第 1章矩阵广义逆
矩阵广义逆在数值分析、密码学、运筹学、概率统计、组合数学、最优化以及天文学、地球科学、经济管理和各种工程科学中有广泛的应用 [1～3].由于研究问题的不同 ,出现了多种类型的广义逆 ,如 Moore-Penrose逆、 {1}–逆、 {2}–逆、 DrAzin逆、群逆和 Bott-Du.n逆等 .广义逆已有多部英文专著 [4～12]和中文专著 [13～18].广义逆的扰动分析、保持问题等其他相关研究见文献 [19]～[25].
本章将介绍广义逆的一些基本概念、性质及其应用 [4, 5].
1.1矩阵分解
本节列举了矩阵论中一些常见的矩阵分解 ,这些分解可以帮助读者更好地理解矩阵广义逆的本质.
令 Km×n、Cm×n和 Rm×n分别表示体 K、复数域 C和实数域 R上所有 m × n矩阵的集合,令 Cn和 Rn分别表示 n维复向量空间和 n维实向量空间.
定理 1.1.1[26]设 A ∈ Km×n, rAnk(A)= r,则存在可逆矩阵 P, Q,使得
( Ir 0 \
A = P Q,
00
其中 Ir表示 r阶单位矩阵.
定理 1.1.1中的分解称为矩阵 A的等价分解.
定理 1.1.2[26, 27]设 A ∈ Kn×n ,则存在可逆矩阵 P ,使得
(Δ 0 \ P .1
A = P,
0 N
其中 Δ可逆, N幂零.
定理 1.1.2中的分解称为矩阵 A的核心 –幂零分解 .下面介绍矩阵的满秩分解 .
定理 1.1.3 [11]设 A ∈ Km×n, rAnk(A)= r,则存在列满秩矩阵 B ∈ Km×r和
行满秩矩阵 C ∈ Kr×n ,使得 A = BC.证明由定理 1.1.1,存在可逆矩阵 P, Q,使得
( Ir 0 \
A = P Q.
00
令 B = P ( I0 r \ , C =( Ir 0) Q,则 A = BC即为 A的一个满秩分解
对于 A ∈ Cm×n , AT和 A.分别表示 A的转置和共轭转置 .熟知矩阵 AA.与 A.A都是半正定的 ,并且它们有相同的非零特征值 .设 rAnk(A)= r, λ1,λ2, ,λr是 AA.的非零特征值,称 √ λ1, √ λ2, , √ λr为 A的奇异值.
下面介绍矩阵的奇异值分解.
定理 1.1.4[28～30]设 A ∈ Cm×n ,则存在酉矩阵 U ∈ Cm×m,V ∈ Cn×n ,使得
(Δ 0
\
A = U V,
00
其中 Δ为可逆的正对角矩阵,其对角元素为 A的奇异值.
1.2 Moore-Penrose逆
广义逆的概念最早由 I. Fredholm于 1903年提出 ,这种广义逆称为 Fredholm积分算子广义逆 [31]. W.A. Hurwitz于 1912年利用有限维 Fredholm积分算子的零空间给出了此类广义逆的一个简单的代数表征 [32]. D. Hilbert在讨论广义 Green函数时提出了微分算子的广义逆[33].
1920年,在《美国数学会通报》上 ,美国科学院院士 E.H. Moore利用投影算子定义了一种矩阵广义逆 [34]. 1955年,美国科学院外籍院士 R. Penrose用矩阵方程的形式给出了它的等价定义[35].下面是 R. Penrose给出的广义逆定义.
定义 1.2.1[4]设矩阵 A ∈ Cm×n .如果矩阵 X ∈ Cn×m满足下面四个方程：
AXA = A, XAX = X, (AX). = AX, (XA). = XA,
则称 X是 A的 Moore-Penrose逆 (简称 M-P逆),记为 A+ .
显然,若 A为可逆方阵,则 A.1 = A+ .下面讨论 M-P逆的存在性和唯一性.
定理 1.2.1[4]对任意 A ∈ Cm×n , A+存在且唯一.
0
证明由矩阵的奇异值分解知 ,存在酉矩阵 U和 V使得 A = U( Δ \V ,
00
其中 Δ为可逆的正对角矩阵.令 X = V . ( Δ.1 0 \U下面证明 X满足 M-P逆的四个条件:
00
00 0
( I \( Δ \( Δ \
AXA = UU . UV = UV = A,
0000 00
( I 0 \( Δ.1 0 \( Δ.1 0 \
XAX = V . VV . U . = V . U . = X,
0000 00
(( I 0 \ U .\. ( I 0 \ U .
(AX). = U = U = AX,
00 00
(( I 0 \\. ( I 0 \
(XA). = V . V = V . V = XA.
00 00
因此 A+存在.下面证明 A+的唯一性.设矩阵 X1和 X2都是 A的 M-P逆,则
X1 = X1AX1 = X1(AX2A)X1 = X1(AX2)(AX1)= X1(AX2).(AX1). = X1(AX1AX2). = X1(AX2). = X1AX2 = X1AX2AX2 =(X1A).(X2A). X2 =(X2AX1A). X2 =(X2A). X2 = X2AX2 = X2.
故 A+存在且唯一由定理 1.2.1的证明可得到如下定理.
0
定理 1.2.2[4, 5]令 A ∈ Cm×n的奇异值分解为 A = U ( Δ \V ,其中 U, V
00 为酉矩阵, Δ为可逆的正对角矩阵,则
( Δ.1 0
\
A+ = V . U
00
下面的定理利用满秩分解给出 M-P逆的一个公式.
定理 1.2.3[4]令复矩阵 A的满秩分解为 A = BC,则
A+ = C .(CC .).1(B . B).1B
证明由于 rAnk(B.B) = rAnk(B),因此 B.B可逆.同理 CC.可逆.令
X = C .(CC .).1(B . B).1B
易证 X = A+ 由上述定理不难得到如下推论.推论 1.2.1若复矩阵 A列满秩 ,则 A+ =(A.A).1A.;若复矩阵 A行满秩 ,
则 A+ = A.(AA.).1 . M-P逆有如下一些性质[4, 5].
定理 1.2.4设 A ∈ Cm×n ,则
(1) (A+)+ = A;
(2) (A.)+ =(A+).;
(3) (λA)+ = λ.1A+,0= λ ∈ C;
(4) (A.A)+ = A+(A.)+,(AA.)+ =(A.)+A+;
(5) (P AQ)+ = Q.A+P . ,其中 P ∈ Cm×m,Q ∈ Cn×n为酉矩阵;
(6)若
A列满秩,则 A+A = In,若 A行满秩,则 AA+ = Im.
证明令 A的奇异值分解为 A = U ( Δ 0 \ V ,其中 U, V为酉矩阵 , Δ为可
00
逆的正对角矩阵.由定理 1.2.2知, A+ = V . ( Δ0 .1 00 \ U易证 (1)～(6)成立
定理 1.2.5设 A ∈ Cm×n .若 A =( B 0 ),则 A+ = ( B+ \;若 A = ( B \ ,
00 则 A+ =( B+ 0 ).
( B+ 证明对于 A =( B 0 ),易证 ( B+ \满足 M-P逆定义的四条 ,故 A+ =
0 \ .对于 A = ( B \ ,同理可证 A+ =( B+ 0 )
00
定义 1.2.2 [11]设矩阵 A ∈ Km×n .如果矩阵 X ∈ Kn×m满足 AXA = A,则称 X是 A的 {1}–逆,记为 A(1).
对于 A ∈ Cm×n ,显然 A+是 A的一个 {1}–逆.若 A为可逆方阵 ,则 A(1) = A.1 .根据 {1}–逆的定义,可以得到以下性质.
定理 1.2.6设 A ∈ Km×n ,则
(1) rAnk(A) : rAnk(A(1));
(2) (P AQ)(1) = Q.1A(1)P .1 ,其中 P, Q为可逆矩阵;
(3) AA(1)和 A(1)A都是幂等阵.
下面通过矩阵的等价分解给出矩阵 {1}–逆的一般表示.
( I 0
定理 1.2.7令 A ∈ Km×n的等价分解为 P AQ = \ ,其中 P, Q为可逆
00 矩阵,则
X
( I \
M = QP
YZ
是 A的一个 {1}–逆,其中 X, Y, Z是任意矩阵 ,且 A的任意一个 {1}–逆均具有上述形式.
X
证明设 M = Q ( M1 \ P是 A的一个 {1}–逆,则
YZ
( I 0 \( M1 X \( I 0 \
P .1 Q.1QQ.1
AMA = PP .1
00 YZ 00 P .1 ( M1 0 \ Q.1 = P .1 ( I 0 \Q.1
== A.
00 00 因此 M1 = I, X, Y, Z是任意矩阵由定理 1.2.7知 A(1)是存在的 ,并且如果 A不是可逆矩阵 ,则 A有无穷多个
{1}–逆.
1.3 DrAzin逆
1958年, M.P. DrAzin[36]在研究结合环的代数结构时提出了一种伪逆的概念 ,后来学者们把 M.P. DrAzin提出的这种伪逆称为 DrAzin逆.为了介绍矩阵 DrAzin逆的概念,首先引入 DrAzin指标的定义.
定义 1.3.1[11]设 A ∈ Kn×n ,称使得 rAnk(Ak) = rAnk(Ak+1)成立的最小的非
负整数 k为 A的 DrAzin指标,记为 ind(A).由 DrAzin指标的定义知, A ∈ Kn×n可逆当且仅当 ind(A) = 0.定义 1.3.2[11]设 A ∈ Kn×n, ind(A)= k.如果 X ∈ Kn×n满足
AkXA = Ak , XAX = X, AX = XA,
则称 X是 A的 DrAzin逆,记为 AD .下面讨论 DrAzin逆的存在性和唯一性.定理 1.3.1对任意 A ∈ Kn×n , AD存在且唯一.
( Δ 0 \ P .1
证明令 A的核心 –幂零分解为 A = P 0 N ,其中 Δ可逆, Nk = 0,
Nk.1 = 0.根据 DrAzin指标的定义,有 k = ind(A) = ind(N).
令 X = P ( Δ.1 0 \ P .1 .下面证明 X是 A的 DrAzin逆.
00 (Δk 0 \( Δ.1 0 \( Δ 0 \P .1
AkXA = PP .1PP .1P
00 000 N
(Δk 0 \P .1
= P = Ak ,
00
(Δ.1 0 \( Δ 0 \(Δ.1 0 \ P .1
P .1PP .1P 00 0 N 00 XAX = P
(Δ.1 0 \ P .1
= P = X,
00
(Δ 0 \( Δ.1 0 \ P .1 ( I 0 \P .1
P .1P 0 N 00 00
(Δ.1 0 \(Δ 0 \
AX = P = P
= PP .1PP .1 = XA.
0 0 0 N
因此 X是 A的 DrAzin逆.下证 AD的唯一性 .设 X, Y都是 A的 DrAzin逆.令 E = AX = XA, F = AY = YA,则 E2 = E, F 2 = F .因而
E = AX = AkXk = AkY AXk = AY AkXk = F AX = F E,
F = YA = Y kAk = Y kAkXA = Y AE = F E.
故 E = F .因此 X = AX2 = EX = FX = Y AX = YE = YF = Y 2A = AY 2 = Y ,即 AD唯一由上述定理的证明可得到如下定理.
0
定理 1.3.2令 A ∈ Kn×n的核心–幂零分解为 A = P ( Δ \ P .1 ,其中 Δ
0 N 可逆, N幂零,则
( Δ.1 0 \
AD P .1
= P ,
00
且 ind(A) = ind(N).由定理 1.3.2不难得到 DrAzin逆的如下等价定义.定义 1.3.3设 A, X ∈ Kn×n .若存在整数 l . ind(A),使得
AlXA = Al , XAX = X, AX = XA
成立 ,则称 X是 A的 DrAzin逆.下面是 DrAzin逆的一些基本性质[4, 5].
定理 1.3.3设 A ∈ Kn×n ,则
(1) (λA)D = λ.1AD,0= λ ∈ K;
(2) (P AP .1)D = PADP .1 ,其中 P ∈ Kn×n为可逆矩阵;
(3) (AD)r =(Ar)D;
(4) AD =0当且仅当 A是幂零矩阵.
( Δ 0
证明令 A的核心 –幂零分解为 A = P \ P .1 ,其中 Δ可逆 , N幂零 .
0 N 由定理 1.3.2知 AD = P ( Δ.1 0 \P .1 .易证 (1)～(4)成立
00 定理 1.3.4设 A ∈ Kn×n ,则 AD = Al(A2l+1)(1)Al ,其中 l . ind(A).
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