第1章 数学建模应用导言
数学建模是指利用数学方法去描述和解决实际问题或者相关学科中科学问题的整个过程, 其结果就是建立了所解决问题的数学模型. 数学建模是理论数学走向横向应用的必由之路, 是数学应用研究取得原始创新工作的重要标志. 作为一种核心技术, 数学建模已经促使“数学与其他学科的交叉”成为数学的重要分支学科, 正在促使数学的应用走向工程化.
本章中介绍数学建模的相关引导性内容, 主要有数学建模概述, 数学建模应用视野: 从现实生活到政府调控研究, 数学建模应用工程化与科技创新战场. 本章主要参考文献[1]~[4].
1.1 数学建模概述
从传统思想和观念上来讲, 在20世纪90年代以前, 中国教育界和科技界对于数学所持的基本观点是: 数学是科学与文化教育的基础, 是自然科学的基础, 是解决数理学科前沿科学问题的研究工具. 作为一门抽象的基础学科, 数学可以为解决数理学科中的前沿科学问题提供新的研究方法, 其发展道路是“从数学到数学”的自我完善. 当然, 在这样的思想指导下, 数学发展的主要目标是促进核心数学的发展, 而数学教育的总体目标是培养大批基础数学人才.
然而, 数学最初是来源于人类生活和生产实践活动的, “数与形”就是数学的最初原形. 一方面, 有相当多的数学历史故事表明, 推动数学发展的原始问题并不是数学家提出的. 例如, 推动微积分发展的是天体力学中的行星运动问题, 推动概率论发展的是“赌资分配”问题. 钱学森的《工程控制论》是应用数学的杰作, 而他本人是举世公认的人类航天科技的重要开创者和主要奠基人之一, 是中国近代力学和系统工程与应用研究的奠基人, 被称为20世纪应用数学和应用力学领域的领袖人物. 同样地, 促进数学重要发展的一些核心人物也不是数学家. 例如, 发明微积分的是物理学家和力学家牛顿. 另一方面, 在促进其他学科重要发展的核心人物中, 也出现了数学家的身影. 例如, 美国首位Nobel经济学奖获得者保罗?萨缪尔森, 他取得的成就之一就是将数学分析引入了经济学, 1958年, 他与R.索洛和R.多夫曼合著了《线性规划与经济分析》一书, 为经济学界新诞生的经济计量学作出了贡献. Nobel奖评奖委员会赞扬他将经济学从对经济问题的沉思发展到用数学方法精确、清晰地回答和解决问题.
20世纪30年代, 英国生物化学家李约瑟(Joseph Needham)曾提出过一个被后人称为“李约瑟难题”的问题: 尽管中国古代对于人类科技发展作出了很多重要的贡献. 但是, 为什么科学和工业革命没有在近代中国产生?相信这道难题在一定程度上令中国的数学界震惊. 2008年11月, 香港中文大学陈方正教授在云南省纪念国立西南联合大学70华诞的“科学大讲坛”上就破解“李约瑟难题”时认为, 科学在近代中国没有与数学结合起来, 而科学在西方则是文明的主流, 这是从毕达哥拉斯就已奠定了.
从历史上看, 以华罗庚为代表的中国一流数学家早在学科交叉与应用方面作出过卓越的贡献(参看附录A). 钱学森早在他的《工程控制论》中就已开展了跨学科与跨领域的交叉研究(参看附录B), 然而, 在新中国成立后的数学界却直到进入20世纪90年代以来, 才开始意识到数学的发展不能单纯地依靠基础数学. 事实上, 解决数学领域内的许多著名的猜想和难题(如哥德巴赫猜想、费马大定理等)固然是极其重要的, 但是, 科学技术的发展、社会的进步、经济的快速发展却提出了大量新的和挑战性的实际问题, 数学对于它们的解决不仅应当有所作为, 而且也是人类文明进步和科学发展的标志. 因此, 中国应当重视和加强应用数学的发展. 之后, 在中国的高等教育中所出现的一个标志性工作是: 在美国大学生数学建模竞赛的直接影响下, 中国从1994年开始了全国大学生数学建模竞赛活动. 随后, 这项竞赛规模越来越大, 其影响面越来越广阔, 现已成为中国高等教育中最大规模的年度学生课外科技实践活动, “一次参赛, 终身受益”早已成为中国大学生的共识, 有力地带动了高校数学应用型、创新型和复合型人才的培养, 促进了高等教育事业的新发展. 从2004年到2013年, 全国研究生数学建模竞赛活动也一共开展了十届, 它证明了研究生综合素质与创新能力的提升, 以及不同专业研究生之间的交叉与合作. 现在, “数学与其他学科的交叉”已作为数学的重要分支学科, 列入了国家科学研究的“十一五”和“十二五”规划中, 而问题驱动的应用数学研究则得到了工业与应用数学界的广泛共识.
那么, 到底什么是“数学建模”呢?数学建模, 简言之, 就是用数学方法去描述和解决实际问题, 或者相关学科领域中的科学问题的整个过程, 其主要的结果是以数学符号、变量、公式、方程或几何图形等数学语言去表示的关于实际问题或者科学问题的数学结构, 或者数学式, 称为数学模型. 在数学建模中, 提出问题是需求, 建立数学模型(用数学语言描述实际问题)是认识手段, 而求解、计算与应用数学模型则是解决问题的目标所在.
在这里, 有“数学建模、数学模型、数学式”三个概念需要得到进一步澄清. 数学建模是强调利用数学方法去解决实际问题的整个过程, 而数学模型则是强调结果, 即数学建模的过程中所建立起来的数学结构, 或者数学式. 数学式与数学模型是不同的, 如果数学式是可以用来描述某个有实际意义的问题, 那么, 它就是一个数学模型, 否则, 它就只能是一个理论上的数学式而已. 例如, 代表着自由落体运动的公式 就是一个二次函数模型, 而关于变量 的一个二次函数就只能认为是一个数学式, 即二次多项式. 其实, 解数学应用题就是完成一个简单的数学建模任务.
可见, 数学建模的过程是非常重要的. 学会数学建模, 就需要具备多方面的综合素质, 如对相关数学基础知识的有所掌握, 对相关实际问题的背景及其学科知识的有所了解, 以及对相关科学思维方法的有所具备等, 当然还需要一定时间的数学建模应用实践的积累.
数学建模可以按照不同的问题、不同的对象去分类, 如物理问题建模、力学问题建模、化学问题建模、生物问题建模、经济问题建模、教育问题建模、波动问题建模等; 用不同的数学方法去建模就得到不同的数学模型, 如初等数学模型、微积分模型、常微分方程模型、概率与统计模型、线性规划模型、偏微分方程模型, 模糊数学模型等.
完成数学建模的过程大致需要经历以下5个步骤.
1. 问题的提出
提出要用数学方法去解决的实际问题, 或者相关学科中的科学问题.
2. 模型的建立
这是数学建模的关键, 可分为以下4个子步骤:
(1) 问题的分析, 对所提出的具体问题进行具体分析, 明确可以用的数学方法与工具, 并且找到可以用数学去描述和解决实际问题的结合点.
(2) 合理假设的提出, 在这里特别需要具备扎实而系统的数学基础、宽厚或专门的相关学科知识、辩证的科学思维能力. 在社会与生活经历中所形成的相关经验也能派上用场.
(3) 数学符号或者数学变量的引入, 用于表示所要解决的实际问题中的相关因素.
(4) 模型的描述, 根据提出的合理假设, 引入的符号和原始问题遵从的相关科学实验定律, 或科学原理, 并通过一些数学推理, 得出对所要解决问题的数学语言表达, 即数学模型.
3. 模型的求解与计算
利用数学的相关基础理论方法, 进行针对数学模型的一些必要的数学求解、数学推导、编程计算, 产生对于解决实际问题有用的数学结果.
4. 模型的应用
把对数学模型求解或计算的结果又返回到原始问题中去进行对应的分析, 以得到解决原始问题, 或者解释与原始问题相关现象的相应结论, 从而提出解决原始问题的具体指导性建议, 或者决策性建议.
5. 模型的改进
进一步地, 如果所建立起来的数学模型还不够完善, 那么, 还可以通过再细化问题、修正模型的合理假设、调整数学方法应用等建模环节去改进数学模型, 从而获得更新和更好的数学模型.
最后, 需要特别提出的问题是: 什么是最好的数学模型?事实上, 在数学建模应用于描述和解决实际问题与科学问题的过程中, 对于各种数学方法应用的需求日趋综合化, 甚至于还需要提出或者发展新的数学理论方法来支撑. 这是因为, 大量实际和科学问题的圆满解决都需要从多个视角去展开、多种数学方法、多学科的协同会战, 而仅仅依靠单一的数学方法是远远不够的. 在数学建模应用于关注和解决实际的或科学的问题的过程中, 只有加强学科领域之间的横向交叉与联合, 不断地细化和提炼出有意义的问题, 修正模型的合理假设, 调整数学方法的应用等去改进数学模型、循序渐进、各个击破, 最终才能达到完善的地步, 才能够形成系统化与深刻化的数学模型, 这就是最好的数学模型. 其中, 模型的系统化指的是综合应用数学方法建模的广度(如建立多种类型的数学模型), 而模型的深刻化指的是应用某种数学方法建模的深度(如建立起由简单到复杂的同类型数学模型). 最好的数学模型是通过数学方法综合与交叉应用于建模的必然结果.
1.2 数学建模应用视野: 从现实生活到政府调控研究
如今我国大力倡导创新型国家与和谐社会的构建, 已步入了名副其实的创新时代, 这样的时代呼唤数学的原始创新研究、创新教育及其实践活动.
在高等教育中, 把数学建模的应用研究与指导学生直接参加建模的科研实践活动有机地结合起来, 必将会有利于通过数学建模应用去关注和解决经济社会发展中所出现的一些实际热点问题, 寻找到相关学科领域中的新结合点, 打开新的绿色通道, 并且也将产生人才培养的亮点. 从我们多年来从事的数学建模应用研究工作看, 就是把数学建模的应用从解决一些现实生活问题推进到高等教育和公共商品定价等的政府调控问题研究; 从指导学生参加数学建模应用科研实践的工作看, 则形成了关于人才培养的七个特色, 即数学建模应用实践是一项年度的课外创新教育活动, 是一项学生服务于社会的“科技接力”社会实践活动, 是一项举办与数学建模有关的“课外科技与交流”活动, 是一项具有重要凝聚力的活动, 是一项“教书育人”的思想政治教育形式, 是一项促进教学与科研同步的活动, 是一项学生成长转折点的阶梯.
在本节中, 将简要而概括性地介绍部分系统化和深刻化的数学建模应用原创性成果, 重要的数学建模思想, 以及对于政府调控有着指导意义的结论.
1.2.1 数学建模应用于关注和解决现实生活中的问题
在很多人看来, 数学是非常抽象和难懂的, 似乎远离了现实生活与生产实践, 其实不然.“数与形”就是数学的最初原形. 近十年来, 在我们将数学模型应用于关注和解决的现实生活问题中, 主要涉及商品的定价、公共交通、水电资源、旅游黄金周中的一些基本问题.
我们最早将数学建模应用于现实生活问题的研究工作主要是考虑商品价格的浮动与折扣率, 其背景是在春运中受到社会普遍争议的客运票价的价格浮动问题. 基于折扣价使商品销售收益损失极小的方法, 我们得到了与销售量无关的商品价格最大折扣率. 同时还得到了符合销售商与消费者双方承受力的二次需求函数模型与需求最大价等结果. 标志着我们最初指导学生参加数学建模科研实践工作的是如下两个实际问题建模.
公共绿地喷浇的节水问题建模. 其背景是, 随着中国城市和大学的扩张、城市绿化建设、节约型社会的要求, 许多不同几何形状的公共绿地, 引发节约用水的问题. 由于可以从绿地的不同方向完成喷浇的任务, 所以可以从微积分中闭集的最小有限覆盖定理找到数学上的联系, 从而得到解决问题的优化建模思想. 我们通过定义覆盖率, 建立一般性的优化模型, 再从正三角形、等腰三角形、正方形、长方形、正多边形的绿地计算, 获得了系统和深化的建模结果. 至今, 长方形绿地的喷浇节水问题的覆盖率仍因为困难较大而只能停留于近似计算.
公交车上车人数的估计与公交车线路的收入问题建模, 其建模思想是经过长时间的思考才提出来的, 具体为根据一天内不同交通高峰期的出现, 将公交车一天的运营时间分成四段, 每段近似于服从正态分布, 进而估计人数、公交线路的日收入、月收入等. 概率模型计算得出的一个结果是:
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