顾樵，现代科学家，发表114篇论文和5本专著，完成30多个科研项目，两项专利。主要研究激光物理学和量子光学。

普通高等学校数学教学丛书量子力学ⅡQuantum MechanicsⅡ〔德〕 顾樵 (Qiao GU)著北京《量子力学Ⅱ=Quantum MechanicsⅡ》是一部内容丰富、贯通中西的综合性量子力学专著，根据作者20多年来在德国和中国开设量子力学讲座和相关研究成果提炼而成。《量子力学Ⅱ=Quantum MechanicsⅡ》共17章，划分为六个层次：背景知识，基本理论，基本理论问题的新解法，重要专题讨论，扩展到其他学科，联系到较新进展和前沿课题。《量子力学Ⅱ=Quantum MechanicsⅡ》注重自身理论体系的科学性、严谨性、完整性与实用性。将中国传统教材与国外先进教学内容相结合；将量子力学的纵向演化与知识现状相结合；将基本理论问题与相应的新解法相结合；将概念性表述与专题讨论相结合；将应用实践与其他学科相结合；将基础性知识与较新进展和前沿课题相结合。既为教学所用，又适应科研需要。附有大量不同类型的综合性例题，便于不同层次读者从中学习和掌握分析问题、解决问题的思路与方法。量子力学Ⅰ为前8章，量子力学Ⅱ为第9～第17章。

量子力学Ⅱ第9章测不准原理第9章测不准原理我们在第7章曾引进量子力学的一个基本假设，即力学量的算符表示。其基本含义是，如果量子力学体系的某个力学量用算符表示，那么当这个体系处于的本征态ψ时，这个力学量有确定值，它就是本征方程ψ=λψ中的本征值λ。不过这个假设还不能完全解决量子力学的问题。如果体系不是处于的本征态ψ，而是处于一个任意态，这时算符所表示的力学量是否还有确定值？该力学量的取值与的本征值之间有怎样的关系？这些问题更具一般性。为了从根本上解决这些问题，本章从厄米算符本征函数的正交性和完备性出发，讨论力学量在任意态中的平均值，并随之引入概率幅(分立谱)和动量波函数(连续谱)的重要概念。之后我们介绍量子力学的狄拉克符号表述，并在狄拉克符号的意义上定义密度算符，进而利用密度算符给出量子力学平均值的一般表达式。然后我们一般性地讨论算符的对易关系和两个力学量同时有确定值的条件。在上述讨论基础上，最后我们进入本章的核心问题——测不准原理。我们将从不同的角度论述这一量子力学最重要的原理，并介绍它在一些典型体系中的应用。9.1力学量在任意态中的平均值〖1〗9.1.1分立谱：概率幅我们在7.2节讨论了厄米算符本征函数的正交性和完备性。我们已经知道，若ψ1(x)，ψ2(x)，…，ψn(x)，…是厄米算符的归一化本征函数，相应的本征值为λ1，λ2，…，λn，…它们满足本征方程ψn(x)=λnψn(x)，则本征函数服从正交性关系式∫ψm(x)ψn(x)dx=δmn(9.1.1)
而任一连续函数f(x)可以按本征函数集ψn(x)展开为f(x)=∑ncnψn(x)(9.1.2)
其中，展开系数cn=∫ψn(x)f(x)dx(9.1.3)
是复常数。现在我们考查展开系数cn的物理意义。设f(x)已经归一化，利用ψn(x)的正交性关系式(9.1.1)，我们有 1=∫f(x)f(x)dx=∫∑mcmψm(x)∑ncnψn(x)dx
=∑m∑ncmcn∫ψm(x)ψn(x)dx
=∑m∑ncmcnδmn
=∑ncn2(9.1.4)
由这个结果可以看出，|cn|2具有概率的意义。先考虑一个特殊情况，如果f(x)是算符的某一个本征态，如f(x)=ψN(x)，则式(9.1.4)右边的求和中除|cN|2=1外，其余都等于零。根据第7章的假设，在这种情况下测量力学量F，必定得到确定的结果λN。一般情况下，|cn|2表示在任意态f(x)中发现本征态ψn(x)的概率(体系处于本征态ψ1(x)，ψ2(x)，…，ψn(x)，…的概率之和为1)。换言之，cn2表示在f(x)态中测量力学量F得到本征值λn的概率。由此，cn通常被称为“概率幅”(probability amplitude)，这是量子力学中一个非常重要而有趣的概念。基于上述讨论，我们引进有关力学量算符表示的另一个基本假设：量子力学中表示力学量的算符是厄米算符，它们的本征函数构成完备集，当体系处于任意波函数f(x)所描述的状态时，力学量F没有确定的数值，而是有一系列可能的值，这些值就是算符的本征值λ1，λ2，…，λn，…测量力学量F得到本征值λn的概率是cn2。这样一来，力学量F在任意态f(x)中的平均值便是〈F〉=∑nλncn2(9.1.5)
它具有统计平均的形式。这样的平均值表示式我们之前遇到过，一个典型的例子就是式(2.3.10)。现在我们一般性地证明：式(9.1.5)所示的统计平均值可以简化为式(2.1.32)所示的期待值：〈〉=∫f(x)f(x)dx(9.1.6)
事实上，我们有∫f(x)f(x)dx=∫∑mcmψm(x)∑ncnψn(x)dx
=∑m∑ncmcnλn∫ψm(x)ψn(x)dx
=∑m∑ncmcnλnδmn
=∑nλncn2(9.1.7）
现在我们可以看出，力学量F在任意态f(x)中的统计平均值就是算符在这个态中的期待值。利用式(9.1.6)可以直接从算符和体系所处的状态f(x)得出力学量F在这个状态中的平均值。如果体系的状态f(x)就是算符的一个本征态ψN(x)，则式(9.1.6)给出〈〉=∫ψN(x)ψN(x)dx=λN(9.1.8)
这时力学量F的平均值就是确定的本征值λN，这正是第7章所讨论的情况。例考虑库仑场中的类氢离子，其初始波函数为Ψ(r，0)=1A2ψ100+ψ210+2ψ211+3ψ21，-1(9.1.9)
其中，本征函数ψnlm由式(8.4.1)表示。(1) 求归一化常数A；(2) 求任意t时刻的波函数Ψ(r，t)。解(1) 方法1由初始波函数Ψ(r，0)的归一化条件和本征函数ψnlm的正交性关系式(8.4.2)，我们得到
1=∫Ψ(r，0)2dr
=1A∫2ψ100+ψ210+2ψ211+3ψ21，－12ψ100+ψ210+2ψ211+3ψ21，－1dr
=1A4∫ψ1002dr+∫ψ2102dr+2∫ψ2112dr+3∫ψ21，-12dr
=1A4+1+2+3A=10方法2由式(9.1.4)知，体系处于各个本征态的概率之和为1，即1=2A2+1A2+2A2+3A2A=10(9.1.10)
这一方法更为简单。(2) 任意t时刻的波函数由式(2.3.4)表示为
Ψ(r，t)=∑ncnψn(r)exp-ihEnt
=1102ψ100exp－ihE1t+ψ210+2ψ211+3ψ21，－1exp－ihE2t
其中，E1和E2由式(8.3.33)给出为E1=－mZ2e42h2，E2=－mZ2e48h2(9.1.11)9.1.2连续谱：动量波函数以上讨论了的本征值组成分立谱的情况。如果的本征值组成连续谱，则相应的本征方程为ψλ(x)=λψλ(x)(9.1.12)
这时本征值λ取连续变化的实数。本征函数的正交性关系式变为∫ψλ′(x)ψλ(x)dx=δ(λ－λ′)(9.1.13)
任意态f(x)按本征函数集ψλ(x)的展开则表示为对本征值λ的积分：f(x)=∫c(λ)ψλ(x)dλ(9.1.14)
其中，c(λ)即为连续谱情况下的概率幅。为求c(λ)，对式(9.1.14)两边同乘以ψλ′(x)，然后对x积分，并利用正交性关系式(9.1.13)，得到∫ψλ′(x)f(x)dx=∫ψλ′(x)∫c(λ)ψλ(x)dλdx
=∫c(λ)∫ψλ′(x)ψλ(x)dxdλ
=∫c(λ)δ(λ－λ′)dλ=c(λ′)(9.1.15)
即c(λ)=∫ψλ(x)f(x)dx(9.1.16)
它与分立谱情况下的概率幅(9.1.3)有相同的形式。相应于式(9.1.4)，现在有1=∫f(x)f(x)dx
=∫∫c(λ′)ψλ′(x)dλ′∫c(λ)ψλ(x)dλdx
=∫∫c(λ′)c(λ)∫ψλ′(x)ψλ(x)dxdλ′dλ
=∫c(λ)∫c(λ′)δ(λ′－λ)dλ′dλ
=∫c(λ)c(λ)dλ=∫c(λ)2dλ(9.1.17)
这个结果显示，c(λ)2具有概率密度的意义。事实上，c(λ)2是在任意态f(x)中发现本征态ψλ(x)的概率密度。换言之，它是在f(x)态中测量力学量F得到λ的概率密度。于是力学量F在f(x)态中的平均值为〈F〉=∫λc(λ)2dλ(9.1.18)
在连续谱情况下，依然可以用式(9.1.6)求平均值。事实上，由式(9.1.6)可以推导出式(9.1.18)的结果，就像分立谱情况下推导出式(9.1.7)一样。现在我们考虑一种重要的特殊情况，即式(9.1.12)中的为一维动量算符：=x=-ihx，这时式(9.1.12)中的ψλ(x)是动量本征函数(式(7.3.7))ψp(x)=12πhexpihpx(9.1.19)
则概率幅由式(9.1.16)给出为c(p)=12πh∫∞－∞exp－ihpxf(x)dx=12πhFω(9.1.20)
这里，ω=p/h，而F(ω)=∫∞－∞f(x)exp－iωxdx(9.1.21)
是f(x)的傅里叶变换。可见在动量本征函数情况下，概率幅c(p)本质上是波函数f(x)的傅里叶变换。由连续谱的一般性结果(9.1.17)可知，|c(p)|2是动量概率密度(momentum probability density)。由此c(p)可以称为动量空间的波函数(momentum space wave function)，简称动量波函数(momentum wave function)。关于|c(p)|2是动量概率密度的结论，我们还可以从另一个角度进行论证。为此首先介绍下面的帕塞瓦尔定理(Parseval theorem)和Plancherel定理。设函数f(x)和g(x)均存在傅里叶变换：F(ω)=∫∞－∞f(x)exp－iωxdx，G(ω)=∫∞－∞g(x)exp－iωxdx(9.1.22)
它们的反变换为f(x)=12π∫∞－∞F(ω)expiωxdω，g(x)=12π∫∞－∞G(ω)expiωxdω(9.1.23)
则帕塞瓦尔定理表示为∫∞－∞f(x)g(x)dx=12π∫∞－∞F(ω)G(ω)dω(9.1.24)
而Plancherel定理表示为∫∞－∞f(x)2dx=12π∫∞-∞F(ω)2dω(9.1.25)证明由式(9.1.22)和式(9.1.23)，我们有∫∞－∞f(x)g(x)dx=∫∞－∞f(x)12π∫∞－∞G(ω)expiωxdωdx
=12π∫∞－∞f(x)∫∞－∞G(ω)exp－iωxdωdx
=12π∫∞－∞G(ω)∫∞－∞f(x)exp－iωxdxdω
=12π∫∞－∞F(ω)G(ω)dω
因此式(9.1.24)得证。令g=f，则式(9.1.25)得证。现在我们设式(9.1.25)中的f(x)表示归一化的量子力学波函数，则12π∫∞－∞F(ω)2dω=1(9.1.26)
利用式(9.1.20)，并注意到ω=p/h，即得∫∞－∞c(p)2dp=1(9.1.27)
可见c(p)2确实是动量概率密度。例设氢原子处于基态。求电子动量波函数、动量概率密度和相应的动量径向概率密度。解我们首先将基态氢原子的波函数(式(8.5.8a))ψ100(r)=1πa3/2exp－ra(9.1.28)
按动量算符的本征函数(式(7.3.12))ψp(r)=1(2πh)3/2expihp•r(9.1.29)
展开为ψ100(r)=∫c(p)ψp(r)dp(9.1.30)
由式(9.1.16)，电子动量波函数为c(p)=∫ψp(r)ψ100(r)dr(9.1.31)
将式(9.1.28)和式(9.1.29)代入式(9.1.31)，得到图9.1.1球坐标系(r，θ，)：将极轴z取为 p的方向c(p)=1π2(2ah)3/2∫exp－ihp•rexp－radr(9.1.32)
下面在球坐标系(r，θ，)中计算这个积分。注意在这个积分中p是固定的，我们可以将极轴z取为p的方向(图9.1.1)，这样p•r=prcosθ。于是式(9.1.32)的积分可以写为

第9章测不准原理319
9.1力学量在任意态中的平均值319
9.1.1分立谱：概率幅319
9.1.2连续谱：动量波函数322
9.2狄拉克符号326
9.2.1态矢量的狄拉克符号表示326
9.2.2本征矢的完备性关系式328
9.2.3应用：典型例题330
9.3密度算符与平均值333
9.3.1算符的迹333
9.3.2平均值的密度算符表示334
9.4算符的对易关系336
9.4.1算符的对易关系336
9.4.2算符对易的物理意义340
9.5测不准原理341
9.5.1一般性推导341
9.5.2矢量模型：狄拉克符号344
9.5.3数学方法：傅里叶变换345
9.5.4物理现象：电子单缝衍射347
9.5.5几何图像：势阱中的小球347
9.6测不准原理的应用348
9.6.1自由粒子348
9.6.2一维无限深势阱349
9.6.3谐振子351
9.6.4氢原子354
9.6.5含时情况：自由粒子波包357
9.6.6一个实例：库珀对与超导现象357
9.7量子体系的演化与守恒量359
9.7.1期待值的演化360
9.7.2守恒量360
9.8能量—时间测不准关系361
9.8.1一个简单的推导方法361
9.8.2作为一般性测不准关系的推论362
9.8.3从相对论推导测不准关系363
9.8.4一个例子：纠缠态中的测不准关系365
第10章表象与矩阵力学367
10.1连续谱表象367
10.1.1坐标表象367
10.1.2动量表象367
10.2分立谱Q表象368
10.2.1态在Q表象的表示：列矢量368
10.2.2算符在Q表象的表示：矩阵370
10.3数态表象与相干态372
10.3.1数态表象372
10.3.2任意态在数态表象的波函数373
10.3.3相干态在数态表象的波函数375
10.3.4相干态的基本性质377
10.4矩阵力学表述378
10.4.1本征矢的正交性关系式378
10.4.2本征矢的完备性关系式380
10.4.3平均值公式381
10.4.4本征方程382
10.4.5薛定谔方程383
10.5表象变换384
10.5.1波函数的变换384
10.5.2幺正变换386
10.5.3算符的变换386
10.5.4幺正变换的性质和物理意义387
10.6泡利矩阵388
10.6.1基本性质388
10.6.2本征态：自旋向上和自旋向下391
10.6.3泡利矩阵中的表象变换395
10.6.4二能级原子：哈密顿算符和跃迁算符396
10.6.5双态问题：中微子振荡397
第11章微扰论401
11.1基本概念401
11.2定态微扰论402
11.2.1微扰论方程402
11.2.2能量和波函数的一级近似403
11.2.3能量的二级修正404
11.2.4典型例题406
11.3简并微扰论417
11.3.1简并微扰论417
11.3.2氢原子的斯塔克效应418
11.4哈密顿替代法422
11.4.1哈密顿替代法422
11.4.2应用举例423
11.5含时微扰论425
11.5.1含时微扰论方程425
11.5.2量子跃迁427
第12章原子与光场相互作用433
12.1偶极近似下的哈密顿算符433
12.2原子与光场相互作用434
12.2.1吸收434
12.2.2受激发射434
12.2.3自发发射435
12.3爱因斯坦方程435
12.3.1非相干微扰光场435
12.3.2爱因斯坦方程437
12.3.3选择定则440
12.3.4跃迁速率442
12.4激光443
12.4.1激光产生的物理机制443
12.4.2激光的量子特性445
12.5自发发射与合作自发发射447
12.5.1自发发射：荧光447
12.5.2合作自发发射：超荧光和超辐射448
第13章散射451
13.1经典散射理论451
13.1.1刚性球散射451
13.1.2一般情况：散射截面453
13.1.3卢瑟福散射454
13.2量子散射理论456
13.3分波法458
13.3.1理论表述458
13.3.2量子刚性球散射461
13.4玻恩近似463
13.4.1薛定谔方程：格林函数法463
13.4.2一般性结果465
13.4.3玻恩近似466
13.4.4应用举例466
第14章角动量与自旋469
14.1角动量：算符代数法469
14.1.1角动量算符与球谐函数469
14.1.2升阶算符和降阶算符469
14.1.3本征态和本征值471
14.1.4典型例题474
14.2自旋475
14.2.1氢原子的轨道磁矩476
14.2.2自旋和自旋1/2477
14.2.3施特恩—格拉赫实验479
14.2.4自旋态的矢量表示482
14.3角动量的组合与耦合485
14.3.1自旋—自旋组合：三重态和单态485
14.3.2自旋—轨道耦合：能级精细结构488
14.4塞曼效应491
14.4.1强磁场情况492
14.4.2弱磁场情况494
第15章全同粒子与固体496
15.1全同粒子的不可区分性496
15.2二粒子体系497
15.2.1二粒子体系497
15.2.2体系的本征函数498
15.2.3玻色子与费米子500
15.3固体的量子理论501
15.3.1固体中的电子：两种模型502
15.3.2自由电子气模型502
15.3.3能带形成的机制504
15.3.4克勒尼希—彭尼模型505
15.3.5能带论507
15.3.6绝缘体、导体、半导体515
15.3.7光子晶体517
15.4量子统计力学519
15.4.1三粒子体系519
15.4.2N粒子体系521
15.4.3最概然布居数523
15.4.4参数的物理意义526
15.4.5量子统计分布与平均粒子数527
15.5量子统计力学的应用528
15.5.1化学势与费米能级528
15.5.2黑体辐射与平均光子数529
15.5.3晶格振动、声子与德拜模型530
15.6石墨烯535
15.6.1石墨烯：碳原子网535
15.6.2石墨烯的能带结构537
15.6.3奇特的量子效应539
15.6.4石墨烯的狄拉克方程540
第16章辐射场的量子态542
16.1辐射场的量子化542
16.1.1无损耗传输线的量子化543
16.1.2单模辐射场的量子化544
16.1.3电场算符及其正交分量546
16.2光子数态547
16.3混沌态548
16.4相干态549
16.4.1平移算符550
16.4.2非正交性552
16.4.3完备性552
16.4.4在坐标表象的波函数553
16.5压缩态554
16.5.1压缩态554
16.5.2非经典光555
16.5.3双光子相干态556
16.5.4压缩态的物理图像558
16.6薛定谔猫态559
16.6.1薛定谔猫态559
16.6.2偶相干态和奇相干态564
16.7薛定谔猫态的相干性566
16.7.1薛定谔猫态的退相干566
16.7.2用位相调制维持相干性566
16.7.3猫态的量子统计性质568
16.7.4位相调制的实验方案569
16.8杰恩斯—卡明斯模型：穿衣态570
16.8.1JCM的精确解570
16.8.2含时JCM体系的一般解573
16.9JCM体系的量子统计性质574
16.9.1一般性结果574
16.9.2真空态575
16.9.3相干态576
16.10腔QED和量子计算机579
16.10.1腔QED579
16.10.2量子计算机581
第17章相对论量子力学与反物质583
17.1非相对论量子力学583
17.2克莱因—戈尔登方程584
17.3狄拉克相对论方程585
17.3.1狄拉克方程585
17.3.2平面波解586
17.3.3连续性方程587
17.4狄拉克方程的应用：中心势场问题588
17.4.1中心势场问题588
17.4.2氢原子能级的精细结构590
17.5负能量与正电子593
17.5.1负能量诠释与正电子预言593
17.5.2正电子的发现594
17.6反物质595
17.6.1正负电子对湮没595
17.6.2反质子596
17.6.3自然界的γ射线爆597
17.6.4反物质598
17.7反物质的应用598
17.7.1肿瘤的诊断和治疗598
17.7.2反物质燃料600
17.7.3反物质武器600
17.8宇宙的对称性601
索引602
第1章量子力学基础1
第2章波函数与薛定谔方程56
第3章一维势场模型99
第4章一维势场模型的应用151
第5章量子谐振子196
第6章谐振子模型的应用232
第7章力学量的算符表示252
第8章三维空间的量子力学272