刘薰宇 （1896a—1967）

我国现代数学教育家、数学家、出版家。1928年留学法国，在巴黎大学研究数学。1930年回国后，先后在暨南大学、大夏大学、同济大学、西南联大任教。1949年后，任贵阳中学校长。1950年调任人民教育出版社担任副总编辑，曾审定全部中小学的数学教材，并亲自参加编写。

   曾与夏丏尊、叶圣陶、丰子恺等人一起创办《中学生》《新少年》等青少年期刊，并在期刊中发表了众多数学题材的趣味科普文章。这些文章启发了包括杨振宁、谷超豪等人在内的一代代年轻人的数学梦想。

《马先生谈算学》是著名数学教育家刘薰宇的经典数学科普，用图解的方法帮你轻松解决常见的四则运算。本书以“马先生”的口吻对一些算数问题进行深入浅出地讲解，收集了一百多道题目详加解析。

书中虽然提供了众多问题的详细解法，但正如作者所言，本书的主旨并非讲述死板的算法，而是用心介绍思考算学问题的途径，帮助读者理解算学的基本原理进而灵活解决现实问题。

《数学趣味》是应当时《中学生》期刊的广大读者的纷纷来信恳请而精心完成的。全书包含11篇文章，从数学的本源讲起，而后从生活中拾来鲜活的题材，对数学的法则和算法进行了精到的讲解。

如作者所言，这本书的目标是打破“数学是枯燥、不切实际的学科”的偏见，强调课本上

的法则、公式、定理是死板的，唯有将其和活泼的材料相结合，才是学习的正轨。

《数学的园地》是刘薰宇“以趣味丰富的文字写枯燥的算理”的又一经典力作，可谓高等数学的入门手册。系统地介绍了函数、连续、诱导函数、微分、积分和总集等概念以及它们的基本原理和算法。

高等数学令人望而生畏的概念，在作者的生花妙笔下，变得平易近人，只要学过基本代数和几何知识的人，都能轻松读懂并掌握要点。因此，初中生甚至部分小学生都可以凭借本书预习高等数学。

在嬉皮笑脸中来谈点严肃的数学法则。

——刘薰宇

早在中学时代，由于偶然的机会我对数学发生了兴趣，而且发现了自己的数学能力。20世纪30年代，开明书局出版了一份杂志，名叫《中学生》……有一位刘薰宇先生，他是位数学家，写过许多通俗易懂和极其有趣的数学方面的文章，我记得，我读了他写的关于智力测验的文章，才知道排列和奇偶排列这些极为重要的数学概念。

——杨振宁1983年对香港中学生的演讲

我一直没有尝过数学的兴味，一直没有游览过数学的世界，到底是损失！最近给我稍稍补偿这损失的，便是这册书里的几篇文章。我与薰宇结识后，他便做这些文章。他每次发表，我都读，诱我读的，是他们的富有趣味的题材。我常不知不觉地被诱进数学的世界里去。

                                                 ——丰子恺，《数学趣味》序言

我很早就对数学产生了兴趣，中学时期除了好好学习课本外，还看了不少课外书。记得看了刘薰宇的《数学的园地》，其中有一段讲述了微积分思想，从什么是速度讲起。当时在学中学物理课，我自以为很懂得速度、加速度等概念，然而读了这本书之后才发现，原来速度概念要用到微积分才能精确了解，于是对数学愈发地感兴趣了。

                                                                  ——谷超豪

一　数学是什么

这里所要说明的“数学”这一个词，包含着算术、代数、几何、三角等等在内。用英文名词来说，那就 是 Mathematics。它的定义，照平常的想法，非常简单、明了，几乎用不到再说明。若真要说明，问题却有很 多。且先举罗素（Russell），在他所著的《数理哲学》提出的定义，真是叫人莫名其妙，好像在开玩笑一样。

他说： “Mathematics is the subject in which we never know what we are talking about nor whether what we are saying is true．”将这句话粗疏地翻译出来，就是：“数学是这样一回事，研究它这种玩意儿的人也不知道自己究竟在干些什么。”

这样的定义，它的惝恍迷离，它的神奇莫测，真是“不说还明白，一说反糊涂”。然而，要将已经发展到现在的数学的领域统括得完全，要将它繁复、灿烂的内容表示得活跃，好像 除了这样也没有别的更好的话可说了。所以伯比里慈（Papperitz）、伊特耳 生（Itelson）和路易· 古度拉特（Louis Couturat）几位先生对于数学所下的定义也是和这个气味相同。对于一般的数学读者，这定义，恐怕反而使大家坠入五里雾中，因此拨云雾见青天的工作似乎少不了。罗素所下的定义，它的价值在什么地方呢？它所指示的是什么呢？要回答这些问题，还是用数学的其他定义来相

比较更容易明白。

在希腊，亚里士多德（Aristotle）那个时代，不用说，数学的发展还很幼稚，领域也极狭小，所以只需说数学的定义是一种“计量的科学”，便可使人心满意足了。可不是吗？这个定义，初学数学的人是极容易明白、满足的。他们解四则问题、学复名数的计算，再进到比例、利息，无一件不是在计算量。就是学到代数、几何、三角，也还不容易发现这个定义的破绽。然而仔细一想，它实在有些不妥帖。第一，什么叫作量，虽然我们可以用一般的知识来解释，但真要将它的内涵弄明白，也不容易。因此用它来解释别的名词，依然不能将那名词的概念明了地表示出来。

第二，就是用一般的知识来解释量，所谓计量的科学这个谓语也不能够明确地划定数学的领域。像测量、统计这些学科，虽然它们各有特殊的目的，但也只是一种计量。由此可知，仅仅用“计算的科学”这一个谓语联系到数学而成一个数学的定义，未免广泛了一点。 若进一步去探究，这个定义的欠缺还不止这两点，所以孔德（Comte）就加以修改而说：“数学是间接测量的科学。”照前面的定义，数学是计量的科学，那么必定要有量才有可计算的，但它所计的量是用什么手段得来的呢？用一把尺子就可以量一块布有几尺几寸宽、几丈几尺长；用一杆秤就可以量一袋米有几斤几两重，这自然是可以直接办到的。但若是测量行星轨道的广狭、行星的体积，或是很小的分子的体积，这些就不是人力所能直接测定的，然而由数学的方法可以间接将它们计算出来。

因此，孔德所下的这个定义，虽然不能将前一个定义的缺点完全补正，但总是较进一步了。孔德究竟是十九世纪前半期的人物，虽然他是一个不可多得的哲学家和数学家，但在他的时代，数学的领域远不及现在广阔，如群论、位置解析、投影几何、数论以及逻辑的代数等，这些数学的支流的发展，都是他以后的事。而这些支流和量或测量实在没什么关系。即如笛沙格 （Desargues）所证明的一个极有兴味的定理：“两三角形的顶点若在集交于一点的三直线上，则它们的相应边的交点就在一条直线上。

”

这个定理的证明，就只用到位置的关系，和量毫不相干。数学的这种进展，自然是轻巧地将孔德所给的定义攻破了。 到了 1970 年，皮尔士（Peirce）就另外给数学下了一个这样的定义：

“数学是产生‘必要的’结论的科学。”

不用说，这个定义比以前的都广泛得多，它已离开了数、量、测量等这些名词。我们知道，数学的基础是建筑在几个所谓公理上面的。从方法上说，不过由这几个公理出发，逐渐演绎出去而组成一个秩序井然的系统。所谓公式、定理，只是这演绎所得的结论。照这般说法，皮尔士的定义可以说是完整无缺吗？

不！依了几个基本的公理，照逻辑的法则演绎出的结论，只是“必然的”。若说是“必要”，那就很可怀疑。我们若要问怎样的结论才是必要的，这岂不是很难回答吗？

更进一步说，现在的数学领域里面，固然大部分还是采用着老方法， 但像皮亚诺（Peano）、布尔（Boole）和罗素这些先生们，却又走着一条相反的途径，对于数学的基础的研究他们要掉一个方向去下寻根问底的工夫。

于是，这个新鲜的定义又免不了摇动。 关于这定义的改正，我们可以举出康伯（Kempe）的来看，他说：“数学是一种这样的科学，我们用它来研究思想的题材的性质的。而这里所说的思想，是归依到含着相异和相同，个别和复合的一个数的概念上面。”

这个定义，实在太严肃、太文气了，而且意味也有点儿含混。在康伯 以后，布契（Bôcher）把它改变一下，便这样说：“倘若有某一群的事件与某一群的关系，而我们所要研究的问题，又单只是这些事件是否适合于这些关系，这种研究便称为数学。”在这个定义中，有一点最值得注意，布契提出了“关系”这一个词来解释数学，它并不用数咧、量咧这些家伙，因此很巧妙地将数学的范围扩张到“计算”以外。

假如我们只照惯用的意义来解释“计算”，那么，到了现在，数学中有些部分确实和计算没有什么因缘。 也就因为这个缘故，我喜欢用“数学”这个词来译 Mathematics，而不喜欢用“算学”。虽然“数”字也还不免有些语病，但似乎比“算”字来得轻些。倘使我们再追寻一番，我们还可以发现布契的定义也并不是“悬诸国门不能增损一字”的。不过这种工夫越来越细微，也不容易理解。而我这篇东西不过想给一般的数学读者一点儿数学的概念，所以不再往里面穷追了。

将这个定义来和罗素所下的比较，虽然距离较近，但总还是旨趣悬殊。那么，罗素的定义果真是开玩笑吗？

我是很愿意接受罗素的定义的，为了要将它说得明白些，也就是要将数学的定义——性质——说得明白些，我想这样说：“数学只是一种符号的游戏。”

假如，有人觉得这样太轻佻了一点儿，严严正正的科学怎么能说它是“游戏”呢？那么，这般说也可以：“数学是使用符号来研究‘关系’的科学。”

对于数学这种东西，读者大都有过这样的疑问，这有什么意思呢？这有什么用呢？本来它不过让你知道一些关系，以及从某种关系中推演出别的关系来，而关系的表出大部分又只靠着符号，这自然不能具体地给出什么用场和意义了。

为了解释明白上面提出的定义，我想从数学中举些例子来讲，更方便些。一开头我们就看“一加二等于三”。

在这一个短短的句子里，照句子法上的说法，总共是五个词：“一”“二”“三”“加”“等于”。这五个词，前三个是一类，后两个又是一类。什么叫“一”？什么叫“二”？什么叫“三”？这实在不容易解答。它们都是数，数是抽象的，不是吗？我们能够拿一个铜板、一支铅笔、一个墨水瓶给人家看，但我们拿不出“一”来，“一”是一个铜板、一支铅笔、一个墨水瓶。一个这样，一个那样，这些的共相。从这些东西我们认识出这共相，要自己保存，又要传给别人，不得不给它起一个称呼，于是就叫它是“一”。我为什么叫“薰宇”，倘若你要问我，我也回答不上来，我只能说，这只是一个符号，有了它方便你们称呼我，让你们在茶余酒后要和朋友们批评我、骂我时，说起来方便些，所以“薰宇”两个字是我的符号。

同样地，“一”就是一个铜板、一支铅笔、一个墨水瓶……这些东西的共相的符号。这么一说，自然“二”和“三”也一样只是符号。至于“加”和“等于”在根源上要说它们只是符号，一样也可以，不过从表面上说，它们表示一种关系。所谓“一加二”是表示“一”和“二”这两个符号在这里的关系是相合；所谓“等于”是表示在它前后的两件东西在量上相同。所以归根到底“一加二等于三”只是三个符号和两个关系的联缀。

单只这么一个例子，似乎还不能够说明白。再举别的例子吧，假定你是将代数学完了的，我们就可以从数的范围的逐渐扩大来说明。 在算术里我们用的只是 1，2，3，4，…这些数，最初跨进代数的门 槛，遇到 a，b，c，x，y，z，总有些不习惯。你对于二加三等于五，并不惊奇，并不怀疑；对于二个加三个等于五个，也不惊奇，也不怀疑；但 对于 2a+3a=5a 你却怔住了，常常觉得不安心，不知道你在干什么。其实 呢，2a+3a=5a 和 2+3=5 对于你的习惯来说，后者不过更像符号而已。有了这一个使用符号的进步，许多关系来得更简单、更普遍，不是吗？若是将 2a+3a=5a 具体化，认为 a 是一只狗的符号，那么这关系所表示的便是两只 狗碰到了三只狗成为五只狗；若 a 是一个鼻头的符号，那么，这关系所表示的便是两个鼻头添上三个鼻头总共就成了五个鼻头。 再掉转一个方向来看，在算术中除法常有除不尽的时候，比如2÷3。

遇见这样的场合，我们便有几种方法表示： （1）2÷3=0.667 弱（2）2÷3=0.6……2 （3）2÷3=0.6 4 （4）2÷3= 2 3 第一种只是一个近似的表示法；第二种表示得虽正确，但用起来不方便；第三种是循环小数，关于循环小数的计算，那种苦头你总尝到过；第四种是分数，

2

3

是什么？你已知道就是 3 除 2 的意思。对了，只是“意思”， 毕竟没有除。这和 3 除 6 得 2 的意味终是不同的。所谓“意思”便是“符号”。因为除法有除不尽的时候，所以我们使用“分数”这种符号。有了这种符号，于是我们就可以推究出分数中的各种关系。

在算术里你知道 5-3=2，但要碰到 3-5 你就没办法，只好说一句“不能够”。“不能够”？这是什么意思？我替你解释便是没有办法表示这个关系。但是到了代数里面，为了探究一些更普遍的关系，不能不想一个方法 来突破这个困难。于是有些人便这样想，3-5 为什么不能够呢？他们异口 同声地回答，因为还差2 的缘故。这一回答，关系就成立了，“从3 减去5 差 2”。在这个当儿又用一个符号“-2”来表示“差 2”，于是这关系就成为 3-5=-2。这一来，真是“功不在禹下”。有了负数，我们一则可探讨它自身所包含的一些关系，二则可以将我们已得到的一些关系更普遍化。

又如在乘法中，有时只是一些相同的数在相乘，便给它一种符号，譬 如 a×a×a×a×a 写成 a5。这么一来，关于这一类的东西又有许多关系可以发现了，例如：

不但这样，这里的 n 和 m 还只是正整数，后来却扩张到负数和分数去而得出下面的符号：

《马先生谈算学》目录

一　他是这样开场的　001

二　怎样具体地表出数量以及两个数量间的关系　007

三　解答如何产生——交差原理　014

四　就讲和差算罢　020

五　“追赶上前”的话　031

六　时钟的两只针　048

七　流水行舟　055

八　年龄的关系　060

九　多多少少　070

十　鸟兽同笼问题　073

十一　分工合作　078

十二　归一法的问题　092

十三　截长补短　097

十四　还原算　099

十五　五个指头四个叉　102

十六　排方阵　104

十七　全部通过　110

十八　七零八落　115

十九　韩信点兵　120

二十　话说分数　132

二十一　三态之一——几分之几　141

二十二　三态之二——求偏　144

二十三　三态之三——求全　149

二十四　显出原形　171

二十五　从比到比例　182

二十六　这要算不可能了　198

二十七　大半不可能的复比例　203

二十八　物物交换　209

二十九　按比分配　216

三十　结束的一课　225

《数学趣味》目录

一　数学是什么　001

二　数学所给与人们的　010

三　数的启示　017

四　从数学问题说到我们的思想　024

五　恨点不到头　039

六　堆罗汉　051

七　八仙过海　067

八　棕榄谜　090

九　韩信点兵　116

十　王老头子的汤圆　138

十一　假如我们有十二根手指　161

《数学的园地》目录

一　开场话　001

二　第一步　006

三　速度　009

四　函数和变数　015

五　无限小的变数——诱导函数　021

六　诱导函数的几何表示法　030

七　无限小的量　045

八　二次诱导函数——加速度——高次诱导函数　050

九　局部诱导函数和全部的变化　056

十　积分学　060

十一　面积的计算　067

十二　微分方程式　073

十三　数学究竟是什么　077

十四　总集论　082