第1章张量分析基础
连续介质力学是研究连续体在外部作用下产生的变形及其运动规律的一门学科，而描述连续体变形、运动以及外部作用的物理量，在参考坐标系发生变化时都应该满足一定的变换规律。这些基本变换规律的描述需要涉及矢量和张量及其运算等数学工具，因此，在讲解连续介质力学基本原理之前有必要对将要使用到的矢量和张量分析基础知识进行简单的介绍。由于本书仅在三维欧几里得空间内讨论连续介质力学的基本原理，本章仅涉及三维笛卡儿坐标系下的矢量和张量分析基本内容，不讨论任何曲线坐标系下的张量分析方法，对张量分析的详细讨论和相关知识感兴趣的读者可参考《张量分析》(第二版)(黄克智等，2003)和《张量分析及应用》(余天庆、毛为民，2006)等书籍。另外，已经具备张量分析基础知识的读者可以直接进入第2章的学习。
1.1矢量代数和矩阵运算基础
1.1.1矢量代数基础
1.点
构成三维欧几里得空间的最基本元素即为点，它反映一定的空间位置，由x表示本书中的矢量和张量均用粗体字母表示，标量用斜体字母表示。。不同的x表示不同点所处的位置。在三维笛卡儿坐标系(即三维直角坐标系)下，一个点的位置可以用该点的三个坐标值表示。也就是说，x实际上可以由三个坐标值，即x1、x2和x3表示。
2.矢量
在三维欧几里得空间(欧氏空间)中，图1.1矢量v的几何意义具有大小和方向且满足一定变换规则的空间实体即为矢量(vector)，可用v来表示。例如，空间中两个点x和y之间的相对位置就可用一个矢量v表示(图1.1所示)，即
v=y-x(1.1)
由式(1.1)可得
y=x+v(1.2)
这表明，点x和矢量v之和是另一个点y。实际上，空间中任意一点的位置都可以用该点和坐标原点o之间形成的一个矢量表示，也就是说，点的位置x也可以由该点与坐标原点o构成的一个位置矢量来表示。
3.矢量的点积和叉积
矢量之间可以进行如下运算。
1)点积(dot product)
两个矢量u和v之间的点积运算可表示如下
u v=uvcosθ(1.3)
其中，u表示矢量的大小，是一个标量；θ为两个矢量间的夹角，分别有
u=u u(1.4)
cosθ=u vuv(1.5)
由式(1.3)所示结果可见，两个矢量间的点积运算得到的结果是一个标量值。
2)叉积(cross product)
两个矢量u和v之间的叉积运算可表示为
u×v=w(1.6)
其运算结果为一个新的矢量w，其大小为
u×v=uvsinθ(1.7)
方向为w⊥u，w⊥v，可通过右手螺旋法则来确定，如图1.2所示。
图1.2叉积运算的几何图示
由图1.2可知，两个矢量u和v之间叉积的大小u×v表示由u和v构成的平行四边形的面积，该面积当且仅当两个矢量u和v之间线性无关时才不为零。关于两个矢量间线性相关或线性无关的含义可以简述如下：对两个矢量u和v，如果有两个不全为零的标量α和β，使得αu+βv=0成立，则称矢量u和v线性相关；否则，矢量u和v线性无关。关于矢量间线性相关或线性无关的更多知识可参见相关文献，本节不作详细介绍。
3)混合积
三个矢量u、v和w之间的混合积运算可表示为
u v×w(1.8)
通过前面讨论的矢量间的点积和叉积运算法则可知，三个矢量的混合积，即式(1.8)的最终结果是一个标量。该混合积的大小u v×w实际上为由u、v和w三个矢量围成的平行六面体的体积，如图1.3所示。
如果该平行六面体的体积不为零，则表示u、v和w线性无关。与前类似，对三个矢量u、v和w，如果有不全为零的三个标量a、b和c，使得au+bv+cw=0，则称u、v和w线性相关；不满足线性相关特性的矢量之间则是线性无关的。
图1.3矢量u、v和w混合积的几何意义
4.矢量的性质
矢量相等的定义：
(1)若对于所有的矢量v，有a v=b v，则a=b；
(2)若对于所有的矢量v，有a×v=b×v，则a=b。
矢量运算的基本定律：
(1)矢量的和满足交换律
u+v=v+u(1.9)
和结合律
u+v+w=u+v+w(1.10)
(2)矢量的数乘满足分配律
a+bu=au+bu(a，b为实数)(1.11)
au+v=au+av(1.12)
和结合律
abu=abu(1.13)
(3)矢量的点积满足交换律
u v=v u(1.14)
和分配律
f u+v=f u+f v(1.15)
由矢量点积的运算法则还可以引出正定性的定义，即如果u u≥0，并且当且仅当u=0时u u=0，则称非零向量u≠0是正定的。另外，对于任意两个矢量，还满足如下所示的Schwarz不等式，即
u v≤uv(1.16)
(4)矢量的叉积满足分配律
f×u+v=f×u+f×v(1.17)
并且可定义三个矢量间的二重叉积为
u×v×w=u wv-u vw(1.18)
(5)矢量的混合积满足u×v w=u v×w，并将其记为u v w，则有
u v w=v w u=w u v=-v u w
=-u w v=-w v u(1.19)
5.求和约定及矢量的分量表示
1)笛卡儿坐标系(直角坐标系)
笛卡儿坐标系由一个原点和一组正向的正交基矢量e1，e2，e3构成，基矢量之间满足
ei ej=δij；ei ej×ek=εijk(i，j，k=1，2，3)
其中，δij为Kronecker函数，有
δij=1，i=j
0，i≠j(1.20)
εijk为置换符号(alternating symbol)函数，定义为
εijk=1，i，j，k=1，2，3=2，3，1=3，1，2
-1，i，j，k=2，1，3=1，3，2=3，2，1
0，(如果指标重复)(1.21)
注意：如果三个基矢量e1、e2和e3之间的混合积e1 e2×e3>0，则称基矢量e1，e2，e3是正向的。
2)Einstein求和约定
在前面讨论的笛卡儿坐标系的三个正交基矢量以及与此相关的Kronecker函数和置换符号函数中都引入了取值为(1，2，3)的指标(i，j，k)。
Einstein求和约定规定：在任意量中的两个相同指标都表示对该指标要进行(1，2，3)遍历求和。
例如，
uivi=u1v1+u2v2+u3v3
Sijuj=Si1u1+Si2u2+Si3u3
SikTkj=Si1T1j+Si2T2j+Si3T3j
上述例子中两个相同的指标称为哑标(dummy index)，可以用任意两个相同的指标符号表示。例如，
Sijuj=Sikuk=Simum
而式中的指标i则称为自由指标(free index)。
当然，在一些特定情形下，需要使用重复的指标来表示特定的含义，而不是表示遍历求和。在这种情形下，必须对此进行专门说明。例如，uivi(对i不求和)这就表示即使两个指标相同，也不表示要对它们遍历求和。
3)矢量的分量表示
在笛卡儿坐标系下，基于正交基矢量e1，e2，e3，每一个矢量都可用它的分量形式来表示。例如，
u=ujej(j=1，2，3)(1.22)
其中，uj称为u关于笛卡儿坐标系基矢量e1，e2，e3的分量。式(1.22)也可以写成
ui=u ei(i=1，2，3)(1.23)
以此类推，也可将点x的坐标写成
xi=(x-o) ei(i=1，2，3)(1.24)
其中，点o表示坐标原点。利用矢量的分量表示，矢量运算可直接地表示为
u v=(uiei) vjej=uivjδij=uivi(1.25)
u×v=(ujej)×vkek=ujvkej×ek=εijkujvkei(1.26)
展开
