《金融模型的数值方法》是“金融数学教学丛书”中的一本，是作者在同济大学、哈尔滨工业大学、上海财经大学等高校多年讲授“金融中的模型和计算”等课程讲义的基础上精心修订而成的，旨在为定量金融专业学生与业界专业人士提供**的计算数学工具.《金融模型的数值方法》内容丰富，涵盖数值代数、数值逼近的基础知识，详细阐述随机数生成、资产价格模拟过程，深入解析金融衍生物定价的蒙特卡罗方法、期权定价的二叉树及有限差分方法，以及随机微分方程数值方法;同时介绍了优化投资组合选择、随机优化基础，以及神经网络在金融领域的应用，推动人工智能技术与金融学科的深度融合.编写过程中，作者力求构建完整的知识体系，兼顾数学理论的严密性与国内金融市场特点，着重突出实践应用，并配备重要算法程序，助力学生提升编程能力，特别地，《金融模型的数值方法》重要程序附在二维码链接中，扫码可以获取程序进行练习.部分标“*”号的章节内容，可供研究生或有深入学习需求者进一步钻研.

第1章数值计算的基础知识
　　本章介绍几种常见的数值计算方法：数值插值、函数逼近与*小二乘法，线性方程组求解与矩阵分解法，非线性方程(组）求解，数值求导与数值积分以及随机分析基础，作为后续的章节内容的基础知识.
　　1.1数值插值、逼近与*小二乘法
　　在实际问题中，经常遇到将一个复杂的函数或者一些离散采样数据用一个“简单”的函数近似代替的问题.这里的“简单”函数通常指多项式、三角函数、有理分式等等;而“近似”的含义可以根据不同的场景进行定义，例如用*大范数，加权平方积分值的大小来度量近似程度.
　　近似处理的一个典型例子是用泰勒公式近似一个函数有直到阶的连续导数，则在处附近：
　　其中余项
　　省略余项函数便可用一个次多项式近似代替，从而方便进行积分、求导等运算.但是必须指出的是，在余项公式中，只有当足够接近吻时，才能确保余项(误差）的绝对值很小；一旦;离吻较远，近似效果就差了，即用泰勒公式进行近似计算是局部有效的.泰勒公式展开方法的另一个缺点是要求函数f(x)具有直到n+1阶的连续导数，这在许多实际问题中往往是不满足的.
　　1.1.1多项式插值
　　定义1.1已知数据集，其中若存在一个次数不超过n次多项式使得
　　(1.1)
　　则称为函数的次插值多项式(interpolation polynomial)，其中称为插值节点(interpolation nodes).
　　从图1.1可见，插值多项式仏⑷的图形可看成通过个点的次多项式.
　　若用待定系数法可以求解满足插值条件(1.1)的n次多项式.可设
　　则由(1.1)式易得关于待定系数，的线性方程组:
　　由于上述线性方程组的系数行列式为范德蒙德(Vandermonde)行列式:
　　所以蝴，知有唯一解，且可以由克拉默(Cramer)法则求解.为了避免复杂繁琐的求解过程，上述方程的解也可以用下面的构造法直接获得.
　　次插值基函数，n定义为
　　显然满足如下关系:
　　易得插值多项式可以写成
　　(1.2)
　　其中称为拉格朗日插值多项式(Lagrange interpolation polynomial).若节点等距，即而，则称为等距插值多项式.
　　例1.1设给定数据如表1.1.
　　利用拉格朗日插值公式(1.2)求二次插值多项式.解易得
　　计算结果见图1.2.
　　MATLAB程序如下:

目录
丛书序
前言
第1章 数值计算的基础知识 1
1.1 数值插值、逼近与*小二乘法 1
1.1.1 多项式插值 1
1.1.2 分段多项式插值 6
1.1.3 函数逼近与*小二乘法 8
1.1.4 正交多项式 11
1.1.5 *线拟合的*小二乘法 14
1.1.6 数值求导 17
1.2 线性方程组与矩阵分解.19
1.2.1 线性方程组求解的直接法 19
1.2.2 矩阵分解 21
1.2.3 求解线性方程组的迭代法 24
1.3 非线性方程(组)求解 25
1.3.1 一般迭代法 25
1.3.2 牛顿迭代法 27
1.3.3 非线性方程组求解的拓展 29
1.4 概率论基础知识 30
1.4.1 事件、样本空间与概率 30
1.4.2 随机变量、数学期望与方差 31
1.4.3 多元随机变量 34
1.4.4 随机变量的*立性与条件期望 35
1.4.5 随机过程与布朗运动 38
习题1 40
第2章 随机数生成与资产价格模拟 43
2.1 随机数的生成 45
2.2 随机数的生成(续) 47
2.2.1 反函数方法 47
2.2.2 二维变换生成法 50
2.2.3 接受-舍去法 52
2.2.4 随机向量生成法 57
2.3 资产价格样本及路径模拟 60
2.3.1 资产价格服从几何布朗运动的取样方法 61
2.3.2 多资产几何布朗模型下的取样方法.65
2.3.3 跳扩散模型下的资产价格取样方法 66
习题2 68
第3章 金融衍生物定价的蒙特卡罗方法与方差减小技术 71
3.1 金融衍生品介绍 71
3.1.1 欧式衍生品 73
3.1.2 路径依赖衍生品 74
3.1.3 美式衍生品 75
3.1.4 金融衍生品的定价方法 76
3.2 欧式期权定价的蒙特卡罗方法 77
3.2.1 欧式期权介绍 77
3.2.2 欧式期权定价的蒙特卡罗方法.78
3.3 新型期权定价的蒙特卡罗方法 81
3.3.1 路径依赖期权的蒙特卡罗方法 81
3.3.2 美式期权定价的蒙特卡罗方法.84
3.4 利率衍生品定价的蒙特卡罗方法88
3.4.1 利率及期限结构 88
3.4.2 利率模型 91
3.4.3 仿射期限结构利率模型与债券定价方法 95
3.4.4 利率衍生品定价的蒙特卡罗方法 101
3.4.5 随机利率环境下期权定价的蒙特卡罗方法 103
3.4.6 可违约债券定价的蒙特卡罗方法 105
3.5 蒙特卡罗方法的方差减小技术.107
3.5.1 控制变量方法 107
3.5.2 对偶方法 113
3.5.3 重点取样方法 114
3.5.4 条件取样方法 115
习题3 116
第4章 金融衍生物(期权)定价的二叉树方法与有限差分方法 119
4.1 欧式期权定价的二叉树方法 121
4.1.1 单时段-双状态模型 123
4.1.2 欧式期权定价的二叉树方法——不支付红利.126
4.1.3 欧式期权定价的二叉树方法——支付红利.133
4.2 美式期权定价的二叉树方法 135
4.3 欧式期权定价的有限差分方法.141
4.3.1 显格式 143
4.3.2 隐格式 147
4.3.3 二叉树方法与有限差分方法的联系.149
4.4 美式期权定价的有限差分方法.151
4.4.1 显格式 152
4.4.2 二叉树方法与有限差分方法的联系 153
4.4.3 隐格式 154
4.5 障碍期权、亚式期权的二叉树方法与有限差分方法 160
4.5.1 障碍期权的二叉树方法与有限差分方法 160
4.5.2 亚式期权的有限差分方法 164
习题4 166
第5章 随机优化与*优投资组合选择 170
5.1 投资组合选择 170
5.1.1 投资组合的期望收益与方差 170
5.1.2 投资组合的有效边界 176
5.1.3 *优投资组合选择 181
5.2 马科维茨投资组合理论 185
5.2.1 马科维茨投资组合理论的假设与内涵.185
5.2.2 马科维茨模型的解 187
5.3 随机优化基础 191
5.3.1 样本均值逼近 192
5.3.2 随机逼近 195
5.4 基于蒙特卡罗方法的*优投资组合求解 201
5.4.1 均值-方差模型 202
5.4.2 均值-分位数模型 205
习题5 207
第6章 神经网络及其在金融中的应用 211
6.1 神经网络简介 211
6.1.1 神经网络模型的发展 211
6.1.2 常用的神经网络模型 216
6.2 神经网络的训练方法 221
6.2.1 梯度下降方法 221
6.2.2 反向传播 223
6.3 神经网络在金融计算中的应用 227
6.3.1 股票预测 227
6.3.2 衍生品定价 234
习题6 236
第7章 随机微分方程数值方法 237
7.1 常微分方程数值方法238
7.2 随机微分方程解的存在性与唯一性 242
7.3 随机微分方程数值方法 247
7.3.1 欧拉方法及Milstein方法 248
7.3.2 二阶离散方法256
7.4 随机微分方程与偏微分方程之间的关系 260
习题7 265
参考文献 269