求的精度。当然，步长也不是越小越好，步长太小还会引起较大的累积误差。
除了上述经典近似方法，针对非线性问题(包括强非线性问题和弱非线性问题)，近些年还提出了摄动渐近解和等效线性化等方法。摄动渐近解法又称小参数方法，其中包括正则摄动和奇异摄动两种类型。正则摄动可以有效处理弱非线性的问题，奇异摄动除了可以处理弱非线性问题，还可以处理一些强非线性问题。等效线性化法(又称统计线性化法或随机线性化法)主要是针对随机非线性振动问题提出的一种方法，其核心思想是用一种等效的线性项代替非线性项，等效的原则是使二者的统计平均值相同。
随着计算机技术的发展，计算速度越来越快，在经典的伽辽金方法和瑞利-里茨方法的基础上，发展出了有限元法，并成为近代使用*广泛的方法。与此同时，经典的有限差分法也被广泛地使用和发展。对于实际的复杂工程问题，为了达到所要求的计算精度，往往要将单元数划分得很多，有时其数量巨大，这就给计算机计算的速度和存储空间带来了严重挑战。为了有效解决这样的问题，在有限元数值计算过程中，还会再进行一定的近似和处理，因此又衍生出模态分析方法、模态综合法、子结构法(包括静力子结构法和动力子结构法)等一些近似方法。
模态分析方法是一种将问题的物理坐标转换成模态坐标的方法。而模态坐标具有鲜明的模态特征。模态特征，一方面表现为不同阶的固有频率特征，另一方面表现为对应的不同振型特征，此外，各振型还表现出明显的正交特征。对于一定频率载荷的激励，只有靠近该激励频率的振型才能被激发出来，而远离该激励频率的振型的响应十分微弱，在工程的意义上可以忽略。因此，将问题的物理坐标转换成模态坐标后，可以舍掉不被激励的模态，从而大大降低问题的维数，简化计算。
子结构法是有限元计算中的一种技巧。它针对具体的工程问题，将含有多个单元的某个区域看成一个超单元，将该区域内部的节点坐标都凝聚到边界的节点坐标上，从而降低问题的维数，实现工程上的计算。子结构法可以有效地应用到静力问题中，也可以应用到动力问题中。
动力子结构法针对动力问题，通过模态分析手段，将节点(特别是子结构区域内部的节点)的物理坐标转换成模态坐标，通过舍弃一些不被激发的模态，从而降低问题的维数，实现工程问题的近似计算。
所有这些方法都有其对应的理论基础和基本原理：伽辽金方法和加权余量法的原理是加权平均；瑞利-里茨方法的原理是将泛函的极值转化成函数的极值；牛顿迭代法的原理是线性化迭代逼近；摄动渐近解法的原理是通过小参数展开渐近逼近；等效线性化法的原理是统计平均；有限元法的基础则是变分原理；模态分析方法和模态综合法的机理则是共振原理。总之，任何一种方法都有其对应的理论基础，但这些方法都属工程应用上的近似方法。
近似方法在工程问题的分析中十分有效：一方面，绝大部分工程问题都很难找到精确的解析解，只有通过近似计算才能获得所需的解答；另一方面，从解析建模的角度来看，在建立理论模型的过程中，实际上已经做了很多假设，而这些建模过程中的假设实际上也是一种近似。因此，近似方法得到的解并不一定比解析的精确解准确度更低。关键要看近似的程度和对误差的判断。
除了上述方法，在工程应用中还有其他各种各样的近似方法，其目的都是实现有效的计算，特别是实现有效的简化计算。
1.2工程科学近似方法的基本思想
从已发展起来的各种近似方法可以看出，近似方法的基本思想大都是用平均值来代替精确值。有的是小范围的平均，有的是大范围的平均。小范围的平均可以是线性的平均，也可以是非线性的平均。大范围的平均是基于试探函数(一般是非线性的)的平均。这一思想在具体的近似方法中都有所体现。
有限差分法属于小范围的平均，其用差分代替微分，用差商代替导数，都是在步长的小范围内用平均值代替精确值。这类方法的计算精度直接取决于范围的大小，范围越小，精度越高。在差分法中就是步长越小，精度越高。当然，随之带来的问题是，步长越小，计算量越大。
有些方法为了达到要求的计算精度，还要不断地变化(实际上是缩小)范围。这一过程常表现为迭代过程，如在求解非线性问题的牛顿切线近似方法或割线近似方法中，就采用了使区间范围逐步缩小的迭代过程。因此，这种方法一方面体现出区间范围内的平均，另一方面体现出区间范围不断缩小。
伽辽金方法、瑞利-里茨方法等则是大范围的平均，其核心思想是让近似解在大范围的平均(或加权平均)值与精确解的平均(或加权平均)值相等。大范围平均值的计算形式体现为积分的形式，由于范围大时很难保证近似的精度，因此在大范围内进行平均近似时一定要选定相应的试探函数。试探函数选得好，近似效果就好；选得差，近似效果就差。而在大范围内选择较好的试探函数也是个难题。为此，学者提出了分片积分的思想。通过分片积分，将大范围的积分化成小范围积分再求和的形式。这样一来，范围也被缩小，在小范围内，无论是用线性的关系进行平均，还是选用其他形式的试探函数，其问题都简化了很多。有限元法就是基于这样的理念和思想发展起来的。
除了平均的手段，近似方法中的另一特点是用代数方程的求解代替微分方程的求解。差分法中的差分直接将微分方程转化成代数方程，而其他方法则是通过基函数的线性组合，将未知函数问题转化成未知系数变量问题，进而将微分方程的求解问题或泛函的变分问题转换成代数方程的求解问题或函数的极值问题。
第2章伽辽金方法与加权余量法
伽辽金方法和加权余量法属于同一类方法，都是通过加权平均来求解问题近似解的一种近似分析方法。伽辽金方法更具有代表性和先驱性，而加权余量法相对伽辽金方法更具有广义性和涵盖性。应该说，伽辽金方法是加权余量法中的一种。
2.1伽辽金方法
伽辽金方法是由苏联数学家伽辽金发明的一种近似分析方法。针对微分方程的求解问题，伽辽金方法通过选取有限多项试探函数，将其叠加，形成具有待定系数的函数组合作为近似解。通过在求解域内及边界上的加权积分(权函数为试探函数本身)满足原方程，便可以得到一组关于待定系数的线性代数方程。而一个多维的线性方程组可以通过线性代数方法求解，从而达到求解微分方程的目的。作为一种试探函数选取形式，伽辽金方法得到的只是在原求解域内的一个近似解，仅仅是加权平均满足原方程，并非在每个点上都满足。
关于试探函数，之后有专门的章节来论述，这里简单明确一下相关的概念。试探函数就是试着找一些满足某种条件(如边界条件等)的函数，在应用中，它不是某一个函数，而是一系列已知函数的组合，这一系列已知函数可称为试探函数子函数，而由这些试探函数子函数组成的函数系列可称为试探函数集。它是构造近似解的基础，若用试探函数作为近似解，则近似解就是这一系列已知试探函数子函数的线性组合，线性组合的系数是未知的待定系数。因此，从试探函数的基本特性上看：首先，试探函数是含有待定系数的函数，试探函数子函数是已知的函数；其次，试探函数集是一个函数系列，同时试探函数是满足某种条件的函数，由它构造的近似解应满足相应的边界条件。
这种方法的核心就是将求解微分方程的问题转化成求解线性方程组的问题，而线性方程组又可以通过线性代数方法进行简化求解，从而可以达到求解微分方程的目的。
伽辽金方法直接针对的是微分方程，加权积分处理的是近似解与精确解的差值，因此通常被认为是加权余量法的一种。加权余量法是一种让近似解与精确解的差值(称为余量或残量)在定义域内的加权平均值为零的近似方法。
考虑定义域为V的微分方程(又称控制方程)，其一般表达式为
(2-1-1)
其中，L为线性微分算子；为未知变量；f为已知函数。
未知变量的精确解应该在定义域内的每一点都满足上述方程。如果可以找到一个近似解，其必然与精确解之间存在一个误差.可将该误差称为余量(或残差)，从而有
(2-1-2)
如果能找到一个近似解在定义域内的每一点都使余量，那么这个近似解就是精确解，但事实上找到这样的解很困难。因此，近似解不可能使余量在定义域内的每一点都为零。若做不到这一点，则可以放宽一些条件，让近似解的余量在整个区域中经加权平均后为零，即
(2-1-3)
其中，为一系列的加权函数，加权函数选取不同，对应的近似方法也不同。近似解的选取不是一蹴而就的，通常需要按某种方式构造。*常见的构造方法是先选取一系列的已知函数组成一个试探作为试探函数子函数，函数集，然后将其进行线性叠加。线性叠加的系数为待定的系数，即
(2-1-4)
对于伽辽金方法，就是将试探函数集中的每个试探函数子函数都选作加权函数，
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