顾樵，现代科学家，发表114篇论文和5本专著，完成30多个科研项目，两项专利。主要研究激光物理学和量子光学。

量子力学Ⅰ是一部内容丰富、贯通中西的综合性量子力学专著，根据作者20多年来在德国和中国开设量子力学讲座和相关研究成果提炼而成。量子力学Ⅰ共17章，划分为六个层次：背景知识，基本理论，基本理论问题的新解法，重要专题讨论，扩展到其他学科，联系到较新进展和前沿课题。量子力学Ⅰ注重自身理论体系的科学性、严谨性、完整性与实用性。将中国传统教材与国外先进教学内容相结合；将量子力学的纵向演化与知识现状相结合；将基本理论问题与相应的新解法相结合；将概念性表述与专题讨论相结合；将应用实践与其他学科相结合；将基础性知识与较新进展和前沿课题相结合。既为教学所用，又适应科研需要。附有大量不同类型的综合性例题，便于不同层次读者从中学习和掌握分析问题、解决问题的思路与方法。量子力学Ⅰ为前8章，量子力学Ⅱ为第9～第17章。

第1章量子力学基础第1章量子力学基础自1900年德国物理学家马克思·普朗克(Max Planck)提出“量子”概念并建立黑体辐射公式以来，量子力学已经走过了100多年。量子理论在众多科学和技术领域取得了巨大的成功。今天，我们应当如何理解和掌握这门重要学科的核心思想与基本原理？法国著名实证主义哲学家奥古斯特·孔德(Auguste Comte)指出：“要了解一门科学，必须知道它的历史。”如果只注重横向地了解一门知识，而忽略追踪这门知识的纵向演化，这是一种缺憾。不知道一门科学的历史，就不可能透彻理解它的现状。本章在综述经典物理学基本知识的基础上，介绍量子力学产生、发展和完善的历史过程。这些背景知识对于理解量子理论体系的形成具有十分重要的意义。11经典物理学综述在历史上，经典物理学(classical physics)经过两个多世纪的发展，到19世纪末叶已经达到它的鼎盛时期。这表现在诸多物理学科的建立、完善及其广泛的应用。主要涉及牛顿力学、热力学与统计物理、光学、电磁学与电动力学。本节对经典物理学的基本知识予以综述，它们对于量子力学(quantum mechanics)的建立具有重要的奠基作用。111牛顿力学首先，1687年牛顿(Newton)在其著名的《自然哲学的数学原理》一书中，对万有引力和质点动力学的三个定律进行了细致的描述。特别是牛顿第二定律在数学上表示为F=md2rdt2(111)
其中，m表示质点的质量，r是质点在时刻t的位移，而F则是质点受到的合力。牛顿力学（Newtonian mechanics）的研究思路是非常明确的：只要知道了质点的初始位移r(0)和初始动量m(0)，通过求解微分方程(111)，就可以得到任意时刻的位移r(t)，并进而得到任意时刻的动量m(t)。因此牛顿力学的物理图像是质点的轨道(图111)，反映在哲学上，则是因果律(causality)。在这里，初始条件与微分方程同属“因”，二者是同等重要的。牛顿力学在当时解决了无数个工程上的问题，没有遇到任何理论上的障碍。因此物理学家中普遍存在一种乐观的情绪，认为力学在物理上已经发展到尽头了，已经成为所谓“经典力学”(classical mechanics)，剩下的问题“只是求解微分方程而已”。图111牛顿力学的物理图像：质点的轨道
经典力学的巨大成功还表现在物理模型(physical model)的成功。经典力学的主要研究对象是“质点” (particle)，质点是一个“几何点”：只有位置和质量，没有大小。但是，质点动力学可以用来描述天体的运行，如月亮和地球的运动。特别是，牛顿力学的质点模型直接导致了海王星的发现(Neptunes discovery)。海王星作为太阳系的第八行星，其发现过程非常奇特。之前发现的众多行星，都是首先通过肉眼或望远镜观测，然后根据观测数据，计算出运动轨道。而海王星的情况恰恰相反，它的发现是根据太阳系的第七颗行星天王星运动轨道观测值与理论计算结果不相符合的事实，推测太阳系应该还有一颗未知行星。然后按照计算的结果，用望远镜去观测，果然在预言的位置发现了太阳系的第八行星——海王星。海王星的发现是牛顿力学质点模型最重要、最激动人心的科学成果。“质点”是一个最基本、最抽象、最实用的物理模型。一般来讲，物理模型的基本特点在于：（1） 它概括了大量实际系统所共有的最为本质的特点；（2） 它相对于实际系统简化到了极点；（3） 物理模型的精确解可以描述无数实际系统的物理状态和变化规律。模型是物理学的精髓，也是物理学内在之美的具体表现。什么是“美”？“简单”才是美。正如美学大师埃迪·蒙托(Idee Monto)所说：“Less is more.”简单是一种境界，简单是一种超脱，简单其实并不简陋，并不单薄。112热力学与统计物理经典物理学的另一学科是热力学和统计物理。热力学(thermodynamics)也有以下三大定律。（1） 热力学第一定律是能量守恒与转化在热力学系统中的表现。它表达为外界传给系统的热量等于系统内能的增加和对外做功的总和。如果外界传递给系统的热量为Q，使系统经某一过程从平衡态Ⅰ到平衡态Ⅱ，内能的增加为UII－UI，同时对外界做功A，则热力学第一定律可以表示为Q=(UⅡ－UⅠ)+A(112)（2） 热力学第二定律指出了一切与热现象有关的宏观过程的不可逆性，它的最直观的表述是，热量不可能自动地由低温物体向高温物体传递。而热现象总是与大量分子的无规则热运动相联系，所以热力学第二定律从统计的观点可以理解为，一个孤立系统内部发生的任何过程，总是从概率小的状态向概率大的状态进行，总是从包含微观状态数目少的宏观态向包含微观状态数目多的宏观态进行。这样一来，利用熵(entropy)的定义S=kBlnW(其中，W是微观状态数目，kB是玻尔兹曼常量)，热力学第二定律又可以表述为，在孤立系统中发生的一切实际过程，总是使整个系统的熵值增加，就是所谓熵增加原理(principle of entropy increase)。根据这个原理，热力学第二定律可以表示为SII－SI≥∫IIIdQT(113)
式中，不等号对应于不可逆过程；等号对应于可逆过程；下标Ⅰ和Ⅱ分别表示系统的初状态和末状态；T和S分别表示系统的温度和熵。（3） 热力学第三定律的基本表述为：绝对零度不可能达到(即不可能通过有限个步骤使物体冷却到绝对零度)。而化学热力学中普遍采用的表述为：在绝对零度时任何纯物质的完整晶体的熵等于零。这里所谓完整晶体是指晶体中的原子或分子都只有一种排列形式。热力学第三定律的内容与熵的概念是一致的。在绝对零度时，纯物质的完整晶体中，所有的微粒都处于理想的晶格结点位置上，没有任何热运动，是一种理想的完全有序状态，所以其熵值为零。这个定律在数学上可表示为limT→0S=0(114)热力学理论中最具学术意义和应用价值的结果之一是范德瓦耳斯方程(van der Waals equation)P+aV2V－b=RT(115)
它描述了1mol气体的压强P、体积V和温度T之间的关系，其中，R是普适气体常数，a和b是实际气体的参数。若a=b=0，则给出众所周知的理想气体(ideal gas)的状态方程。方程(115)描述真实气体的状态，它与理想气体的状态方程有很大的区别。事实上，它计及了分子之间的引力和斥力以及分子自身的有限体积，这些因素被修正项a/V2和b刻画。图112显示了不同温度下的PV曲线，每一条曲线都是方程(115)的等温线。在温度较高的情况下(T>Tc)，压强随体积的增加单调下降，这就是理想气体的状态变化。等温线在温度低于临界值Tc时显示奇异的性质，它有极大值和极小值。在实际气体状态变化的实验观察中发现，随着气体压强的缓慢增加，处于温度T从式(116)和式(115)，容易得到压强、体积、温度的临界值：Tc=827aRb，Vc=3b，Pc=127ab2(117)
它们表征气体和液体之间的相变(phase transition)临界点，这是典型的一阶相变。范德瓦耳斯方程所描述的气液相变过程不但在热力学技术中具有广泛的应用价值，而且因为提供了一个最简单、最直观的相变模型而具有十分重要的学术意义。由此范德瓦耳斯在他73岁高龄时获得了1910年诺贝尔物理学奖。我们再来看统计物理学(statistical physics)。有人说，统计物理学是最美妙的科学，它的全部基础就是所谓“等概率原理”(the principle of equal probability)，如掷骰子，掷足够多次以后，每个点数出现的概率均为1/6。之所以称之为“原理”，因为它不是推导出来的，也不是人为的“假设”，而是公认的道理。就是这样一部出发点最为简单的统计物理学却演绎出了许多美妙的统计方法(玻尔兹曼统计、费米狄拉克统计、玻色爱因斯坦统计等)。图112范德瓦耳斯方程(115)的等温线温度较高的情况(T>Tc)相应于理想气体的状态变化，温度较低时(T出现气液相变。临界温度由P对于V的一阶和二阶偏微商为零来确定
根据等概率原理，一个系统处于温度为T的热平衡状态时，系统所包含的微观粒子在能级上的分布(或布居数)N1，N2，…服从玻尔兹曼统计(Boltzmann statistics)NiN=1Zexp－EikBT(118)
式中Z=∑iexp－EikBT(119)
称为配分函数(partition function);N为系统的总粒子数;Ni是处于能级Ei上的粒子数。按照玻尔兹曼分布，能量越高的状态所分布的微观粒子越少(图113（a）)。在许多情况下，微观粒子表述为热振动的振子。在热平衡系统中，振子的振动幅度越大，其数目越少(图113（b）)。图113热平衡系统的玻尔兹曼分布
图114一个三态分布
统计物理学的另一个重要概念是统计熵(statistical entropy)S=－kB∑ipilnpi(1110)
其中，pi是一个任意的归一化分布；kB是玻尔兹曼常量(Boltzmann constant)。计算一个分布的统计熵时常取kB=1，例如，对于图114所示的三态分布，其统计熵为S=［－(03ln03)］+［－(05ln05)］+［－(02ln02)］=1030(1111)
统计熵是一个分布的不确定性的度量，即信息含量的度量。如果一个系统有W个微观状态，所有状态以相同概率pi=1/W出现，则系统的统计熵为S=－∑ipilnpi=－∑Wi=11Wln1W=lnW(1112)
这正是玻尔兹曼熵(Boltzmann entropy)：对于三态分布，S=ln3=1099。这时，系统的熵最大，表示系统没有任何倾向性，其状态完全不确定，不给出任何信息。另外，如果系统处在状态i的概率为1，处于其他状态的概率为零，则S=－∑ipilnpi=－pilnpi=－1·ln1=0(1113)
这时，系统的熵为零，其状态完全确定，具有最大信息量。统计熵具有极为广泛的用途，涉及物理学、统计学、概率论、信息论以及众多的新兴交叉学科，甚至包括生命科学和经济学。基于统计熵表述的最大熵原理则进一步指出如何从随机变量的测量数据推导出最合理概率分布(the most reasonable probability distribution)，一个基本的问题是下面的例题。例利用最大熵原理推导出玻尔兹曼分布，并进而导出相关的热力学关系式。解对一个系统的能量值进行多次随机性测量，设测量值Ei出现的概率为pi，则该系统能量的平均值为∑i=1Eipi=U(1114)
这里，概率分布pi是归一化的：∑i=1pi=1(1115)
下面我们按照最大熵原理(maximum entropy principle)，由约束条件(1115)和测量值(1114)推导出最合理概率分布。为此利用式(1110)对pi求变分，得到δS=∑i1+lnpiδpi=0(1116)
进一步在约束条件和测量值中取变分∑iδpi=0(1117a)

目录
前言
第1章量子力学基础1
11经典物理学综述1
111牛顿力学1
112热力学与统计物理3
113光学8
114电磁学与电动力学10
12作用量子与黑体辐射15
121作用量子与黑体辐射15
122黑体辐射的实验规律17
123黑体辐射的理论研究18
124普朗克黑体辐射公式20
13光电效应与康普顿散射28
131光电效应28
132康普顿散射30
14原子结构与玻尔理论35
141电子的发现35
142原子的结构37
143原子的玻尔理论41
15物质波与波动力学46
151德布罗意物质波理论46
152电子波动性的实验观测49
153超大分子的波动性50
154波粒二象性53
155波动力学的建立54
第2章波函数与薛定谔方程56
21波函数56
211从“轨道”到“概率”56
212波函数的性质58
213力学量的平均值和期待值62
22薛定谔方程65
221自由粒子波函数65
222薛定谔方程的建立67
223定态薛定谔方程70
224本征解的性质71
225一个简单的推导方法74
23薛定谔方程的一般解74
231束缚态：本征态的叠加74
232散射态：自由粒子波包79
24一维束缚态的性质93
241一维束缚态问题93
242能级的非简并性94
243本征函数为实函数95
244本征函数的正交性95
245本征函数的完备性和封闭性96
246一般解与能量期待值97
第3章一维势场模型99
31无限深势阱模型99
311模型的求解99
312本征函数和本征能量101
313典型例题106
314含时问题的一般解108
32半无限深势阱模型114
321模型的求解114
322束缚态能量115
323束缚态波函数119
33有限深势阱模型120
331模型的求解120
332非对称势阱123
34散射态问题125
341阶跃势场125
342方形势垒129
35势垒贯穿133
351势垒贯穿133
352原子核的α衰变135
36δ势场中的束缚态与散射态137
361狄拉克δ函数137
362δ势阱中的束缚态138
363δ势垒散射144
364无限深势阱中的δ势垒146
第4章一维势场模型的应用151
41量子共振腔151
411腔模与激发模151
412腔模的放大与抑制154
413量子共振腔155
42电子流的加速158
421行波解：1/3阶汉克尔函数158
422电子流的加速159
43双势阱模型：低势垒情况160
431偶宇称态和奇宇称态160
432分立谱和本征函数163
433体系的极限行为：连续谱166
44双势阱模型：高势垒情况168
441分立谱和本征函数168
442量子振荡现象171
443势垒强度对体系能量的影响172
444量子振荡频率174
445体系的极限行为：独立双势阱174
45普薛耳特勒势175
451复指标连带勒让德函数175
452束缚态176
453散射态：无反射势179
46双曲正切势场181
461超几何函数181
462反射系数183
47有机物着色问题186
471π电子的特性186
472共轭系统的吸收谱187
473有机物着色的机制189
48隧穿效应的应用190
481冷电子发射190
482热核聚变191
483隧道二极管192
484扫描隧道显微镜193
485原子钟193
486化学与生物方面的应用194
第5章量子谐振子196
51谐振子模型196
511谐振子：从经典到量子196
512模型的求解：厄米多项式198
52量子谐振子的性质205
521量子化条件：薛定谔方程的数值解205
522本征函数208
523概率密度212
524含时问题的一般解218
53合流超几何函数221
54谐振子：算符代数法222
541降阶算符和升阶算符223
542基态和任意本征态225
543归一化常数226
544本征函数的表达式227
545本征函数的正交性229
第6章谐振子模型的应用232
61伦纳德琼斯势：惰性气体分子232
62莫尔斯势：双原子分子234
621谐振子近似234
622精确解236
623双原子分子的振动能级239
63普薛耳特勒势阱241
631谐振子近似241
632精确解243
633体系的极限行为245
64谐振子波包的振荡：光学钟247
65原子力显微镜250
第7章力学量的算符表示252
71算符的基本知识252
72厄米算符255
721厄米算符的定义和性质255
722厄米算符的本征函数258
73具有连续谱的本征函数259
731动量本征函数259
732坐标本征函数262
74箱归一化263
741具有分立谱的动量本征函数263
742本征函数的封闭性和完备性266
743应用举例：自由粒子波包267
75角动量算符268
第8章三维空间的量子力学272
81三维束缚态问题的一般解272
82角向解273
821中心势场273
822连带勒让德函数275
823球谐函数278
83径向解281
831库仑场中的束缚态281
832广义拉盖尔多项式286
833合流超几何函数289
84本征函数、概率密度与一般解290
85氢原子292
851氢原子光谱292
852径向概率密度：电子轨道293
853角向概率密度：电子云300
854电流密度和磁矩301
86无限深球形势阱303
87碱金属原子306
871价电子的能级306
872基态：波函数和径向概率密度308
873极限情况309
88双原子分子：克拉策分子势310
881谐振子近似310
882精确解311
883分子的振动转动能级316
量子力学Ⅱ
第9章测不准原理319
第10章表象与矩阵力学367
第11章微扰论401
第12章原子与光场相互作用433
第13章散射451
第14章角动量与自旋469
第15章全同粒子与固体496
第16章辐射场的量子态542
第17章相对论量子力学与反物质583
索引602