第1章 导言——写在前面
1.1 本书的函数论
1.1.1 函数的代数意义
1.1.1.1 函数的定义
1.1.1.2 初等函数
1.1.2 函数的几何意义
1.1.2.1 笛卡儿的贡献
1.1.2.2 极坐标
1.1.3 函数的基本性质；
1.1.3.1 有界性
1.1.3.2 周期性
1.1.3.3 奇偶性
1.1.3.4 单调性
1.1.3.5 显隐性
1.1.4 函数的简单衍生
1.1.4.1 反函数
1.1.4.2 复合函数
1.1.4.3 多元函数
1.1.5 矢量函数
1.1.5.1 矢量表示
1.1.5.2 矢量运算
1.1.5.3 场论初步
1.1.6 本书基本问题的提出
章末小阅读：寻觅大学精神，探索人文之路——读蔡元培先生《就任北京大学校长之演说》有感

第2章 感性认识——微积分起源
2.1 古代微积分思想的萌芽
2.1.1 微积分的哲学思想
2.1.2 刘徽的“割圆术
2.2 微积分创立的社会背景
2.2.1 中世纪思想禁锢和大学的艰难发展
2.2.2 文艺复兴运动和思想的解放
2.2.3 资产阶级革命和生产力的发展
2.3 先驱者的贡献
2.3.1 微分的思想
2.3.2 积分的思想
章末小阅读：为什么微积分没有在中国产生

第3章 感性跨越——站在巨人的肩膀上
3.1 牛顿的微积分
3.1.1 “独处”成就了牛顿.牛顿验证了“独处
3.1.2 牛顿的微积分著作简介
3.1.3 牛顿的其他成就
3.2 莱布尼茨的微积分
3.2.1 博览群书，广交英才
3.2.2 莱布尼茨微积分思想的来源
3.2.3 “古怪的”微积分论文
3.2.4 莱布尼茨的其他贡献
3.2.5 莱布尼茨和牛顿
3.3 极限初步
3.3.1 极限的四则运算法则和夹挤原理
3.3 .2几类很重要的极限
3.4 导数
3.4.1 导数的本质
3.4.2 可导的条件
3.4.3 用定义求导数
3.4.4 四则运算求导法则
3.4.5 复合函数求导法则
3.4.6 初等函数的求导问题
3.4.7 函数领域的“不倒翁
3.4.8 导数的几何意义与最值初步
3.4.9 偏导数及其简单应用
3.4.9.1 偏导数的意义
3.4.9.2 隐函数求导
3.4.9.3 曲线的切线与法平面
3.4.9.4 曲面的切平面与法线
3.4.9.5 正交曲面坐标系叫
3.5 再议最值
3.5.1 多元函数的最值
3.5.2.条件极值
3.6 微积分的本质
3.6.1 什么是微分
3.6.2 微分和导数的区别及微分简单应用
3.6.2.1 微分和导数的区别
3.6.2.2 微分的简单应用
3.6.3 什么是积分
3.6.3.1 微积分基本原理
3.6.3.2 定积分
3.6.3.3 定积分
3.6.4 微积分的精髓
3.6.5 微积分的基本方法
3.7 积分的算法
3.7.1 凑微分法
3.7.2 换元积分法
3.7.3 分部积分法
3.7.4 综合积分法
3.7.5 极限积分法
3.8 微分方程初步
3.8.1 可分离变量微分方程
3.8.1.1 引例
3.8.1.2 可分离变量微分方程的一般解法
3.8.2 一阶线性微分方程
3.8.2.1 引例
3.8.2.2 一阶线性微分方程的一般解法
3.8.3 其他常见微分方程的一般解法
3.8.3.1 齐次微分方程的一般解法
3.8.3.2 可降阶高阶微分方程的一般解法
章末小阅读：椭圆周长怎么计算

第4章 走向理性——逼近无穷小
4.1 第二次数学危机
4.1.1 贝克莱悖论
4.1.2 更加混乱的局面
4.2 分析的算术化
4.2.1 柯西的探索
4.2.2 数学分析的集大成者——维尔斯特拉斯
4.2.2.1 “兴趣是最好的老师”再次被应验
4.2.2.2 艰苦造就天才，困难磨炼英雄
4.2.2.3 无与伦比的大学数学教师
4.2.2.4 神秘的e一8语言
4.2.2.5 到底什么是无穷小
4.2.2.6 处处连续但处处不可导函数存在吗
4.3 级数的发展与成熟
4.3.1 级数及其最初面临的困境
4.3.2 用定义判定级数敛散性及其简单应用
4.3.2.1 用定义判定级数敛散性
4.3.2.2 柯西审敛原理相关推广
4.3.2.3 莱布尼茨判别法及其相关推广
4.3.3 两个关于等比级数的有趣问题
4.3.3.1 0.9 比1小吗
4.3.3.2 阿基里斯是怎样追上乌龟的
4.3.4 函数展开成幂级数
4.3.4.1 中值定理
4.3.4.2 泰勒公式
4.3.4.3 泰勒公式的简单应用
4.3.4.4 泰勒级数
4.3.4.5 欧拉公式
章末小阅读：傅立叶级数简介

第5章 理性发展——走向成熟
5.1 多元函数的积分
5.1.1 重积分
5.1.1.1 引例
……
附录