假如你手头有个篮子，装着100只鸡蛋，另外还有许许多多盛放鸡蛋的纸板箱。你的任务是要把所有的鸡蛋放进纸板箱里。每一步（每一次动作）或者是把一只鸡蛋放进纸板箱，或者是把一只鸡蛋从纸板箱里拿出来重新放回篮子里。规则是：接连两次把鸡蛋放进纸板箱之后，就必须从纸板箱里取出一只鸡蛋，重新放回到篮子里。尽管这种方法效率极低，荒谬透顶，但显然，最后所有的鸡蛋都能装进纸板箱里去。
现在假定篮子里可以盛放任意多个有限数的鸡蛋。如果一开始你要了许许多多鸡蛋，那么完成这个任务就将变得十分艰巨。不过，最初的鸡蛋数一旦确定下来，完成这个任务的所需步数也就有了一个有限数的确定上限。
如果规则允许你在任何时候都可以把任意数目的鸡蛋放回篮子里，情况就会发生根本的变化。这时，完成这一任务所需的步数就不再有一个上限，甚至开始时篮子里只有两个鸡蛋，也是如此。所以，把有限数的鸡蛋进行装箱的任务将会按照规则的不同，或必定可以完成，或没完没了。也可以由你选择，使这个任务在有限步数内完成，或无限地进行下去。
我们现在来考虑几个有趣的数学游戏，它们有以下特点。从直观上看，你似乎能够把完成任务之日永远地拖延下去，但实际上在有限多步之后任务必然完成，这个结局无法避免。
我们的第一个例子是从哲学家兼作家和逻辑学家斯穆扬（Raymond M.Smu11yan）的一篇文章里找来的。设想你有无穷多个打落袋用的台球，每个球上都标有一个正整数，而且对于每一个正整数，都有无穷多个台球以此数作其标号。你还有一只箱子，其中盛有有限多个标记着数字的台球。你的目标是要把箱子出空。每一步要求你从箱子里取出一只台球，同时换上任意有限多只标号比它小的台球。1号台球是唯一的例外，因为没有比1更小的号码，所以对每个1号台球来说，没有台球来替换它，只能是有出无人了。
不难用有限多步就把箱子出空。这只要把每个标号比1大的台球用一个1号台球来替换，直到箱子里剩下来的全是1号台球，然后再每次取出一个1号台球就行了。不过，规则允许你用任意有限数目标号较小的台球来替换一个标号大于1的台球。譬如说，你可以取出一个标号为1000的台球，而换上十亿个标号为999的台球，再加上一百亿个标号为998的台球，再加上一百亿亿个标号为997的台球，再加上……。这样一来，箱子里台球的总数在每一步都增加得超乎你的想象。试问，你是否能够永远拖延下去，使箱子不会出空呢？实际上，箱子终有出空之日，这个结局是无法避免的，尽管乍看起来这似乎令人难以置信。
请注意，比起鸡蛋游戏来，出空箱子所需的步数要庞大得多，不仅是开始时的台球数没有限制，而且每次取出一个标号大于1的台球之后，用来替换它的台球的数目也没有限制。借用康韦（John Horton Conway）的话来说，这个过程乃是“无界的无界”。在此游戏的每一个阶段，只要箱子里还有着一个标号大于1的台球，就不可能预见要把箱子里1号台球之外的台球全部取出究竟需要多少步。（如果所有台球的标号全都是1，出空箱子的步数当然就和1号台球的个数一样多。）不过，无论你替换台球的办法多么高明，在经历了有限多步之后，箱子终究是会出空的。当然，我们必须假设，尽管不一定要求你长生不老，然而也需要你活得足够长来完成这项任务。
斯穆扬将这个惊人结果发表在他的一篇论文《树图与台球游戏》中，此文刊载于《纽约科学院年报》（第321卷，86—90页，1979年）上，文中给出了好几个证明，其中有一个是用归纳法来简单论证的。斯穆扬的论述好得无以复加，我没有本事改进，还是照用他的原话为好：
如果箱子里的台球全是标号1，那么显然我们输定了。假设箱子里台球的标号最大是2，那么，一开始我们有着有限多个2号台球和有限多个1号台球。我们不可能一直老是把1号球扔出去，因而迟早我们总要把其中的一个2号球拿走。这样一来，箱子里的2号球就少了一个（不过，箱子里却可能包含比开始时要多得多的1号台球）。现在，我们还是不能老是在把1号球扔出去，因此迟早我们总还是要扔出另一个2号球。可以看出，经过有限多步之后，我们必然要扔出最后一只2号台球，这时我们又回到了箱子里只有1号台球的情形。我们已经知道，这种情形肯定是要失败的。这就证明了，当台球的最大标号为2时，过程必将中止。那么，最大标号为3时又如何呢？我们不能一直不断地把标号为2的球扔出去（我们刚刚证明了这一点），因此我们迟早总要扔出去一个3号球。所以，到头来我们必定要扔出去最后一个3号球。这就把问题归结到上面的、最大标号为2的情形，而这种情形我们已经解决了。
斯穆扬还用树图作为这个游戏的模型来证明它必定终止。所谓“树”就是指一组线段，每条线段联结两个点，而且每一个点都通过唯一的一串线段联结到某一点，该点称为树的根。台球游戏的第一步（用台球装箱）可通过模型来刻画：把每只球表示为一个点，点的号码等同于球的号码，再用一根线段通向树根。当一只球被许多只标号较低的球替换时，球上的原有标号将被抹去，而代之以号数较大的点，然后这些点都联结到那个被移去的球所代表的点。就这样，树图将会逐步地向上增长，而其“端点”（不是“根”、而且只是用一根线段与别的点相联结的点）就表示在该阶段箱子里的台球。
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