第1章
赌博也要具备几何学的精神
—— 概率论的起源
001 意大利面的圈
在大众餐厅的一张桌子上坐着A和B两个人，两人正在等待自己
的菜上桌。现在，B 的面前已经来了一盘意大利面。
A ：你的意大利面，看上去很好吃啊。不知道有几根哦。
B ：为什么你会关心根数？
A ：假设这里面有50根吧！
B ：喂喂，凭什么这么假设啊？
A ：假设有50根，那面的两端就有100个，随机从中抽选两个端
点连接起来。
B ：怎么连接？系起来吗？
A ：细节不用在意。把所有的端点都连起来之后就算结束。请问，
你觉得能够连成圈的意大利面一共有几根？
B ：这是什么问题啊？但是，嗯，要是运气非常好的话，50根面
中会有 10根能连成圈吧？
A ：嘿嘿嘿，要使用概率的平均值来说的话，只有3根多一点的可
能性哦。
B ：……等等。刚才我粗略地数了数这个盘子里的意大利面大概有
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002 第1章 赌博也要具备几何学的精神——概率论的起源
多少根，估计应该有100根。那也就是说，我随便猜的，能够连成圈的有10根左右虽然不标准，但相差也不是太远吧？
A：嘿嘿嘿，就算是100根，平均值也只有3根多一点哦。
A所说的是实话。是不是有不少读者觉得这个数字太小，因而感到有些惊讶？概率论中有许多这样让人感到意外的事实。本章中，接下来将会向大家介绍许多有关概率论的起源的故事。上面的对话中出现的意大利面圈个数的平均值（概率论中一般称之为“期待值”）可以用一个巧妙的公式计算得出，具体的方法请看027（p.52）中的介绍。另外，B的直觉的确相差甚远，这也将在050的篇尾（p.106）提到。
002 天气预报与概率论
讨论到概率时，天气预报就是一个很好的象征。
包括诸多讨厌数学的人在内，人们每天都对“降雨概率”表现出了极大的关注。概率，作为一个数学上的概念——其实还是个非常高端的概念——极为罕见地、非常贴近我们的生活。当然，这时的“概率”是否有被准确地理解还是一个极大的未知数。然而，人们的确在根据“概率”提供的信息决定今天是否带伞，概率也确确实实地发挥了有效的作用，影响了人们的行动，每个人至少都粗略地理解了概率大致是什么。
还有一点。天气预报中会多次提到一位概率论伟人的名字——因为气压的单位是“百帕（hectopascal）”。“Hecto”是100倍的意思，而“pascal”则是取自布莱士?帕斯卡（Blaise Pascal）（1623—1662）的名字。正是因为帕斯卡在研究压力的领域中取得了不朽的成果，他的名字才被作为了气压的单位使用至今。帕斯卡和皮埃尔?德?费马
003 概率论诞生的年份 003
（1607—1665）一样，都是数理学上概率论的创始人。
003 概率论诞生的年份
1654年，帕斯卡和费马有过一连串的信件往来。在这些信件的往来中，一种此前史上从未被人解开的问题得到了正确的解答方式——那是一个非常具有历史性的成果。那个被解开的问题用今天的话来讲，就叫作“概率的问题”。因此，他们之间的这些往来的信件也可谓是开创了近代概率论、数理概率论以及古典概率论。
当时，帕斯卡和费马是欧洲大陆最优秀、最著名的两大数学家。理应与他们比肩的笛卡尔在那不久前已经辞世，而牛顿和莱布尼茨则要在很久以后才会登场。
004 “概率”这个词汇
数学中，概率这个概念在1654年（参照上一条）前是不存在的。1654年之后，概率的概念也不是立刻就使用了“概率”（英语中的“probability”）这个词来表示。当时，用来表示概率的是类似“运气”和“机会”这样的词语。尤其是在“机会的游戏”（英语中的“game of chance”）中，使用的是“机会”这个词。用更为通俗的语言来表达“机会的游戏”的话，正是现在的“赌博”。帕斯卡和费马这两个当事人，并没有留下任何可以证明两人曾在数学中使用过“概率”这个词的证据。
数学含义中的“概率”这个词又是在什么时候初次出现在文献中
004 第1章 赌博也要具备几何学的精神——概率论的起源
的呢？与帕斯卡交往密切的安托万?阿尔诺和皮埃尔?尼古拉在1662年出版的《伦理学》（也就是《波尔?尼亚尔逻辑》）的最后一章中，为“概率（probability）”这一词赋予了数学上的含义，这通常也被认为是在文献中的首次使用。
但是，这个词也并不是作为一个专业术语使用的，它的定义还不够明确。那之后，概率这个词也没有成为专业术语的倾向。似乎一直到了18世纪，“概率”这个词才明确地成为（古典）概率论的一种专业术语。这些事情我们在后面（054，p.113）会再次提及。
至少我们可以知道，1654年那会儿还没有我们现在所说的“概率”这门概念。也就是说，帕斯卡和费马不是单纯地开发出了“概率”的正确计算方法，而是创造了 “概率”这个概念自身（至少是创造它的一大原动力）。
比如说，我们可以将此事与牛顿和莱布尼茨在微积分学上的创始进行比较。微积分学所研究的是求切线、求面积和求体积这样的问题，但这种问题本身是从很久以前就存在的，微积分学的创始可以说是对计算方法进行了历史性的完成。
而相对的，概率论中，以前并不存在求概率或求期待值这样的问题。可是现代社会中，概率和期待值这个概念已经成为生活的一部分，我们甚至很难想象没有这个概念的时代。
005 赌场必胜法
——无论哪个时代，人们开始关注概率论初步研究的原因，一定都是基于赌博。
吐德哈特《概率论史》
这是发生在美国某个大学校园里的事。一位学生走进了数学老师的办公室。
学生：老师，我遇上了一点麻烦。
老师：怎么啦？
学生：今天之内，我必须要筹齐1000美元，但我手上只有990美元。这1000美元缺1分也不行，必须要正好1000美元。明天我老家就会寄钱过来，但我必须要在今天之内筹齐。
老师：10美元的话，随便找个人借一下不就行了。
学生：不是这样的，我才刚来这所大学没多久，还没有愿意借钱给我的朋友。所以我才来求助于您……
老师：但我可是概率论的教授哦，怎么能借钱给本校的学生呢？
老师的逻辑让学生有些摸不着头脑。
老师：啊，要不这样吧。和我赌一局牌吧，21点也行，也算是学习了概率。
学生：呃，在学校里赌博难道不是更加糟糕的事吗？
老师：不不，当然是到我的公寓里去玩了。
学生：我觉得问题的关键不是在哪里玩……
老师：对了，那就去赌场吧！合法的赌场！我开车带你去。这附近有家赌场是专门为你们这样的穷学生开设的，轮盘赌的最小赌注可以是1美分。用你的990美元作为赌注，在那里赚10美元就行了。
学生：但是，赌场输钱的概率不是更高吗？
老师：你所说的与其说是概率，不如说是期待值吧。那是肯定的，赌场也是一门生意，规则就是为了让赌场赚钱而设定的。
学生：那不是希望渺茫吗？
005 赌场必胜法？ 005
006 第1章 赌博也要具备几何学的精神——概率论的起源
老师：说什么呢！你又不指望在赌场发财，只是无论如何也要筹齐1000美元而已吧？那就只好去赌场了。嗯，筹齐的概率有百分之九十九。
学生：啊？真的吗？
老师：我可是概率论的教授，不会错的。
在这里补充说明一下，美式的轮盘赌中，会出现1到36，外加0和00，共计38种数字。押其中的1个数字的话，押中的概率就是1/38，赌注会以36倍的金额返还。如果赌注是1美元的话，押中时就能净赚35美元，没有押中的话就会输掉这1美元。在美国，以美分为单位的“合法”赌场应该是不存在的，但这种细节我们就不要在意了。
学生：我们要怎么赌才行呢？
老师：很简单，简单说来就是一直押一个数字，关键在于赌注的金额。需要把每次的赌注设定为押中时你手头的钱会超过1000美元，但又要尽可能地接近1000美元的金额。
学生：明白了！因为我想赚的是10美元，所以最初的赌注设定为10÷35=0.285……四舍五入得到29美分，最初的赌注设定为29美分就行了，对吧？
老师：对。要是输了的话你就离目标相差10.29美元，10.29÷35=0.294，四舍五入是30美分，再押30美分就行了。接下来你也知道了吧。
学生：但是，这样真的可以顺利赢到10美元吗？
老师：当然，只要赌注不限制小数点后的尾数的话。
老师在黑板上兴致勃勃地解释着，学生却完全没有听进去。
老师：嗯，果然，四舍五入之后，成功的概率是百分之九十九。
说完，老师又在电脑的计算软件中输入了某些公式，不到一分钟便露出了得意的笑容。
老师：没问题，以美分作为单位的话，成功的概率是百分之九十九。就算以美元作为单位下注的话，成功的概率也有百分之九十七。这可是连我都觉得惊讶了。
学生：总觉得结果有点难以置信，百分之九十九的概率的话，几乎可以说是绝对能够成功的吧？
老师：哎，这种时候不能说是“几乎绝对”。之前上课的时候不是讲过的吗？
学生：不好意思，确实是讲过的。
学生虽然嘴上这么说，但实际却并没有理解。“几乎绝对可以成功”这个说法，在数学世界的行话中意味着“概率等于1”，所以需要注意措辞。因为在日常用语中，“概率是1”就意味着“绝对成功”的意思。
学生：……话又说回来，剩下的百分之一的可能性又意味着什么呢？
老师：意味着你会失去990美元。要是以不成功作为基础条件的话，那倒是几乎绝对的。
学生：那我要是真的失去了990美元的话怎么办，您会帮助我吗？
老师：那怎么行，我可是概率论的教授啊！
005 赌场必胜法？ 007
008 第1章 赌博也要具备几何学的精神——概率论的起源
【补充】
为了让感兴趣的读者们进一步了解，我们还是在此把老师在黑板上演算的内容介绍一下吧。
如果赌注能够不限制小数点后的尾数的话，最初因为差额是10美元，所以赌注是10÷35=10×135，要是输了的话这次的差额就是101??135，所以第二次的赌注是101??135??135，再输的话差额就是101??1352，所以第三次的赌注是101??1352??135，……如此周而复始，只要输了就重复同样的算法。如此重复了之后，
剩下的金额=1000-差额≥差额×135
即：
差额×1??135≤1000
只要符合这个公式，则如此周而复始地连续输了K次以后，差额（美元为单位）则会变成：
101??135k
因此，如果能够重复的最大次数为n次的话，n就等于能够满足以下公式的最大值
101??135n??11??135??103635n1000
答案如果用（051，p.104中解说的）对数log来表示的话，n就是不超过
log3635100
的最大整数，其具体数值为163。
因此，学生可以尝试163次同样的赌法，而且只要不连续163次押错，就能达到自己的目标——将手头的金额增加到1000美元（就算连续押错163次，那之后能够挽回的可能性也还是有一点的，只不过可能性低得可以忽视）。每次押注时，押错的概率是3738，连续163次押错的概率则是
3738163
用1减去上面的结果，能够达成目标的概率就是略高于以下结果的数值：
1??37381630.98705
用百分比表示并四舍五入了之后，答案就是99%。
006 先驱者卡尔达诺
现在我们所说的属于概率计算范畴内的事，在帕斯卡和费马之前也并非没有数学家研究过。这其中尤为著名的，是一位名叫吉罗拉莫?卡尔达诺（1501—1576）的先驱者。
吉罗拉莫?卡尔达诺（1501—1576）
006 先驱者卡尔达诺 009
010 第1章 赌博也要具备几何学的精神——概率论的起源
有些人总是认为数学是一门井然有序的学科，不可能产生争议。对于这些人来说，卡尔达诺的人生简直是他们所无法想象的波澜壮阔。卡尔达诺有着无数的奇闻逸事，而他在数学上的建树是著有优秀的《大术》(Arsmagna)这本书，书中首次将三次方程式和四次方程式的代数解法公之于世。但因为这些解法并非卡尔达诺本人所发现的，因此又产生了许多的争议……这些事情说来就偏离了我们的主旨，在此按下不表。
在概率的领域中，没错，卡尔达诺深陷赌博不可自拔，整整25年。在他的自传中如此写道：
“……那段时间里，我并不是“时不时”地参加赌博，说来可耻，我是每天都在赌博。”
他甚至还留下了这样的至理名言：
“赢得赌博的最好的办法，就是完全不参加赌博。”
卡尔达诺还写了一本我们现在可以称之为概率——不，应该说是赌博的入门书。该书是在作者本人辞世很久以后的1663年才出版的，但从卡尔达诺的自传中可以得知这本书早在1525年就已经成书，并在1565年进行了修订。书中也包含了数学的内容，但对于当时最优秀的数学家之一的卡尔达诺而言，概率的计算实在是太难了。卡尔达诺的计算中有正确的部分，也留下了不少错误的算法。也就是说，卡尔达诺尚未能理解概率中最关键的部分。也正是因为这个原因，他才没能被后世称为概率论的创始人。
007 卡尔达诺的未解之谜——分配问题
被称为近代会计学之父的卢卡?帕乔利（1445—1517）在1494年写过一本名叫《SUMMA》的数学书，这本书因为史上首次对复式簿记进行了学术性的解说而著名。书中大致记载了这样的一个问题。
【问题】有一个赢者可以获得全部奖金的双人对战游戏。每局的得分是10分，先得到60分的人获胜。A和B两人正在进行游戏时，因为某些不得已的原因不得不中止了游戏。游戏中止时，A的得分是50分，B的得分是30分。请问奖金应如何分配给A和B？
这是后来统称为“分配问题”或“得分问题”的最古老的例子。
对于这个问题，帕乔利记载说应该以5∶3的比例分配。但要是从谁更有可能获得奖金这一点上进行公平判断的话，帕乔利的解法有着很大的疑问。事实上，卡尔达诺也认为这样的解法有问题，因此在《SUMMA》问世约45年之后的1539年，卡尔达诺在自己出版的著作中记述了自己的解答方式。
卡尔达诺认为，在进行奖金分配时，应该考虑到此后再得几次分就有可能获得奖金这一点。他的见解非常正确。于是卡尔达诺认为，具体来看，A还要再得一次分，而B还要再得三次分，因此得出了奖金应该以
1+2+3∶1=6∶1
的比例进行分配的结论。但他的算法中没有清楚地提到详细依据。至少，从“假如游戏能够继续，谁更有可能获得奖金”的概率这个观点上来看，卡尔达诺的结论并不是正确的。
这个分配问题要想迎来概率论上的“正确回答”（顺带一提，正确
007 卡尔达诺的未解之谜——分配问题 011
012 第1章 赌博也要具备几何学的精神——概率论的起源
回答是7∶1，可以参照010，p.16），还需要等上100多年——直到1654年帕斯卡与费马的来往书信中，答案才得以问世。
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