第 1章经典场
场是力学量 (场量 )随空间坐标的变化而变化的系统 .描写一个场的构形需要给出空间每一点的场量 .比如电场 ,必须对空间每一点给出电场的 3个分量 ,才能知道整个电场的情况 .场论研究场的构形随时间的演化规律 .量子场论研究场在量子化以后的演化规律 .在这一章我们介绍经典场作为拉格朗日体系和哈密顿体系的方程 ,以及经典的 Noether定理 .由这条定理 ,可以从场的一些对称性给出它们对应的守恒量.
1.1经典拉格朗日体系与哈密顿体系
1.1.1拉格朗日方程
一个力学体系有一些量是可以自由变动的 ,这些量一旦确定下来 ,体系的构形 (位置 )便完全确定了 ,它们称为广义坐标 ,用 {qi}表示 , i =1, 2, 3, ,n.这个体系的自由度是 n .随便给出一个 qi随时间的变化关系 {qi(t)} ,就给出了这个体系的一个 “运动学上可能的运动 ”.然而 ,运动学上可能的运动并不一定是动力学上可以实现的运动 .找出运动学上可能的 ,同时也在动力学上可能的运动 ,就是动力学的目的,决定它们的方程叫动力学方程.
对动力学的保守体系,可以找到一个量叫拉格朗日量 L,它是 qi和 q˙i的函数,
L = L(qi,q˙i).
什么是动力学上可能的 ,也即是真实的运动呢 ?它就是要求 {qi(t)}满足拉格朗日方程的运动: d / .L \ L =0,i =1, 2, , n. (1.1.1)
dt .q˙i .qi
在最简单的情形 , L(qi,q˙i)= T . V ,其中 T是动能 , V是位能 .在其他情形 ,可以适当找出 L,使它的拉格朗日方程正好给出体系的动力学方程.
请注意 (1.1.1)式偏微商中的自变量 {qi}、{q˙i}以及全微商 d 的意思.如果给出一个运动, qi = qi(t),怎么判定它是否是真实的运动?dt
由 qi(t) → q˙i(t), {qi(t)}和 {q˙i(t)}给出 L以及 .L 、 .L ,它们都是时间的
.qi.q˙i d / .L
函数,因而可以得到 dt .q˙i \ ,再检查它是否满足方程 (1.1.1).若满足 ,就是一个动力学上允许的运动.
1.1.2作用量原理
拉格朗日方程可以用极值原理表示出来.我们首先定义作用量 S:
Jt2
S = L(q, q˙)dt. (1.1.2)
t1
从这个定义可以看出,每给定一个运动学上可能的运动,就可标出体系在 t1 ~ t2间的作用量.作用量原理是说,在初始和末了的位置确定 (即 qi(t1)和 qi(t2)都确定)的所有运动学上可能的运动中,真实的运动是使作用量取极值的运动.
推导如下:作用量的变更为
J t2
/ .L .L \ δS = δqi + δq˙i dt.
t1 .qi .q˙i
由 δq˙i = δ dd tqi = δ{[qi(t +Δt) . qi(t)]/Δt} d
=[δqi(t +Δt) . δqi(t)]/Δt = δqi,
dt
J t2 / .L .L d \
给出 δS = .qi δqi +dt δqi dt
.q˙i
t1
J t2 [ .L d / .L \/ d .L \叫
= δqi + δqi . δqidt
.qi dt .q˙i dt .q˙i
t1 t2
J t2 / .L d .L \ .L I
= . δqi . δqi . (1.1.3)
.qi dt .q˙i .q˙i
t1 t1
当拉格朗日方程成立并且在 t1和 t2 , δqi =0时 I
,对其余任意 δqi有 δS =0.反之,要求在任意 δqi下 δS =0,可推出拉格朗日方程及边界条件.
1.1.3哈密顿方程
由拉格朗日方程可以导出哈密顿方程,从而将拉格朗日体系改变为哈密顿体系.这样可以得到动力学体系的哈密顿形式,也称为正则形式.为此,首先定义广义动量 pi: = .L . (1.1.4)
pi .q˙i 它给出广义动量作为 q和 q˙的函数 pi = pi(q, q˙) ,然后反解出 q˙i = fi(q, p).定义哈密顿量
H = L piq˙i . L
= Lipiq˙i(p, q) . L(q, q˙(p, q)) i
= H(p, q). (1.1.5)
考虑哈密顿量的一个微小变更,
δH = L i δpiq˙i + L i piδq˙i . L i = L i q˙iδpi . L i .L .qi δqi. .L .qi δqi . L i .L .q˙i δq˙i (1.1.6)
因此, H作为 q和 p的函数有
.H .pi = q˙i, .H .qi = L .qi . (1.1.7)
又由拉格朗日方程 (1.1.1)得
p˙i = d dt p = d dt / .L .q˙i \ = .L .qi = H .qi . (1.1.8)
方程 (1.1.7)的第一个式子和 (1.1.8)式就是哈密顿方程 .一个运动对应的 pi(t),qi(t)如果满足哈密顿方程,就是一个动力学上可能的运动.问题:任意给定 pi(t),qi(t)是否是一个在拉格朗日意义下可能的运动?
1.1.4泊松括号
我们研究在哈密顿体系中 ,任意的力学量 A(q, p, t)如何随时间变化 . A对时间的变化率为
.A .A .A
˙
A =+ L q˙i + L p˙i
.t .qi .pi
ii
.A .A .H .A .H
=+ L . L (1.1.9)
.t .qi .pi .pi .qi
ii
.A
≡ + {A, H}.
.t
在这里我们定义
.A .B .A .B
{A, B}≡ L . L (1.1.10)
.qi .pi .pi .qi
ii
为泊松括号.泊松括号满足
{A, B} = .{B, A},
{AB, C} = A{B, C} + {A, C}B,
(1.1.11)
{αA + βB, C} = α{A, C} + β{B, C}, {A, {B, C}} + {B, {C, A}} + {C, {A, B}} =0.
其中 , α, β为常数,最后一个等式叫 JAcobi恒等式.习题证明这些式子.
由定义易得基本泊松括号:
{qi,pj} = δij , {qi,qj} = {pi,pj } =0. (1.1.12)
附录 1.1A不同基底下的泊松括号
如果已知 {Al}和 {Bl},以及它们之间的泊松括号 ,试计算新的基底下的泊松括号.
( .R .S .R .S )
{R, S}AB = L . ,
.Ai .Bi .Bi .Ai
i
(.R .S .R .S )
.qi .pi .pi .qi
i
{R, S}qp = L/ .R Al .R .Bl \/ .S 辛 .S 辛 \. = L.L + .Bl .Al.pi + 辛 .Bl.{qi . pi}
辛 .Al .qi .qi 辛 .Al.Bl.pi .R .S .Al .Al辛 .R .S .Al .Bl辛 = L .Al .Al辛 L .qi .pi + L .Al .Bl辛 L .qi .pi
i ll
辛辛
lli lli
.R .S .Bl .Al辛 .S .Bl .Bl辛
+ L .Bl .Al辛 L .qi .pi + L .Bl .Bl辛 L .qi .pi .{qi . pi}
辛辛 .R
lli lli
= L .R .S {Al,Al辛 }qp + L .R .S {Al,Bl辛 }qp llll
辛 .Al .Al辛辛 .Al .Bl辛
+ L .R .S {Bl,Al+ L .R .S 辛 }qp.ll辛 .Bl .Al辛辛 }qp ll辛 .Bl .Bl辛 {Bl,Bl
如果
{Al,Bl辛 }qp = δll辛 , {Al,Al;}qp = {Bl,Bl;}qp =0,
.S .S
上式 =0+ L .Al .Bl辛 δll辛 + L .Bl .Al辛 (.δll辛)+0 llll
辛 .R 辛 .R / .R .S .R .S \ = L .Al .Bl Bl .Al辛 = {R, S}AB.
l
所以在这特殊基底变换下,泊松括号不变.我们计算 dd t {qi,pj },
d (.H )( .H )
{qi,pj} = {q˙i,pj} + {qi,p˙j} = ,pj + qi, .
dt .pi .qj ( .2H .pj )(.qi .2H )
= L . 0+ L (.) . 0
.pi.ql .pl .ql .qj.pl
ll
.2H.2H
= . =0.
.pi.qj .qj.pi
类似地 ,我们可以证明 dd t {qi,qj} = dd t {pi,pj} = 0.因此 ,基本泊松括号不随时间改变,从而定义泊松括号可以用任何时刻的 q, p作为基底 ,尽管 (1.1.9)式的推导要求当时的 q, p为基底.
1.2经典场
在本节 ,我们用前面的结果推导场作为拉格朗日体系和哈密顿体系的经典运动方程.
1.2.1经典场方程
场是有无穷多自由度的体系,为了研究场 ,我们首先把它简化成一个有限自由度的体系,将空间划分为格点,如图 1.2.1.考虑到对应关系 qi → φ(xxl) → φ(xx).其中, xxl是分立的坐标点 xxl = {xi,yj,zk} .
图 1.2.1
我们把场量 φ(xxl)作为拉格朗日系统的广义坐标 ,把分立的 xxl作为广义坐标的 “指标 ”.这样 ,场就变成一个有限自由度的拉格朗日体系了 .因此 ,拉格朗日量是 φ和 φ˙的函数:
˙
L(qi,q˙i) .→ L(φ(xxi),φ(x
xi)).
由于通常场论是局域的 ,否则会有因果律的破坏 ,所以 L是一些局域拉格朗日量 l的和
L = L lijk = L(ΔV )Lijk. ijk
ΔV是一个格点元胞的体积 . lijk只依赖于 {xi,yj,zk}点及其附近的 φ和 φ˙.在以下推导中,我们考虑最简单的情形,比如说
lijk = f(φ(xi,yj,zk),φ(xi+1,yj,zk),φ(xi,yj+1,zk),φ(xi,yj,zk+1),φ˙(xi,yj ,zk)).
这个式子又可写成
lijk = f1(φ(xi,yj,zk), Vxφ(xi,yj,zk), Vyφ(xi,yj,zk), Vzφ(xi,yj ,zk),φ˙(xi,yj ,zk)),
其中,定义 1
Vxφ(xi,yj,zk)= (φ(xi+1,yj,zk) . φ(xi,yj ,zk)), xi+1 . xi
1
Vyφ(xi,yj,zk)= (φ(xi,yj+1,zk) . φ(xi,yj,zk)), yi+1 . yi
1
Vzφ(xi,yj,zk)= (φ(xi,yj,zk+1) . φ(xi,yj,zk)).zi+1 . zi
于是,我们有
˙
L = LVlijk(φ(xi,yj,zk), Vxφ(xi,yj ,zk), Vyφ(xi,yj,zk), Vzφ(xi,yj,zk),φ(xi,yj,zk)).ijk
当格点变得越来越密,我们可以将求和变为积分:
J dxdydz
LV= .
V ΔV
ijk
由此给出
dxdydz l
L = J lijk(φ, Vxφ, Vyφ, Vzφ, φ˙) = J dxdydz
V ΔV ΔV
J
→ dxdydzLxyz(φ(x, y, z),φ(x, y, z),φ(x, y, z),φ(x, y, z),φ(x, y, z)),V
.x .y .z .t
其中, Lxyz = lim lijk .
ΔV →0 ΔV 我们看到 ,在场论中 ,坐标 (x, y, z)相当于理论力学中广义坐标的指标 ,而场量 φ相当于广义坐标
q˙i → φ(x, y, z),因为指标没有变.
.t Lxyz称为拉格朗日密度 ,它可能只依赖于场量及其对时空坐标的偏微商 ,也可能明显地依赖于时空点的坐标 ,即 (x, y, z, t).我们以后遇到的情形通常只考虑最简单的情形,不考虑显含时空坐标.
例考虑一根弦,用 x表示它的原始坐标, . = x; . x是位移.
0 L设单位长度的弹性系数为 κ,也就是 ,当单位长度的弦的伸长为 l时,弹性张力为 κl,则当长度为 A,伸长为 b时,弹性张力为 κA b,拉到伸长 b要克服弹力做功
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