本教材一开始讲述矩阵，只谈矩阵和解线性方程组这一古老的问题的联系，这与初高中学习的解二/三元一次方程组紧密相连。在了解矩阵这个具体的概念以后，引入向量空间的概念，这与初高中都接触过的向量紧密连接。引入向量空间后就能介绍相对抽象的线性映射、以及其与矩阵之间存在对应关系。之后便引入相似矩阵、特征值、若当标准型、二次型、奇异矩阵等概念。最后，引入一些线性代数在数学学科里和数学学科外的应用。

1 导论
1.1 历史源头
1.2 现代应用
1.3 课程学习建议
2 矩阵
2.1 数的集合
2.2 多元线性方程组
2.3 矩阵定义及例子
2.4 矩阵基本运算
2.5 练习
3 线性空间
3.1 定义与例子
3.2 子空间
3.3 线性相关与空间张成
3.4 极大线性无关组
3.5 基与维数
3.6 练习
4 线性映射
4.1 定义与例子
4.2 核与像
4.3 秩-零化度定理
4.4 线性映射与矩阵的对应关系
4.5 练习
5 初等变换与可逆矩阵
5.1 高斯消元法
5.2 初等行变换
5.3 初等列变换
5.4 矩阵的秩
5.5 可逆矩阵
5.6 线性方程组的解
5.7 拓展应用：函数线性相关性 *
5.8 练习
6 行列式与伴随矩阵
6.1 行列式递归定义
6.2 行列式性质
6.3 行列式公理化定义
6.4 行列式几何意义
6.5 伴随矩阵与克拉默法则
6.6 拓展应用：克拉默法则应用 *
6.7 练习
7 相似矩阵
7.1 相似关系
7.2 特征值与特征向量
7.3 广义特征向量 *
7.4 若当标准型 *
7.5 练习
8 二次型
8.1 合同关系
8.2 二次型的基本概念
8.3 二次型分类
8.4 正定二次型
8.5 练习
9 欧几里得空间
9.1 内积与正交向量
9.2 正交矩阵
9.3 实对称矩阵的正交对角化
9.4 拓展应用：正交投影 *
9.5 练习
10 矩阵分解与广义逆 *
10.1 LU分解
10.2 QR分解
10.3 奇异值分解
10.4 广义逆
10.5 单侧逆
10.6 练习
11 线性代数的应用 *
11.1 线性相关与量纲分析
11.2 零空间与化学计量矩阵
11.3 特征值与常微分方程稳定性
11.4 二次型与赫维茨问题
附录A 集合与映射
A.1 集合的概念
A.2 集合的运算
A.3 映射
附录B 数域
参考文献