第1章 绪论
1993年，KUSHWAHA及其合作者发表了一篇著名的论文，受晶格中电子理论的启发，将光子晶体的概念类比到声波中，提出了声子晶体的概念。当然，这个说法是一种简化，以方便地界定声子晶体概念提出的时间，同时将其从周期性介质中的波这一物理范畴中抽离出来，开启自身的*立研究。在过去的20年里，声子晶体概念得到了长足的发展，得到了众多学者的广泛研究，从某种意义上而言，推出一本以声子晶体为主题的专著，时机已然成熟。本书针对声子晶体，将给出一套从基本的波动理论到潜在应用的自治描述。
1.基本阐释
声子晶体的研究显然是物理学的一个分支，更是波动物理学的一个分支。为了完备起见，在第2章中，我们综合介绍了波在周期介质中传播的许多概念，这一章的内容是相对基本的，*立于能带学的概念和特定方程。本书中的波限定为标量波，主要介绍了布洛赫定理、能带结构、倏逝波、带隙形成的基本机制、人工晶体的布拉格分组分类、原胞和**布里渊区等重要概念和有效理论工具，所有这些在后面的章节中都有大量的应用。
能够让波在其内部传播的介质，广义上可分为流体（液体、气体）和固体（天然晶体、非晶固体、金属、压电固体等）。这里需要注意区分术语，虽然物理概念是相通的，但流体和固体中的声波波动方程在数学上是不同的。我们将在流体中传播的声波称为压力波，它们可以用三维空间中随时间变化的标量场来描述，用P(T，X)表示。在第3章中，我们得到了线性声波在流体（包括水和空气）中的自治表示。在固体中，弹性波有偏极性，即便是均匀的固体也可以是天然各向异性的，包括天然晶体在内。我们将尽量把“声学”这个形容词用在压力波上，但实际上在很多文献中也常常把它用在固体中的弹性波上。第5章总结了均匀固体中的弹性波，介绍了各向异性、压电、表面弹性波和板波等重要概念。
由于第2章、第3章和第5章中的内容不是专门针对声子晶体的，知识渊博的读者可以跳过这些章节。但是，请注意，在其他章节中会经常或隐含地提到这些内容。
2.人工晶体
人工晶体指的是通过技术或工艺制备的周期性材料系统，其中“人工”是用来将它们与天然晶体区分开来，天然晶体是固体物理学中讨论的主体内容，是声子（晶格振动的简正模能量量子）概念的支撑。人工晶体的周期性通常由具有长量程的晶格常数描述，其远远大于天然晶体中原子间的距离。因此，可以用连续介质力学方程对它们进行宏观处理。固体中的弹性波可以被认为是声学声子的渐近极限，这是选择“声子晶体”这个名称的原因之一。
正如前文所述，声子晶体的概念于1993年左右提出，是一种用于在固体中产生弹性波的人工晶体，通常由至少两种不同的材料周期性交替组成，或者由周期性异质结构组成，如图1.1所示。根据周期性，一般分为一维（1D）、二维（2D）和三维（3D）声子晶体。当然，理论上完全可以考虑由弹性参数（质量密度和弹性常数）的连续变化定义的声子晶体，但实际上总是涉及不同材料的不连续区域。用孔代替一种材料也是完全可能的，因为孔表面的表面边界条件将提供必要的散射特性。对光子晶体感兴趣的读者需要注意的是，真空不支持弹性波的传播，这与自由空间中的光波截然不同，这是声子晶体和光子晶体的主要区别。另一个区别是弹性波的极化，弹性波一般有三种*立的传播模式，而介电材料中只有两种*立的光学传播模式。本书将在第6章中对声子晶体进行详细介绍。
声波晶体是用于流体中压力波传播的人工晶体。在文献中，声子晶体和声波晶体这两个术语常被笼统地用于传播机械波的所有人工晶体。为了清晰起见，我们通常对二者的含义进行严格和*立的区分：对于声波或压力波，我们用声波晶体的概念；对于弹性波，一般用声子晶体的概念。声波晶体的概念将在第4章中介绍，其只有一种传播模式。声波晶体可以由不同流体的周期性分布组成，就像水中的气泡，但真正的空洞或孔洞在实际中一般是无法实现的。在这里需要引申一下，流体基质中包裹固体的情况也常称为声波晶体。事实上，虽然弹性波的三种传播模式都存在于固体包裹体中，但流体-固体晶体性质的测量是通过压力波进行的。与之相反，固体基质中的流体包裹体则被称为声子晶体。本书将在第8章中讨论弹性波与声波的耦合及其相关效应。
作为人工晶体，声波晶体和声子晶体与凝聚态物理有很大的关系，并借用了用于描述电子和光子的能带结构以及晶格中声子的概念。布洛赫波（周期性介质的自然模式）的概念是普遍存在的，其色散特性用能带结构图表表示，一般以**个布里渊区为参考绘制，如图1.2所示。人工晶体*显著的特性是存在带隙，或者是存在波数不存在或不允许布洛赫波传播的频率范围。在波矢K空间中至少存在一个方向的带隙，在其他方向不一定存在。
完整带隙是指对所有的波矢K值都有效的带隙，也就是对任何传播方向都有效，但可能只对其中的一个偏振模式有效。完全带隙是指一个对所有偏振模式都有效的完整带隙，因此对晶体中所有可能的波都有效。完全带隙和完整带隙的区别只对声子晶体有意义，这两种定义对于声波晶体而言是等价的。
注意，完全带隙和完整带隙之间的区别在一般文献中通常没有明确说明，但为了清晰起见，我们将在本书中尽量坚持这一点。图1.2为水中钢柱二维方阵声波晶体的能带结构及其对应的**布里渊区，通过改变钢柱直径使其出现了一个完整带隙（此情况下也即完全带隙）。
3.带隙形成机理
通过数值模拟的方法求解声学或弹性动力学方程来获得布洛赫波，并绘制声子的能带结构，或者通过计算有限晶体的透射率来确定频率带隙的位置。然而，在数值计算之外，更加重要的问题是明晰带隙打开的物理机制。*常见的、也是*早被引用的物理机制就是布拉格散射机制。
布拉格散射发生在晶体内散射体的每个周期平面上。当向前和向后传播的布洛赫波相位匹配时，即当它们在能带结构空间(K，Ω)中退化时，可以打开布拉格带隙。当材料之间的参数差异极小时，这种能带交叉出现在空晶格模型中**布里渊区的每一个高对称性点上，这就是布拉格带隙出现在倒易空间的对称点上，并因此出现在不可约布里渊区上的原因。在图1.2中，能带折叠发生在**布里渊区的Γ、X和M点。
但是必须承认，作者并不清楚在材料参数差异中等或很大这种普遍情况下，上述这一性质的数学证明或其充分条件应如何表述。事实上，一些文献已经表明，能带并不是在高对称性点处取得极值，而是在**布里渊内某处取得。
带隙形成的第二种可能的物理机制是晶体单胞内部存在局部共振？1？？。在这种情况下，有可能部分入射波能在被辐射到所有允许的传播模式之前被困在谐振腔中一段时间，这就是局域共振，它的原理可以看作是法诺共振的**模拟，即连续行波与局域共振态的耦合，我们将在第10章中进行讨论。
在已有文献中已经阐述了很多种类型的声子晶体。一方面，受到光子晶体的启发，或者由于在微观尺度上的技术限制，单胞内的物体通常限于简单的形状，如圆柱体或球体。在这种条件下，可供选择的几何形状其实相当有限，人工晶体的设计主要依靠材料常数的差异。另一方面，当晶格常数不太小吋，可以有足够的空间进行单元格内部小尺度细节的结构设计。这两种类型的声子晶体，无论是基于材料对比还是基于结构设计，都能支持上述两种带隙形成的物理机制。
传统的说法是只要有带隙存在，则相应频率的波就不能通过晶体传播。虽然这个说法是完全正确的，但它并没有说明在一个带隙频率范围内是否可以存在其他波。对于布洛赫波而言，带隙实际上是瞬息万变的。倏逝波是波数为复数值的平面波，其衰减部分由于有了倏逝波的指数衰减或增长，因而也绝非所言控制。在带隙的共振范围内，在描述了该晶体的传输或指长衰减的修逝波是重要的。第9章介绍了倏逝布洛赫波和复杂能带结构。
4.声子晶体的应用
声子晶体和声波晶体的潜在应用范围涵盖了微波波、超声波和可闻声波的全频率范围。在小尺度下，当晶格常数为1ΜM量级时，声子晶体可以与声学表面波（SAW）技术、薄膜声学谐振器以及微机电系统（MEMS）相结合。第7章介绍了表面波和薄膜声学谐振器的基本原理。
完全带隙的存在原则上为设计反射镜、腔体和波导等功能器件提供了一个非常方便的平台。事实上，在一个原本完美的周期性晶体中加入一个缺陷，是一种定位声能或弹性能流动的有力方法。这个想法在第11章中加入不同的案例中得到了佐证。
声子晶体和声波晶体是强色散的，这意味着波的传播条件可以随着频率的微小变化而呈现剧烈变化。第12章讨论了空间和时间色散对声子晶体和声波晶体的影响。利用晶体各向异性来实现正折射或负折射，以及群速度的变化。
5.本书同样是关于数值仿真的
在写这本书的过程中，一个非常强烈的动机是为读者提供一套完整的知识体系，对于声子晶体或声波晶体，在大多数情况下需要进行数值模拟。总的来说，这本书也可以作为开展声子晶体和声波晶体数值模拟的实用指南，特别是利用有限元法（FINITE ELEMENT METHOD，FEM）获得布洛赫波和能带结构。本书还介绍了如何使用有限元解决声的传播和散射问题，以及弹性波在体内中是延介质、表面以及板中的传播问题。该方法使用一些简单的变分公式来描述波传播的物理性质，而将数学求解的技术细节留给有限元代码，将域网格划分的技术细节给专门的软件。本书中的例子是利用开源有限元软件ESMESH完成。在充分考虑材料各向异性和压电性的情况下，本书也对平面波展开（PLANE WAVE EXPANSION，PWE）方法进行了充分的介绍。
本书并未涉及某方面一些可能很重要的话题的讨论。每一门学科的范围都必然受到任意选择的限制。一些与声子晶体有密切联系的主题，如声学超材料、应用力学的周期结构中的波传播、声子晶体的结构优化、热声子控制、声子晶体和腔光力学，都没有包括在本书中，只是在一般性的结论中对其中一些主题作了简要介绍。
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