第1章绪论
1.1滤波器组概述
现代信号处理技术飞速发展，随之而来的信号处理、传输和存储等工作量越来越大，同时不断铺设的通信信道限于当时当地的要求往往采用不同的通信标准。为了节省计算代价与存储开销，以及协调不同信道间的通信，信号处理系统需要不同的采样率及其之间的相互转换。在这种背景下，多速率（multirate）数字信号处理技术形成并发展起来，其中*常用的是多速率数字滤波器组（multirate digital filterbanks），简称滤波器组。
滤波器组包括分析与合成两个部分。信号经过分析端的P个滤波器处理后，通过取样矩阵为的下采样形成变换信号，变换信号在处理后经过信道进行传播，合成端接收到信道上的信号，对其进行取样矩阵为M的上采样，上采样后的信号经过P个合成滤波器形**的信号。称此系统为P通道（或P带）M取样滤波器组，其中P=M与P>M情形分别对应严格采样（critically sampled）与过采样（oversampled）滤波器组。滤波器组的两个重要性质是完全重构（perfect reconstruction，PR）与线性相位（linear phase，LP）。
（1）滤波器组满足完全重构性质。令系统输出y（n）是输入的纯延迟，即。不失一般性，取Wo=0。令⑷与丑⑷分别表不分析多相矩阵与合成多相矩阵，完全重构滤波器组满足完全重构性质不仅提供了无损的信号表示方式，而且简化了滤波器组的误差分析。特别地，对应一类特殊的完全重构滤波器组，称之为仿酉（paraunitary）滤波器组。仿酉滤波器组能够给出信号能量的紧凑表示，而频域能量等于时域能量使误差分析更为简单。此外，它采用简单的矩阵转置运算即可完成合成滤波器设计，避免了一般的完全重构情形包含的耗时的矩阵求逆运算。
（2）滤波器组满足线性相位性质。令分析滤波器执（z）与合成滤波器巧（z）都是对称或反对称的，即，其中nh和nf为整数向量，表示对称或反对称。线性相位性质能有效避免图像和视频信号重构时的相位扭*效应。它通过对称延拓即可实现信号的精确重构，相比于一般的周期延拓避免了变换信号在边界处的剧烈振荡现象。
除了完全重构与线性相位性质，滤波器组的频域划分方式可以与人类的视听
觉系统高度一致，这使它成为语音处理与识别、图像与视频压缩、信号抑噪，以及数字通信等领域的关键技术。例如，早年的图像压缩标准JPEG（joint photographic experts group）米用离散余弦变换（discrete cosine transform，DCT）滤波器组形成稀疏数据。经过多年的发展，即使新一代图像压缩标准JPEG2000[651已经问世，其中至关重要的稀疏化仍沿用滤波器组技术，不同的只是使用了性能更优的CDF（Cohen-Daubechies-Feauveau）系列滤波器组。类似的现象同样出现在信号去噪领域，无论早期的VisuShresh、SureShrink和BayesShrink_方法，还是后来的BivariateShrink[48，圳方法，其信号概貌与噪声分离这一关键步骤均由滤波器组完成。此外，信号建模数字水印、信号检测[77~80]等诸多工程领域都离不开滤波器组。因此，滤波器组具有非常重要的应用价值，对其理论与设计进行研究有重大意义。
滤波器组的理论与设计研究可追溯到20世纪70年代。截至90年代初，一维滤波器组已经取得了一系列丰硕结果，随后多维滤波器组成为新的研究热点。滤波器组设计的另一个变化表现在采样比例（sampling ratio）P/M（P表示滤波器个数，M表示取样因子）上，对应于严格采样到过采样的过渡。20世纪90年代过采样滤波器组受到广泛关注，同样成为研究热点。
1.多維滤波器组
信号处理技术绝大多数应用在图像视频处理、计算机视觉等多维情形下。多维滤波器组的构造是其成功应用的重要前提和关键保障。人们通常使用的多维滤波器组是经过一维滤波器组的张量构造得到的，亦称张量滤波器组。然而，该方法具有明显的不足，如缺少设计自由度，在空间上强加了一种不必要、不恰当的乘积结构，使其方向不能针对具体问题而调节等。因此，为处理多维信号，一个重要的方向就是直接构造任意取样下的多维滤波器组，即多维非张量滤波器组。尽管构造复杂，但其具有设计自由度大、非张量取样更适合人的视觉系统以及具有更好的滤波性质等特点。因此，多维（非张量）滤波器组的构造受到众多专家学者的关注，在实际应用中也展示了卓越的性能。
20世纪90年代以来，多维滤波器组的设计备受关注。1990年Karlsson和Vetterli，1991年Viscito和Allebach，1992年Kovacevic和Vetterli，1996年Lin和Vaidyanathan讨论了多维滤波器组的基本理论，包括多维取样、完全重构与线性相位等。多维滤波器的构造方法主要有变量变换、递归迭代、Cayley变换与提升格式等。变量变换方法***的工作是1976年Mersereau等[96，971的二维滤波器设计方法，也就是信号处理领域著名的McClellan变换。McClellan变换替换一维对称滤波器的余弦变量coso；为二维余弦变量。1993年，Tay和Kingsbury[981提出另一种设计方法，设计过程替换一维对称滤波器的变量z为二维的z变换表达式。变量变换设计的多维滤波器能够保持一维滤波器的对称和消失矩性质，但很难推广到多于二带的情形。递归迭代方法不仅适合二带滤波器，同时可设计任意其他带滤波器。1995年，Kovacevic和Vetterli_通过仿酉因子的连乘，迭代设计了梅花形（Quincunx）和面心正交（face-centered orthorhombic，FCO）取样下的多维滤波器。1996年和1998年，Stanhill和Zeevi采用广泛使用的McMillan仿酉因子及其变形形式迭代构造了二维正交及二维对称滤波器。Cayley变换法将多维滤波器设计的非线性约束变换为线性约束，大大简化了设计过程，但是变换过程的复杂性限制了该方法的应用，这一方法以2005年与2006年Zhmi等，的工作为代表。提升格式方法是一种完全基于时域的滤波器构造方法，与频域的因式分解方法相比，提升格式方法有固定的滤波器构造公式，不仅简单易于理解，具有通用性和灵活性，而且有高效的滤波实现方式。2000年，Kovacevic和Sweldens引入Neville滤波器，使用提升格式设计了任意取样任意阶消失矩的插值滤波器。2009年，Gao等提出了Hermite-Neville滤波器，由此采用提升格式设计了任意取样任意阶消失矩的Hermite插值滤波器。2010年，Eslami和Radha通过三步提升格式设计了具备优秀频率性质的任意阶消失矩的插值滤波器。
2.过采样滤波器组
严格采样滤波器组的信号表示是无冗余的，变换系数的污染或丢失会造成严重的后果。冗余的表示方式可避免这种灾难，即使精确重构不再可能，仍可通过冗余性获得信号的高精度逼近对于很多应用，严格采样下的正交性质并不是必需的，而且往往与其他设计需求冲突例如，一维二带正交滤波器除Haar滤波器之外均不对称，严格采样滤波器缺乏平移不变性。在这种需求下，过采样滤波器组引起人们的重视，它不仅具备冗余性、平移不变性等重要性质，而且设计自由度更大（例如，合成滤波器的不唯一性提供了更多可能的选择），另外框架界比例（frame bound ratio）优于严格采样情形。这些优秀的性质使过采样滤波器组在弹性误差编码（error-resilient coding）信号去噪等应用中取得了非常好的效果。
过采样滤波器组的研究可追溯到20世纪90年代后期。1997年，Ron等提出了过采样滤波器组构造的基本准贝!j:酉扩展原贝!J（unitary extension principle）和混合扩展原则（mixed extension principle）[114L为了构造高阶消失矩和逼近阶的过采样滤波器，2002年Chui等[115]、2003年Daubechies等[1161提出斜扩展原则（oblique extension principle）和混合斜扩展原则（mixed oblique extension principle）以这些基本原则为基础，学者们构造出了一系列过采样滤波器组，主要的构造方法包括矩阵扩充法、张量法与卷积法等。矩阵扩充法由给定的低通滤波器扩充计算高通滤波器，以2006年Lai和Stockier的工作为代表。张量法由初始的完全重构滤波器组与另一个带混叠的滤波器组的张量积构造新的完全重构滤波器组，该方法用于提高滤波器组的光滑性，以1998年Ron和SheriI118k2001年Chui和He，以及2008年Ehler的工作为代表。张量法构造的滤波器组包含的通道数约为初始完全重构滤波器组的通道数的平方，计算代价较大。为了解决这个问题，卷积法被提出来，即只让初始完全重构滤波器组与带混叠滤波器组的低通滤波器进行卷积，设计出的滤波器组包含的通道数约为初始完全重构滤波器组的通道数的2倍，大幅减少了计算代价。卷积法的应用以1998年Ron和Shen、1998年Grochenig和Ron，以及2004年Salvatori和Soardi_的研究成果为代表。该方法***的工作是2007年Ehler构造的任意取样下的高消失矩插值滤波器组。
1.2格型结构概述
滤波器组变换信号过程中，滤波器系数与中间运算结果的量化，以及计算机运算精度的限制，都会破坏滤波器组的完全重构性质，这在变换编码等诸多应用中是不可接受的。在这种背景下，滤波器组的格型结构被提出来，它将滤波器组的多相矩阵分解为常数可逆矩阵、蝴蝶矩阵（butterfly matrix）与延迟矩阵等能够抵制量化效应与精度限制的模块的连乘。梯子结构（ladder structure），即著名的提升格式是格型结构的特例[125]，它采用的模块通过修改单位矩阵得到，即设置单位矩阵的一个非对角元不为零。格型结构抑制了量化与运算精度对完全重构性质的破坏，因而其快速电路实现具有鲁棒性，能够结构性满足线性相位与完全重构性质，从而可提供无约束优化的设计过程以满足其他优秀性质。滤波器组的格型结构应用备受青睐其理论也引起了学者的广泛关注。
线性相位完全重构滤波器组（LPPRFB）的格型结构是一个研究热点，主要关注线性相位与完全重构性质，相关重要理论包括滤波器组满足线性相位的充要条件（简称线性相位充要条件）、关于对称极性的滤波器存在必要条件（简称对称极性条件）、关于滤波器长度的滤波器存在必要条件（简称滤波器长度条件）、完备性、*小性以及格型结构设计等。LPPRFB的格型结构研究分成两种情形，约束支撑与广义支撑。一维情形下，前者的滤波器长度为KM，后者的滤波器长度为KM+p’其中M为取样因子，K、M为正整数，/3为整数且满足0<0 1.一維严格采样LPPRFB的格型结构
一维严格采样约束支撑LPPRFB的研究可以追溯到1993年。这一年，Soman等建
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