《金属板材成形工艺：本构模型及数值模拟》：
1.1 引言
本节将对迄今为止用于金属板材成形过程模拟的有限元列式进行综述，然后对大变形问题的有限元理论进行简单介绍，详细内容读者可参考现有的相关专著，如Belytschko等[1]、Zienkiewicz和Taylor[2]及Crisfield[3]的专著。此处只是对现有不同方法的优缺点进行简单介绍。采用不同有限元方法进行金属板材成形模拟及其相互对比，可参考Honecker和Mattiasson[]、Oftate和Agelet de Saraci-barC5]、Onate等[6]、Mattiasson[7]、Kawka等[]、Wenner[9]、Wang等[10]、Mattias-son[11]、Makinouchi[12]、Wenner[13]撰写的综述文章。Banabic和Tekkaya[14]及Roll等[15]对板材成形有限元模拟的最新应用现状及发展前景进行了讨论。
从20世纪70年代开始，当涉及大位移和大应变的连续介质力学基础建立起来以后，有限元方法（Finite Element Methods，FEM）就用于板材成形过程的模拟。板材成形过程分析的有限元程序可以分为两类，一类基于弹塑性材料模型，另一类基于刚塑性材料模型。大应变列式既可以采用欧拉法（Eulerian）也可以采用拉格朗日法（Lagrangian）来进行运动描述。相应的，有两种描述节点速度和节点位移增量这两个未知信息的有限元算法。
1.2 连续介质力学基础
1.2.1简介
在文献[6]、[17]中，对涉及大变形问题的连续介质力学基础舰以及唯象的塑性舰进行了详细的扩展介绍。为了后续介绍有限元相关公式，下面将简要给出一些必要的内容。
在讨论连续体的动力学问题时，需要搞清楚“点”和“质点”的概念。点用来表
示空间中的特定位置，而质点则表示连续体的一个微小部分。有两种基本方法来描述一个连续体的运动。
在材料或Lagrangian描述中，独立的变量是质点P和时间〖。可用式（1.1）来描述运动
式中，X是质点P在t时刻的位置矢量。通常以质点P在参考构型中的位置X表示式（1.1）
在空间或Eulerian描述中，主要关注给定区间的一点而不是连续体上的一个微元。独立的变量是当前t时刻以及t=0时刻的点X的当前位置X。可用式（1.3）表示其运动
如果式（1.2）和式（1.3）表示连续偏导数的——映射，那么这两个映射是彼此唯一逆映射。
Eulerian描述最适合描述流体力学问题，因为其主要关注空间中的特定区域，这使得能够观察到一点在通道或风洞中的流动。Lagrangian列式通常用于固体和结构力学问题，这类问题中通常存在应力和变形已知的自然参考构型。在有限元方法中，Lagrangian列式的主要变量是位移，而Eulerian列式中主要变量是速度。
在一些金属成形工艺尤其是体积成形工艺中，金属流动类似于流体，因此这类问题也采用Eulerian列式方法进行求解。在接下来的章节中，也将讨论采用这种方法分析金属板材成形的问题。
后续内容主要关注Lagrangian方法。从小变形列式推广到大变形列式，复杂程度大大增加。已有大量不同方法对该问题建立列式并求解。这里仅介绍其中两个可供选择的方法。如1.1节提到的，读者可以参考以前提到的书籍，对本部分进行完整了解。在构建Lagrangian列式基本方程时，主要挑战是不依赖刚体运动，也就是说，刚体转动不能带来附加应变和应力。列式必须是客观或框架不变的，这意味着作为列式一部分的应变和应力度量必须满足客观性要求。文献中提到了大量的应变和应力度量，这里仅就其中的几种进行讨论。
1.2.2应变的度量
首先引入变形梯度矢量F的概念，其表示为
该矢量不是客观的，但是其在推导上述的应变矢量和应力矢量时非常重要。该矢量将当前和参考坐标系中的两个线段联系起来，即
为了强调两组坐标的区别，采用大写字母表示参考构型下的张量分量，用小写字母表示当前构型下的张量分量。变形梯度张量是两点张量，因为其分量称为参考构型和当前构型。
令dS和cU分别表示矢量dX和dx的长度。其平方可以写成
根据式（1.5），U2可以重写为
连续体中两个相邻质点的ds2-dS2差值用于测量变形。其差值可以写成
根据式（1.8），Green应变张量定义为
在刚体转动中，差值ds2-dS2为常数。这仅当张量E也是常数时才能实现，这证明了刚体转动情况下张量是不变的，因此也是客观的。
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