振荡器的相位噪声与频率稳定度第1章相位噪声和频率稳定度第1章相位噪声和频率稳定度在理论物理学中，“振荡器”是指一个长期以正弦曲线摆动或周期摆动的物体或物理量，理论上初始能量不变。其中，典型的例子就是原子，它的电子绕着原子核稳定旋转。相反地，在实验科学中，“振荡器”代表一种产品，它是由一个能量源产生一个周期信号。在本书中，“振荡器”通常指产品，如氢钟、微波炉的磁电管、名贵手表中的摆轮。严格来说，“钟”由振荡器、计算周期数和少数的齿轮箱构成。在数字电子学里，设置系统时间的晶振也被称为时钟。有时也使用“原子钟”一词表示达到稳定的原子跃迁的晶振，因为这种类型的晶振是最常用来计时的。本书绝大部分讨论振荡器频率的“精度” 这里“精度”是非专业术语。以及频率和相位抖动的机制。在此之前，介绍与“精度”相关的专业术语和基本的数学工具，用来描述频率和相位抖动。11窄频带信号理想振荡器的输出信号是υ(t)=V0cos(ω0t+φ)（理想正弦曲线）（11）
式中，V0=2Vrms为峰值振幅；ω0=2πν0为角频率ω是指角频率。在没有歧义的情况下，通常省略“角”这个词，给出以Hz为单位的数值，计算公式是ν0=ω/(2π)。;常量φ可假定为0。下面先介绍一些与式（11）相关的有用表达式。常用相量表示笛卡儿坐标系中的无噪声干扰的正弦信号，又称其为菲涅耳矢量。它由复数V=A+jB表示，从υ(t)分解出ω0t 振荡成分。绝对值|V|为υ0的均方根，V的相位为φ，并以cosω0t作为参考。或者由υ(t)展开获得相量，其公式是V0(cosω0tcosφ-sinω0tsinφ)。实部用cosω0t的均方根表示，虚部用-sinω0t的均方根表示。因此，理想信号（11）可用下面的相量表示：V=V02ejφV=V02cosφ+jsinφ（12）解析信号z(t)可更好地表示理想信号，解析信号又称为预包络，其表达式为z(t)=υ(t)+j(t)（解析信号）（13）
式中，(t)是υ(t)的Hilbert变换［即将υ(t)旋转90°］。解析信号最常用来表示窄带信号，即信号的功率集中在以ω0为中心频率的窄带信号附近。然而，形式上并不要求窄带宽，也不要求功率集中在ω0附近，甚至不要求ω0包含在功率带宽内。幅度和相位可以是（缓慢变化的）时变信号。通过剔除υ(t)频谱中的负频率部分并将其正频率部分乘以2，可求得解析信号z(t)。或者使用下列任一替换公式而求得z(t)：υ(t)=V02cos(ω0t+φ)z(t)=V(t)ej［ω0t+φ(t)］
z(t)=V(t)ejφ(t)ejω0t
z(t)=V(t)cosφ+jsinφejω0t(14)解析信号具有两个相关特性：(1) υ(t)的相位偏移量θ由z(t)乘以ejθ表示。(2) 由于负频率部分的功率为0，因此总的信号功率只计算正频率部分的功率。z(t)的复包络，即与z(t)有关的低通过程，可以通过去除解析信号的复振荡成分ejω0t得到。复包络是相量的自然延伸，在允许幅度和相位随着时间变化时使用：V=V02ejφυ～(t)=V(t)ejφ(t)（15）严格来说，相量是纯正弦。但是，术语“复包络”有时也用“相量”和“时变相量”代替。图11幅度和相位噪声
V0的单位为V;α(t)无量纲;φ(t)的单位为rad;x(t)的单位为s实际上，振荡器输出信号的幅度和相位是有波动的。这里引入理想正弦时钟信号（见图11），其表达式为υ(t)=V01+α(t)cosω0t+φ(t)，|α(t)|1；|φ(t)|1（16）“时钟信号”一词强调υ(t)的周期及其小数部分均可由电路测量得到，因此υ(t)可作为时间尺度。对于时钟，假设式（16）有很高的信噪比，因此可得出以下结论：(1) 式（11）的峰值振幅V0由包络V0［1+α(t)］代替，其中α(t)是一个随机波动振幅①。假定|α(t)|1（17）
其反映出实际振荡器中幅度的波动很小。在电子振荡器中，|α(t)|∈(10-3，10-6)。(2) 利用随机相位φ(t)代替式（11）中的相位常量φ，因为钟差易引入相位变化。在大多数情况下，假定|φ(t)|1（18）一个缓慢变化的相位通常称作漂移。长期观察一个时钟可知，|φ(t)|1的假定不再成立。但是，|φ(t)|可以通过载波频率除以大的有理数得到。由此，相位降低，使得条件|φ(t)|1在低频中成立。在笛卡儿坐标系中通过区分cosω0t和-sinω0t分量（见图1.2）可将时钟信号在笛卡儿坐标系中，更倾向于用x(t)cosω0t-y(t)sinω0t表示信号。本章中用x和y表示其他相关的物理量。定义为υ(t)=V0cosω0t+υx(t)cosω0t-υy(t)sinω0t（19）
式中，信号υx(t)和υy(t)分别称作噪声的同相和正交分量。图12带噪声正弦信号的相量表示式(16)的极坐标表达式和式(1.9)的笛卡儿表达式具有如下联系：α(t)=1+υx(t)V02+υy(t)V02-1（波动振幅）（110）φ(t)=arctanυy(t)V0+υx(t)（相位）（111）式（110）是实部(V0+υx)/2和虚部υy/2的勾股定理公式。式（1.11）是I/R的反正切，即虚部与实部比值的反正切。式（111）的一个问题是反正切运算返回主值，即在（-π/2，π/2）或者（-π，π）内两幅角反正切的值。累积的周期数（如有）需要分别计算。低噪声情况下，对于υx/V01和|υy/V0|1，有α(t)=υx(t)V0（波动振幅）（112）φ(t)=υy(t)V0（相位）（113）式（11）所示的理想正弦波的频谱是在ω0处的一条细线，数学上称其为狄拉克δ函数δ(ω-ω0)。噪声会使频谱扩宽：如果信噪比足够高，那么时钟信号可扩展成带宽两倍于φ(t)和α(t)的线宽。对于低信噪比，φ(t)则会产生一个大于两倍带宽的线宽。最终，随机相位φ(t)对信号功率没有贡献，瞬时功率P(t)=υ2(t)/R0。在低噪声条件下，用比振荡周期长、但是又比幅度波动的时间尺度T(α)短的时间Tm来平均，其功率为P(t)=V022R01+2α(t)，|α(t)|1，2π/ω0TmTα（114）例11估算频率为10MHz的振荡器一年内累计的时钟偏差，精确至10-10s内。钟差最大是Te=(Δω/ω)Tmean；因此，一年中Te=10-10×3.16×107s=3.2ms。振荡周期Tc=2π/ω0=10-7s。所以，10MHz载波一年内累积的钟差是n=Te/Tc=3.16×104周，而φ=2πn=2×105rad。12涉及的物理量通常，电子工程师用f表示频率，物理学家则用ν表示频率。但是，在时频测量领域中，符号的使用有时并不明确或者难以理解，因为在同一篇文章中，ν和f经常会同时使用。在20世纪80年代早期，作者以电子学和电信学的背景进入测量领域时，花费了很长时间去适应这种不必要的复杂性。关于频率稳定度，早期的文章中，用ν表示固定的频率，如载波频率或者差拍频率，而用f表示傅里叶频率，即频谱分析的变量。考虑到载波和低通波动是两个几乎独立的领域，其他文章在载波信号cos2πυ0t中用υ表示频率，而在低通波动（α和φ等）的谱分析中用f表示频率。当然，υ和f两个定义类似，很难确定该用υ还是f。另外让人困惑的是，有时甚至需要测量小于10-16s的抖动 将微小的数值和计算机内部数值表示联系起来是很有益的。自从IEEE标准“双精度”有15位尾数以来，10-16就比舍入误差少了一个数量级。。确切地说，没有一个频率是固定不变的。最终，建议务必检验特定公式中某一频率符号的准确意义。振荡器稳定度可以用相位抖动或者频率波动来描述。相位抖动已在之前的时钟信号定义式（16）中提到，即υ(t)=V01+α(t)cosω0t+φ(t)该表达式中隐含的假定是ω0为振荡器频率的最佳估值。ω0t描述振荡，用φ(t)描述其相位抖动。这种方法适合短期测量，此时振荡器稳定度足以让φ(t)保持在（-π，π）间隔内。对于长期测量，振荡器的漂移最终超过载波频率的半个周期，并且相位φ(t)也变得不明确。在这种情况下，则更倾向于使用频率波动来表征振动特性，那么时钟信号可以写为υ(t)=V01+α(t)cosω0t+∫(Δω)(t)dt（115）
式中(Δω)(t)=φ·(t)（116）
则是角频率抖动。另外，将相位噪声转换成时间抖动常用的方法（见图1.3）是将φ(t)进行归一化处理，以s为单位，并且使振荡频率标准化。下面给出一些变量的定义，掌握这些知识可以方便读者直接阅读有关相位噪声和频率稳定度的普通文献，图13介绍了与典型实验装置有关的物理量。(1) φ(t)表示相位噪声，即式（16）定义的随机相位抖动。(2) α(t)表示分幅度噪声（简称“幅度噪声”），即式（16）定义的随机幅度抖动。(3) ν表示载波频率，可以是无线电频率、微波频率或光频率，也可以用来表示两个载波之间的拍频。符号ν可以是变量（作为频谱分析仪上的频率轴）或者是常量（作为一个近似恒定的振荡器频率）。同时，还可以作为后面介绍的量(Δν)(t)。举例说明：两个振荡器频率分别为ν1=10GHz和ν2=10.24GHz。在频谱分析仪上，可以看到两条谱线ν=ν1和ν=ν2。混频后，拍频为νb=ν2-ν1=240MHz。Δν=ν-ν0是实际频率ν和参考频率ν0的差值。ν0可以是标称频率或者是一个接近ν的参考频率。(Δν)(t)表示瞬时频率抖动（或噪声）。隐含的假定是有高调制指数的慢调制，使信号可以通过慢振动载波逼近。这就意味着载波和边带消减成一个跟踪调制的单一狄拉克δ函数。在大多数实验中，在舍弃直流成分后，则认为(Δν)(t)是频率比较器的振荡输出。图13振荡器噪声的时域测量简图
其描述了时频测量中涉及的主要物理量f表示检测后低通处理的谱分析中接近直流的频率。因此，f与φ(t)、α(t)、υx(t)和υy(t)等一起使用。f可以是一个变量(作为FFT理论上不需要采用FFT分析仪来测量近直流过程。但是，在任何情况下都采用这类频谱分析仪。分析仪上的频率轴）或者是一个常数。举例说明：检测微波放大器在一些特定条件下的相位噪声，发现白噪声在高频f处，而闪烁噪声的频率低于角频率fc。
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